1、本资料从网上收集整理第 1 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/难点 14 数列综合应用问题纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.难点磁场() 已知二次函数 y=f(x)在 x= 处取得最小值 (t0),f(1)=0.2t 42(1)求 y=f(x)的表
2、达式；(2)若任意实数 x 都满足等式 f(x)g(x)+anx+bn=xn+1g( x)为多项式，nN *),试用 t 表示 an和 bn；(3)设圆 Cn的方程为( xa n)2+(yb n)2=rn2，圆 Cn与 Cn+1 外切( n=1,2,3,);rn是各项都是正数的等比数列，记 Sn为前 n 个圆的面积之和，求 rn、S n.案例探究例 1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地51旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比
3、上年增加 .41(1)设 n 年内(本年度为第一年)总投入为 an万元，旅游业总收入为 bn万元，写出 an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属级题目.知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.错解分析：(1)问 an、b n实际上是两个数列的前 n 项和，易与 “通项”混淆；(2) 问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.技巧与
4、方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第 1 年投入为 800 万元，第 2 年投入为 800(1 )万元，第 n 年投入为51800(1 )n 1 万元，所以，n 年内的总投入为5an=800+800(1 )+800(1 )n1 = 800(1 )k15k5=40001( )n54本资料从网上收集整理第 2 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/第 1 年旅游业收入为 400 万元，第 2 年旅游业收入为 400(1+ )，第 n 年旅游业41收入 400(1+ )n1 万元.所以， n 年内的
5、旅游业总收入为4bn=400+400(1+ )+400(1+ )k1 = 400( )k1 .4n45=1600( )n145(2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bna n0，即：1600( )n140001( )n0，令 x=( )n，代入上式得：54545x27x+20.解此不等式，得 x ，或 x1( 舍去).即( )n ，由此得 n5.22至少经过 5 年，旅游业的总收入才能超过总投入.例 2已知 Sn=1+ + ,(nN *)设 f(n)=S2n+1S n+1,试确定实数 m 的取值范围，312使得对于一切大于 1 的自然数 n，不等式：f(n)log m(m
6、1) 2 log (m1) m 2 恒成01立.命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属级题目.知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙.错解分析：本题学生很容易求 f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理.技巧与方法：解决本题的关键是把 f(n)(nN *)看作是 n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：函数 f(n)的最小值大于 logm(m1) 2 log(m1) m 2.01解：S n=1+ + .(nN *)3120)4213()421( 42312)312(1 nn nnffSn又 f(n+1)f
7、( n)f(n)是关于 n 的增函数f(n) min=f(2)= 209312要使一切大于 1 的自然数 n，不等式f(n)log m(m1) 2 log(m1) m 2 恒成立只要 log m(m1) 2 log (m1) m 2 成立即可001本资料从网上收集整理第 3 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/由 得 m 1 且 m2,01m此时设log m(m1) 2=t 则 t0于是 解得 0t 1029t由此得 0log m(m1) 21解得 m 且 m2.251锦囊妙计1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性
8、问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.2.纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.歼灭难点训练一、选择题1.()已知二次函数 y=a(a+1)x2(2a+1)x
9、+1，当 a=1，2，n，时，其抛物线在 x 轴上截得的线段长依次为 d1,d2，,d n,则 (d1+d2+dn)的值是( )limA.1 B.2 C.3 D.4二、填空题2.()在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x1，y 1)、P 2(x2，y 2)是第一象限的两个点，若 1，x 1，x 2，4 依次成等差数列，而 1，y 1，y 2， 8 依次成等比数列，则OP 1P2的面积是_.3.() 从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加满，再倒出 b 升，再用水加满；这样倒了 n 次，则容器中有纯酒精_升.4.()据 2000 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告
10、：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%， ”如果“ 十五”期间(2001 年2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为_亿元.三、解答题5.()已知数列 an满足条件：a 1=1,a2=r(r0),且 anan+1是公比为 q(q0) 的等比数列，设 bn=a2n1 +a2n(n=1,2,).(1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2a n+2an+3(nN *)成立的 q 的取值范围；(2)求 bn和 ，其中 Sn=b1+b2+bn；nlim本资料从网上收集整理第 4 页 共 9 页中国教育在线社区论坛
11、：http:/(3)设 r=219.21，q= ，求数列 的最大项和最小项的值.2nb21log6.()某公司全年的利润为 b 元，其中一部分作为奖金发给 n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由 1 到 n 排序，第 1位职工得奖金 元，然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工，按此方法将奖金逐一发给每位nb职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.(1)设 ak(1kn) 为第 k 位职工所得奖金金额，试求 a2,a3，并用 k、n 和 b 表示 ak(不必证明) ；(2)证明 aka k+1(k=1,2,n 1),并解释此不等式关于分配原则的实际意
