1、1高二数学竞赛班二试讲义第 11 讲 数论综合（二）班级 姓名 一、例题精析例 1试求满足方程 的所有整数对 。221609xy(,)xy例 2(东南赛）求证：对于每个正整数 ，都存在满足下面三个条件的素数 和整数 ：npm ； ； 5(mod6)p|p3(mod)2例 3设 a、b、c ，若二次方程 有有理根，0,12,9 20axbc证明：三位数 不是素数。例 4 （07 年 LS）设集合 P=1，2，3，4，5，对任意 kP 和正整数 m，记 f(m，k )=，其中a表示不大于 a 的最大整数。求证：对任意正整数 n，存在 kP 和正51iikm整数 m，使得 f(m，k )=n。3二、
2、精选习题1试证方程 无整数解286xyz2解方程组 ，其中33xyz,xyzZ3求方程 的整数解。22(1)()1xyx4证明：对于每个正整数 ，存在唯一的一个 位正整数 ，它能被 整除，并且它的nnnA5n每一位数字皆属于 1,234545课间休息时， 个学生围着老师坐成一圈做游戏，老师按顺时针方向并按下列规则给学n生发糖：老师选择一个学生并给一块糖，隔 个学生给下一个学生一块，再隔 个学生12给下一个学生一块，再隔 个学生给下一个学生一块；。试确定 的值，使最后3 n（也许绕许多圈）所有学生每人至少一块糖。6设 ，试求 的值。 其中 ，min|iiakN2 212nnSaa2n表示不超过
3、的最大整数。xx5高二数学竞赛班二试讲义第 11 讲 数论综合（二）例 1设整数对 满足方程(,)xy221609(1)xy将其看作关于 x 的一元二次方程，其判别式 24609y的值应为一完全平方数；250436若 ，则 ；y0若 ，则 可取 ，相应的 值分别为 8036、7536、6036 和2,13536，它们皆不为平方数；因此，仅当 时， 为完全平方数。24225436y若 y = 4，方程(1)化为 ， 解得 x=1 或 x=7；2870x若 ，方程 (1)化为 ，解得 或 。17综上可知，满足原方程的全部整数对为：。,1,14,x例 2证法一：我们先证明模 6 余 5 的素数有无穷
4、多个，若不然，则模 6 余 5 的素数只有有限多个，设它们从小到大排列为 考虑数 ，它模 6 余2.rpp12.rp5，因此它的素因子必然模 6 余 1 或 5，特别地，它有一个素因子模 6 余 5. 由假设知这个素因子必为 之一，不妨设这个素因子为 ，则由 得 ，12,.rps|1sr|sp矛盾.由于模 6 余 5 的素数有无穷多个，其中必然有不整除 的素数，设其中一个为 ，并n记 ，则已有 和 . 我们取 ，即有k(mod)|pn43km，343642()(od)kkp这样的 和 即满足条件，证毕.p证法二：当 时，取 ，容易验证 和 满足题目条件；当 时，取1n5,1p 2n，容易验证
5、和 满足题目条件，下面假设 .5, 3由 及 知 必然有一个模3()03()()5(od6)nn(1)6 余 5 的素因子，取 为这个素因子，并取 . 下证这样的 和 满足条件. 1mpm由 的取法知成立；由 被 整除知成立；再由p3与 互素知 ，即成立. 因此存在满足题目332(1)()mn|p条件的 和 ，证毕.例 3 【证明】用反证法若 是素数，二次方程 的有abcp2()0fxabc理根是 ，易知 为完全平方数， 均为负数，且2124,x24c12,，1()(fx所以 ，200)paxa易知 均为正整数，从而 或12(20),()a 1()px，不妨设 ，则 ，从而2px16，这与 为
6、负数矛盾, 所以三位数 不是素数.240ax2abc例 4 （07 年 LS）设集合 P=1，2，3，4，5，对任意 kP 和正整数 m，记 f(m，k )=，其中a表示不大于 a 的最大整数。求证：对任意正整数 n，存在 kP 和51iikm正整数 m，使得 f(m，k )=n。证明：定义集合 A= |mN*，k P，其中 N*为正整数集。由于对任意 k、i P 且1ki， 是无理数，则对任意的 k1、k 2P 和正整数 m1、m 2，1i当且仅当 m1=m2，k 1=k2。由于 A 是一个无穷集，现将 A 中的元素21kk按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数 n，设此数列中第
7、 n 项为。下面确定 n 与 m、k 的关系。若 ，则 。由m 11ki 11ikm1 是正整数可知，对 i=1，2，3，4，5，满足这个条件的 m1 的个数为 。从而in= =f(m，k)。因此对任意 nN*，存在 mN*，k P，使得 f(m，k)=n。51ii1因为 ，所以 ，即 ，286xyz286(od)xyz26od8)xy但只能有 ，故只能有 ，矛盾0,4(od)a20,145()2消去 ，得 ，z 33(3)0xy故 ，于是 ，分别代入求解得3|5,1,47或(,)(,)(xy ,)3设 为方程的整数解，并设 。xy22(1(1)显然当 时， ，12x当 时， 为关于 的一元二
8、次方程。2()()0yx要使方程有整数根，则 是一个完全平方数，42()即 432 84yyy当 时，8()3当 时，2222()y从而 时， 都不是完全平方数，所以 ，进而 或1x5综上，方程的整数解 。(,)1,),5,(x4证：对 归纳，显然有， ，假设 已确定，记 ，n23AnAnB对于 位数 ，若 ，则 ，而111nn 1n1，它能被 整除，当且仅当 ，20nAxx 5215nx据归纳假设，有唯一的 ，满足 ， 1nnAxB ,34i,in因此, , 若 ,则 ,115()nBn1(2)n由于 ,对任意整数 ,同余式 在 的完全剩余系 中(2,)b0mod5b,3457有唯一解 ,即
9、对于确定的 ,存在唯一的 使 ,因此xnB1,2345nx1(2)nnxB位数 满足条件据归纳法，结论得证1n121nAx5把 各学生进行编号，绕第一圈为 至 号，第二圈为 至 号，无论绕多少圈，各个学生的编号模 的余数保持不变。问题等价于确定正整数 ，使同余式 对任意正整数n23(mod)xan都有解。我们证明当且仅当 是 的方幂时， 总有解。a )（1）当 不是 的方幂时，则 有奇素因数 。n2p由于 至多表示,3,1(1),(1)p的 个剩余类（最后两个在同一个剩余类中） ，所以 也至多表modp 23x示 的 个剩余类，从而总有 使 无解。这时 也a23odxan()无解。（2）当 是
10、 的方幂时，设 ，n(1)kn考察下列各数： ， 01,23,k()设 ，其中 ，则1()()od)kxy0,21xy，2(modkxy因为 中，一个是奇数，一个是偶数，,所以 或 ，10(m2)k1)k由后者得 矛盾，12k k 故 ，即 ，因此 中的 个偶数 互不同余，odxyxy(k1od2k从而对任意正整数 ，方程 有解，即 有解。a)od)an()6设 ( )，*1 1ini iikNk*1N则 ，即数列 严格单增。111i iiaan由于 ，( 当 k=m 时取得等号)，故 ；2k2*ma又当 k=m、m+1 时， ，而在 或 时，1k1，即 ，亦即102 0k，所以 ；再由数列 的单调性，k2mana当 时， ，所以 22i11i222, i i因此， ，于是2 1431miiam8212 324318161262nmSnn
