1、西北师范大学数学与应用数学专业专业基础课程教学大纲高等代数 II一、说明（一）课程性质高等代数 II 是高等代数 I 内容的深入和继续，其主要内容包括向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间等。这些理论十分重要，被广泛应用于最优化，决策理论，成为现代数学必不可少的基础理论之一。在这些理论的产生和发展过程中多体现的数学思维方法，将为提高学生发现和解决问题的能力，产生重要而深远的影响。（二）教学目的通过高等代数 II 的学习，使学生逐步理解和掌握向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间的基本概念和方法，进一步加深对从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法的理解。对向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空
2、间理论，在教学中不但要重视对学生计算能力的培养，而且要让学生理解这些概念产生的背景和其中所体现的数学思想，由点到面，从部分到整体，切实提高学生的综合数学素质。 （三）教学内容高等代数课程的主要内容有：向量空间、线性方程组、线性变换和欧氏空间。（四）教学时数90 学时。（五）教学方式课堂讲授。二、本文第五章 向量空间教学要点：向量空间的定义；向量的线性相关性；基，维数，坐标；子空间；向量空间的同构。教学时数：20 学时。教学内容：第一节 向量空间的定义（4 学时）本节首先从例子出发，抽象出它们的共性，从而得到向量空间的概念，再介绍向量空间的性质及其在数学中的重要性。第二节 向量的线性相关性（4
3、学时）讲解向量的线性相关和线性无关的定义和几条简单的性质，介绍向量组的极大无关组的定义和求法，并介绍极大无关组的理论意义，从而进一步加深学生对问题抓住本质的数学思想的理解。第三节 基、维数、坐标（6 学时）本节介绍了数域上向量空间的基与维数、过渡矩阵的定义，研究了同一向量在不同基底下坐标之间的关系。第四节 子空间 （2 学时）介绍了子空间的定义和性质以及一个向量空间的非空子集构成向量子空间的充要条件，同时介绍了两个子空间和的维数与各自的维数之间的关系。第五节 向量空间的同构 （2 学时）本节从映射的例子出发，得到两向量同构的定义以及同构映射的一些性质，并阐明同构的理论意义和体现的数学思想。全章
4、内容总结及复习，答疑。 （2 学时）考核要求：理解和掌握向量的线性相关性和无关性的概念，熟练掌握向量维数的计算以及坐标和过渡矩阵之间的关系。子空间和向量空间同构的定义和性质。第六章 线性方程组教学要点：消元解法；其次线性方程组的解；一般线性方程组的解；秩与线性相关性；特征向量；矩阵的对角化。教学时数：20 学时。教学内容：第一节 消元解法（2 学时）本节通过消元法解线性方程组引出线性方程组的初等变换的概念，并与矩阵的初等变换的概念相联系，利用初等变换介绍了线性方程组是否有解的判别方法及求一个线性方程组的一般解的方法。第二节 应用举例属于选学内容，学生自学，教师答疑，不在课堂讲授。第三节 齐次线
5、性方程组解的结构（4 学时）本节讨论了齐次线性方程组解的结构，介绍了求解齐次线性方程组的一个基础解系的方法，将基础解系的理论意义和向量空间相联系。第四节 一般线性方程组解的结构（2 学时）本节介绍一般的线性方程组的求解问题，因为齐次线性方程组的求解问题已经解决，所以我们将一般线性方程组的求解问题归结为齐次线性方程组的求解问题。由此也进一步让学生体会从特殊到一般的数学思想。第五节 秩与线性相关性 （4 学时）本节用线性方程组的理论去研究矩阵的秩、行列式、向量组的线性相关性等概念之间的关系。第六节 特征向量与矩阵的对角化 （6 学时）本节首先利用线性方程组的理论解决特征向量的求法问题，然后研究一个
6、数域 F 上 n阶矩阵什么时候能与一个对角形矩阵相似的问题。全章内容总结及复习，答疑。 （2 学时）考核要求：要使学生理解本章的这些基本概念，掌握基本方法，深入领会从特殊到一般的数学思想在本章的运用。特别要掌握并熟记线性方程组解的求解方法、解的结构以及应用。第七章 线性变换教学要点：线性变换；线性变换的矩阵；不变子空间；本征值；本征向量。教学时数：20 学时。教学内容：第一节 线性变换的定义及性质（2 学时）通过具体的例子引出线性变换的定义，同时介绍了线性变换的一些性质。第二节 线性变换的运算（4 学时）本节主要介绍了线性变换的加法、乘法及数与线性变换的乘法运算，最后介绍了线性变换的多项式的概
7、念。第三节 线性变换的矩阵 （4 学时）有了线性变换的概念，我们讨论线性变换在一个基下的矩阵，对向量的坐标和这个向量在线性变换下的坐标之间的联系以及同一线性变换在不同基下的矩阵的联系进行了研究。并介绍了可逆线性变换的等价条件。第四节 不变子空间（4 学时）介绍了不变子空间的定义，同时利用不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系。第五节 线性变换的本征值和本征向量 （4 学时）本节介绍本征值和本征向量的概念，它们对线性变换的研究具有基本的重要性，同时介绍了一个 n 阶矩阵什么时候与一个对角矩阵相似的问题，介绍一个线性变换的矩阵可对角化的充要条件。全章内容总结及复习，答疑。
8、 （2 学时）考核要求：要使学生理解本章的这些基本概念，掌握基本性质和方法。要熟练掌握线性变换在基下的坐标之间的关系，要会判别一个 n 阶矩阵什么时候可对角化。第八章 欧氏空间教学要点：欧氏空间；度量矩阵；正交基；正交变换；对称变换；子空间；正交性；对称矩阵的标准形。教学时数：20 学时。教学内容：第一节 欧氏空间的定义和基本性质（6 学时）本节在内积公理的基础是介绍了欧氏空间的定义以及一些简单的性质，并通过例题介绍了著名的柯西不等式和施瓦茨不等式。第二节 度量矩阵与正交基（4 学时）本节由正交向量组引入正交基的概念，介绍了从欧氏空间的任意一组线性无关的向量组出发，得到一个正交组的方法施密特正
9、交化方法，同时介绍了正交矩阵的概念。第三节 正交变换与对称变换 （2 学时）在欧氏空间有了内积的概念之后，我们就可以考虑保持内积不变的线性变换，并介绍了正交变换的几个等价刻画，同时介绍了对称变换和对称矩阵的关系。第四节 子空间与正交性（4 学时）介绍了子空间、正交性、正交补的定义，同时介绍了同构映射的定义和两个有限维欧氏空间同构的充要条件。第五节 对称矩阵的标准形 （2 学时）本节根据欧氏空间的理论，关于实对称矩阵，介绍了几个结论，同时介绍了一个求正交矩阵的方法。全章内容总结及复习，答疑。 （2 学时）考核要求：本章要重点掌握，主要理解向量空间和欧氏空间的内在联系，要使学生理解这些基本概念，掌握基本性质。要熟练掌握正交基的具体求解过程和怎么把一个 n 阶矩阵化为对角形矩阵的方法。三、参考书目1. 刘仲奎，杨永保，程辉，陈祥恩，汪小琳， 高等代数 ，高等教育出版社，2003年 6 月第 1 版2. 李尚志， 线性代数 ，高等教育出版社，2006 年 5 月第 1 版。3. 张贤科，许甫华， 高等代数学 ，清华大学出版社，2004 年 7 月第 2 版4. 郭聿琦，岑嘉评，徐贵桐， 线性代数导引 ，科学出版社，2001 年 5 月第 1 版
