台州学院2017学年第1学期.DOC

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1、1台州学院 2017 学年第 1 学期2017 级 数学与应用数学专业高等代数 I期中试卷(A)(闭卷)班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分值 20 15 20 10 15 10 10 100得分一 计算题(第 1,2,3,4 每小题 3 分,第 5,6 每小题 4 分,共 20 分)1. 设 =0,求 a. 2. =? 3. =?132a52427819434. 求箭形行列式 的值. 5. 计算行列式 .1n 121255nnaa6 设 , 304275D2123406?AA二 叙述题(每小题 5 分,共 15 分)1. 请叙述 Cramer 法则.2.请叙述数域的定义

2、.3. 什么叫齐次线性方程组的基础解系?三判别下列命题的对错,并把错误的命题改正(每小题 2 分,共 20 分)1一个向量线性相关的充要条件是 =0. 2设向量组 线性无关, 线性相关,则 可由向量组 12,.s12,s, 12,.s,线性表出. 3任一个排列都可以经过奇数次对换变为奇排列.4设线性无关的向量组 可由向量组 线性表出,则 rs.12,.r12,.s5.设向量组 线性无关,则向量组 线性无关. 123,6.设 nm 矩阵 A 是一个齐次线性方程组的系数矩阵,若 ,则该方程组有非零解. mn7. 设 , ,如果向量组12=(,.),2.iiinas215=(,.,),2.iiiia

3、bs2线性无关,则向量组 也线性无关. 12,.s12,s8. n 维向量空间的任意 n+3 个向量必线性相关. 9. 6 元齐次线性方程组 的自由未知量有 2 个. 654321xx10. 是一个数域,其中 Q 是有理数域 .5|,PabQ四填空题(每题 2 分,共 10 分)1设 6 级矩阵 的秩为 ,则 有一个 ,且 的所有 均为 0.AA2请写出一个 6 元排列 ,其反序数是 10.3 (523416789)+987614325)= .4非齐次线性方程组有解的充要条件是 .5当 j= ,k= 时, 为 6 阶行列式中带负号的项.123562345jkaa五. (15 分)解下列线性方程

4、组,用其特解和导出组的基础解系表示出全部解:.123451234561523xx六(10 分) 求向量组 1, 2, 3, 4, 5 的一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的向量用求得的极大无关组线性表出, 其中:1=(1, 3, 0, 5), 2=(1, 2, 1, 4), 3=(1, 1, 2, 3), 4=(1, 3, 6, 2), 5=(1, 4, 1, 3).七证明题(每小题 5 分,共 10 分):1. 设 都是 矩阵,证明 .,ABsn()()RABR2. 设 ; ,证明向123=(),(1,)2,123=,0(,10)(,1)量组 与 等价 .23,33答案:一计算题1. .

5、 2. 120. 3. 120. 4. 2 n. 5. . 6. 0.15a1(5)nia二叙述题(15 分)三是非题(是打,非打,每小题 2 分,共 20 分)1一个向量线性相关的充要条件是 =0. 2设向量组 线性无关, 线性相关,则 可由向量组12,.s12,s, 1线性表出. ,.s,3任一个排列都可以经过奇数次对换变为奇排列. 4设线性无关的向量组 可由向量组 线性表出,则 rs. 12,.r12,.s5 设向量组 线性无关,则向量组 线性无关. 123,6.设 nm 矩阵 A 是一个齐次线性方程组的系数矩阵,若 ,则该方程组有非零解. mn7. 设 , ,如果向量组12=(,.),

6、12.iiinas1215=(,.,),2.iiiiabs线性无关,则向量组 也线性无关. 12,.ss8. n 维向量空间的任意 n+3 个向量必线性相关. 9. 6 元齐次线性方程组 的自由未知量有 2 个. 654321xx10. 是一个数域,其中 Q 是有理数域 .5|,PabQ四填空题(每题 2 分,共 10 分)1设 6 级矩阵 的秩为 ,则 有一个 5 阶子式非零 ,且 的所有 6 阶子式 均为 0.AA2请写出一个 6 元排列 543216 ,其反序数是 10.3 (523416789)+987614325)= 36 .4非齐次线性方程组有解的充要条件是 系数矩阵与增广矩阵的秩

7、相等 .5当 j= 6 ,k= 4 时, 为 6 阶行列式中带负号的项.123562345jkaa五. (15 分)解下列线性方程组,用其特解和导出组的基础解系表示出全部解:.12345123456152xx解:411110152323402626106 354 320.120501方程组的特解为 ,导出组的基础解系为:0=(3,), .1=(,2,)21,0方程组的全部解为 , 为任意数.02k12k,或 为任意数.21231245xkkx, ,六(10 分) 解:得极大无关组为 . .124,3125124=,3七证明题(10 分):1. 证明:设 的行向量为(1): , 的行向量为(2)

8、: ,则 的行向A12,.sB12,.sAB量为(3): ,再设 ,向量组(1)的极大无关组为12,.s(),()RArt,向量组(2)的极大无关组为 ,于是向量组(3) 的每一个向量都可由向量2,.iir 12,.jjt组(4): , 线性表出,所以1,.iir12,.jjt.1212()=(3,.,.)=()iirjjtRABRrtRAB命题得证.2. 设 ; ,证明向123(,)(,)(,)123=(,0)(,10)(,1)量组 与 等价 .23,3证明:只需证明两个向量组可以彼此线性表出.一方面, .1232123123,5另一方面, .1312321232123=(),(),()4446台州学院 2017 学年第 1 学期2017 级 数学与应用数学 专业高等代数 I期中答卷(A)班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分值 20 15 20 10 15 10 10 100得分一.计算题(20 分)

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