.一、 整除理论1 证明:任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的数字和能被11整除。2 设p是n的最小素约数,n = pn1,n1 1,证明:若p ,则n1是素数。证明:设不然,n1 = n2n3,n2 p,n3 p,于是n = pn2n3 p3, 即p ,矛盾。3 设3a2 + b2,证明:3a且3b。 写a = 3q1 + r1,b = 3q2 + r2,r1, r2 = 0, 1或2, 由3a2 + b2 = 3Q + r12 + r22知r1 = r2 = 0,即 3a且3b4 证明:对于任意给定的n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得这个和能被n整除。设给定的n个整数为a1, a2, L, an,作 s1 = a1,s2 = a1 + a2,L,sn = a1 + a2 + L + an, 如果si中有一个被n整除,则结论已真,否则存在si,sj,i j, 使得si与sj被n除的余数相等,于是nsj - si = ai + 1 + L + aj