1、84 麦克斯韦玻尔兹曼分布,引言：气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律气体速率分布律。,气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。,麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879),19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。,他
2、提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。1873年，他的电磁学通论问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。,一、测定气体分子速率的实验,1、实验装置,O蒸汽源 S 分子束射出方向孔R 长为 l 、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒D 检测器，测定通过细槽的分子射线强度,2、实验原理,当圆盘以角速度转动时，每转动一周，分子射线通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能通过S达到D,3、实验结果,分子数在
3、总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有关；速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；在某一速率附近的分子数的比率最大；改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，但都具有上述特点。,二、麦克斯韦气体分子速率分布律,速率分布函数的定义：一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区间 vv+dv内的分子数， dN/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。实验规律：dN/N 是 v 的函数；当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。,1、速率分布函数,速率分布函数,物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。,表示速
4、率分布在vv+dv内的分子数占总分子数的概率,表示速率分布在v1v2内的分子数占总分子数的概率,速率分布曲线,归一化条件,2、麦克斯韦速率分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为,m 分子的质量T 热力学温度k 玻耳兹曼常量,麦克斯韦速率分布函数,曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N 。,麦克斯韦速率分布曲线,定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最概然速率。物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率最大。 vP的值：,三、三种统
5、计速率,1、最可几速率,2、平均速率,定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。,计算：,3、方均根速率,定义：大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。,计算：,4、讨论,vp 随 T 升高而增大，随m 增大而减小。,三种速率的大小顺序为,三种速率的意义讨论速率分布时用最概然速率讨论分子碰撞时用平均速率讨论分子平均平动动能时用方均根速率都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。,说明下列各量的物理意义：, 分布在速率 v 附近 v v + d v速率区间内的分子数。, 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v v + d v速率区间内的分子数。,解：, 分布在速
6、率 v 附近 v v + d v 速率区间内的分子数占总分子数的比率。, 分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分子数的比率。, 分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。, 分布在 0 速率区间内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）, v2 的平均值。,麦克斯韦速度分布函数,四、玻尔兹曼能量分布律,问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何？,其指数仅包含分子运动动能,分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。,玻尔兹曼的推广,用k+p 代替k，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴构成的六维空间中的体积元 xd
7、ydzdvxdvydvz 代替速度空间的体积元dvxdvydvz,玻尔兹曼能量分布律,当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间 xx+dx、yy+dy、zz+dz 内，同时速度介于 vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为,单位体积分子数n,n0为在p= 0 处，单位体积内具有各种速度的分子总数。,重力场中粒子按高度的分布(p=mgh),重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密度随高度的增加按指数规律减小；分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度减小得越迅速； 对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓慢。,法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进而得到了阿伏伽德罗常数，于1922年获得了诺贝尔物理奖。,假设：大气为理想气体 不同高度处温度相等利用：p = nkT 可得:,每升高10米，大气压强降低133Pa。近似符合实际，可粗略估计高度变化。,五、重力场中等温气压公式,近似估计高度,
