1、1高二数学竞赛班一试讲义第 5 讲 三角函数与三角方程班级 姓名 一、知识要点：1 的反函数为 ，奇函数，递增；2,sinxy 1,arcsinxy2 的反函数为 ，奇函数，递增；)(ta Rt3 的反函数为 ，非奇非偶函数，递减。,0cos ,ros4 1sin251csin2cos2cos()6siisinsin(1)i1n27 可以用 有理表示， 可以用 有理表示， 可以用iicoscosnta有理表示ta8设 ，则 （海伦公式）2bcp()()Spabp， ， ，1sin4aSCRc12crS二、例题精析例 1 （2014 北约） 在 为奇函数，求 的值。Cxxf41arctn)( 4
2、,C例 2求证 。Q3tan例 3 （2014 华约）函数 的最大值2 1()(cosin)s()2sin4fxxxaxb为，最小值为 ，求 的值。14,ab2例 4 （2009 华约）已知 的三个内角分别为 ， ，ABC,ABC,aAbBc证明 。2cos4sinabc例 5 （2011 卓越）10.在 中， ， 是 的角平分线，且 。ABC2ADADkC求 的取值范围； 若 ，问 为何值时， 最短？ 1k21SkBC例 6 （09 南京）求所有非 ，使得RtABCtantanatnAB例 7设实数 ， 满足 证明： ab102ab2()cosbab3三、精选习题1若满足条件 的 有两个，那
3、么 的取值范围是（ 60,3,CABCaABa）A （1， ） B （ ） C D （1，2）22,(3,2)2某人朝正东方向走 x千米后，向右转 o150并走 3 千米，结果他离出发点恰好 3千米，那么 x的值为 （ ）A 3 B 3 C 或 D33当 时,函数 的最小值是( )40xxf2sinco)(A. B. C.2 D.41214 （美国数学 AMC 竞赛）What is the sum of all positive real solution to the equation x?1)4cos()201cos()(cos xx(A) (B ) (C) (D) (E) 8108805
4、已知 ，则 （ ） 。sin2sinta（） （） （） （）111n1n6如图，线段 把边长为 的等边 分成面积相等的两部分，DE2aABC在 上， 在 上，则线段 长度的最小值为_ABCDE BACD E7 （2011 北约）求使得 axx3sin2si4n在 ),0有唯一解的 a.8 （2012 北约）在 中，如果 ，证明 .ABCcba260C49 （华约模拟）求 的值。187sin5183sin10在锐角 中， 所对的边分别为 ，且 ，ABC,abcc证明 的最大内接正方形的边长为 。sinBc11已知函数 满足： ，且对任意的 ，)(xf 2)(,1)0(ff Ryx,都成立，试求
5、 .yxyf cos2)(f12是否存在实数 ，使得 与 均为有理数？xtan3xcotx13求证 ， 。3sin6x0,214设 的边长分别为 ，外接圆、内切圆半径分别为 ，ABC,abc,Rr证明： 22222644()()()Rracb 5高二数学竞赛班一试讲义第 5 讲 三角函数与三角方程例 1 2arctn例 2例 3例 6解：由于在非 中有 ，则据条件RtABCtantatntatnBCABC得，tantanA因为对任何实数 ，有 ，即成立 ，xtt,t,ta于是 ，则tttanantan6，因此 皆为整数，且tant,ant,antABCtan,taABC其中至少有两个正整数；不
6、妨设 都是正整数，则由 ，,t 1n0可知 也是正整数，故只需求方程 的正整数解；tCbc不妨设 ，若 ，则 ，此时 ，与式矛盾！abc243aabc故只有 ，则由， ，得 ，所以 ；11ab()23,2综上，唯有三个内角的正切值分别是 的三角形满足条件,3例 7 【分析】. 要证明： ，即证 ()cosbososa设 ，欲证不等式转化为 ()2fxx()fa分别画 和 在 的图象，两图形叠加即为 的图ys0,1 ()2cfxx象，由描点可近似在画出 的图象是有两个极值点的 形图象。()f NxyOyO1 11 1x 2121图形的叠加【解析】设 ，则()cosfxx()2sinfx由 ，得到
7、 ，结合图形得到0in存在 和 ， ，12使得 ， 当且仅当 。()ff()0fx(,)x于是函数 在区间 和 上单调增，x0,在区间 上单调减。,因为 ，1(0)()2ff故对于 有 ，对于,xx有(1)(f特别地， )ba【反思】运算过程中适当运用图形帮助理解，可以得到更清晰的解题思路，可以提高解题的正确率，所以，我们说数形结合中，数也离不开形.1C 2C 3D 4D 5D 6 a27xyO11O 21O789 1611解:在已知条件中令 可得 (1) tyx,0 ttftft cos2)0(2()令 可得 (2)2,tx(f令 可得 (3)ttftft sin4i)2()(解方程可得 ()cosinft易检验 满足已知条件。xxff12反证法 13 ，二阶求导3g()sin6