12、义；(3)发展基金与 n 和 b 有关，记为 Pn(b),对常数 b，当 n 变化时，求 Pn(b).lim7.() 据有关资料，1995 年我国工业废弃垃圾达到 7.4108 吨，占地 562.4 平方公里，若环保部门每年回收或处理 1 吨旧物资，则相当于处理和减少 4 吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石 20 吨，设环保部门 1996 年回收 10 万吨废旧物资，计划以后每年递增 20%的回收量，试问：(1)2001 年回收废旧物资多少吨？(2)从 1996 年至 2001 年可节约开采矿石多少吨( 精确到万吨)？(3)从 1996 年至 2001 年可节约多少平方公里土地？8.()已知
13、点的序列 An(xn，0),nN ,其中 x1=0,x2=a(a0),A 3 是线段 A1A2 的中点，A 4 是线段 A2A3 的中点， ，A n是线段 An2 An1 的中点，.(1)写出 xn与 xn1 、x n2 之间关系式 (n3);(2)设 an=xn+1 xn，计算 a1,a2,a3，由此推测数列 an的通项公式，并加以证明；(3)求 xn.lim参考答案难点磁场解：(1)设 f(x)=a(x )2 ，由 f(1)=0 得 a=1.t4tf(x)=x 2( t+2)x+t+1.(2)将 f(x)=(x1)x ( t+1)代入已知得：(x1)x(t+1)g( x)+anx+bn=x
14、n+1，上式对任意的 xR 都成立，取 x=1 和 x=t+1 分别代入上式得：且 t0，解得 an= (t+1) n+11 ，b n= 1(t+1 n)1)()1(nnntbat (3)由于圆的方程为(x a n)2+(yb n)2=rn2，又由(2) 知 an+bn=1，故圆 Cn的圆心 On在直线x+y=1 上，又圆 Cn与圆 Cn+1 相切，故有 rn+rn+1= a n+1a n= (t+1)n+12设r n的公比为 q，则本资料从网上收集整理第 5 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/得 q=211)(nntqr=t+1，代入得 rn=nr11tS n= (r12+r2
15、2+rn2)= ( t+1)2n13421)2()(tqn歼灭难点训练一、1.解析：当 a=n 时 y=n(n+1)x2(2 n+1)x+1由x 1x 2= ，得 dn= ，d 1+d2+dn)(1)(lim)(lim 131321 nddnn 答案：A二、2.解析：由 1,x1,x2,4 依次成等差数列得：2x 1=x2+1,x1+x2=5 解得 x1=2,x2=3.又由1，y 1,y2,8 依次成等比数列，得 y12=y2,y1y2=8,解得 y1=2,y2=4,P 1(2,2),P2(3,4). =(3,4)(OP ,5|,48621O102521sin|21sin,75|cos222
16、OPS OPPO答案：13.解析：第一次容器中有纯酒精 ab 即 a(1 )升，第二次有纯酒精 a(1 )bb，即 a(1 )2 升，故第 n 次有纯酒精 a(1 )n升.ba)(答案：a(1 )n4.解析：从 2001 年到 2005 年每年的国内生产总值构成以 95933 为首项，以 7.3%为公比的等比数列，a 5=95933(1+7.3%)4120000( 亿元).答案：120000三、5.解：(1)由题意得 rqn1 +rqnrq n+1.由题设 r0,q0,故从上式可得：q 2q10，解本资料从网上收集整理第 6 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/得 q ,因 q0,
17、故 0q ;251251251(2) .b1=1+r0，所以, 212111 qaaba nnnnnbn是首项为 1+r，公比为 q 的等比数列，从而 bn=(1+r)qn-1.当 q=1 时，S n=n(1+r), 1)(),2(3 )1( ,01lim,0lim1li ,1)(, ;)li1li ,1(,10;(mnn nn nnn nqrb qrSSqrqrSS有由 所 以时当 时当 .20log)1(log)(logl221221 nqnrnn,从上式可知，当 n20.20，即 n21(nN *)时，C n随 n 的增大而nbC21l记减小，故1C nC 21=1+ =2.25 8.0
18、1.1当 n20.20，即 n20(n N*)时，C n也随 n 的增大而减小，故 1C nC 20=1+=4 2.2综合两式知，对任意的自然数 n 有 C20C nC 21,故C n的最大项 C21=2.25，最小项 C20=4.6.解：(1)第 1 位职工的奖金 a1= ，第 2 位职工的奖金 a2= (1 )b，第 3 位职工的b1奖金 a3= (1 )2b，第 k 位职工的奖金 ak= (1 )k1 b;n n(2)aka k+1= (1 )k1 b 0，此奖金分配方案体现了“ 按劳分配”或“不吃大锅饭”2n的原则.(3)设 fk(b)表示奖金发给第 k 位职工后所剩余数，则 f1(b
19、)=(1 )b,f2(b)=(1 )nn12b,fk(b)=(1 )kb.得 Pn(b)=fn(b)=(1 )nb,11本资料从网上收集整理第 7 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/故 .ebPn)(lim7.解：设 an表示第 n 年的废旧物资回收量，S n表示前 n 年废旧物资回收总量，则数列an是以 10 为首项，1+20%为公比的等比数列.(1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.883225( 万吨)(2)S6= =99.299299.3(万吨 )2.0161%)20(16从 1996 年到 2000 年共节约开采矿石 2099.31986(万吨)(3）由于
20、从 1996 年到 2001 年共减少工业废弃垃圾 499.3=397.2(万吨) ，从 1996 年到 2001 年共节约：3 平方公里.8410.7294568.解：(1)当 n3 时，x n= ;21nxaxxxa xa41)2()(212 ,2,)2( 23334 111 由此推测 an=( )n-1a(nN )证法一：因为 a1=a0,且(n2)1112)(22 nnnnn axxxx所以 an=( )n-1a.证法二：用数学归纳法证明：()当 n=1 时，a 1=x2x 1=a=( )0a,公式成立；()假设当 n=k 时，公式成立，即 ak=( )k1 a 成立.2那么当 n=k+1 时，ak+1=xk+2x k+1= kkkxx)(2111 .)()(21公 式 仍 成 立aa据()( )可知，对任意 nN，公式 an=( )n-1a 成立.2(3)当 n3 时，有 xn=(xnx n 1)+(xn1 x n2 )+(x2x 1)+x1=an1 +an2 +a1,由(2)知a n是公比为 的等比数列，所以 a.2 3)2(limn本资料从网上收集整理第 8 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/本资料从网上收集整理第 9 页 共 9 页中国教育在线社区论坛：http:/
