1、 （ 2009 届） 本科 毕业设计（论文） 题 目： 数形结合思想及其在教学中的应用 学 院： 数学与信息工程学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数 学 052 学 号： 200549265221 姓 名： 指导教师： 完成日期： 诚 信 声 明 我声明，所呈交的论文 (设计 )是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 (设计 )中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文 (设计 )中的所有内容均真实、可信。 论文 (设计 )作者签名： 签名日期： 年 月
2、日 授 权 声 明 学校有权保留送交论文（设计）的原件， 允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文 (设计 )进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。 论文 (设计 )作者签名： 签名日期： 年 月 日 数形结合思想及其在教学中的应用 摘要 ： 数、形是数学中两大基本概念，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。 数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分 析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地
3、结合在一起。数形结合是贯穿中小学数学教学始终的基本思想，同时在高等数学教学中它也有很大的益处。 关键词 ： 数形结合；数学教学；数学思想 The Thinking of Combining Numbers with Shapes and Its Application in Teaching （ College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University） Abstract: Number and shape are two basic concepts of mathematics， it can be sa
4、id that the evolving of all the mathematic are generally surrounding the abstraction, evolution and development of the two basic concepts. Combining numbers with shapes is according to the intrinsic link between conditions and conclusions of mathematical problems, it can both analyze the meaning of
5、algebra and reveal the intuitive of geometry which make a artful and harmonious combination between accurate depiction of the number-shape relationship and intuitionistic image of spacial modality. Combining numbers with shapes is basic thinking through mathematics teaching in primary and secondary
6、schools all along, at the same time, it has a great benefit in higher mathematics teaching. Key words: combining numbers with shapes; mathematics education; mathematics thinking 目 录 1 绪论 . 1 1.1 数形结合思想方法概述 . 1 1.2 数形结合思想方法历史演进 . 1 2 数形结合思想在初等数学教学中的应用 . 3 2.1 数形结合思想在小学数学教学中的应用 . 4 2.2 数形结合思想在初中数学教学中的
7、应用 . 7 2.2.1 数形结合思想在初中数学教学中的地位 . 7 2.2.2 数形结合思想在初中数学教学的应用举例 . 8 2.3 数形结合思想在高中数学教学中的应用 . 9 2.3.1 数形结合思想在高中数学教学中的地位 . 9 2.3.2 数形结合思想在高中数学教学的应用举例 . 11 2.3.3 数形结合思想的课堂灌输 . 15 3 数形结合思想在高等数学教学中的应用 . 17 4 结束语 . 22 致谢 . 24 参考文献 . 25 1 1 绪论 数学教育不像“纯”学科中的科学，是严重影响文化、社会和政治的力量 1。 数学解题研究是我国数学教育研究的一个特色工作，并构成一个具有中国
8、特色的文化现象。在我国数学教育研究群体中有一支庞大的解题研究队伍，同时我国的各类数学教学杂志中也会常设一些解题研究栏目。但数学解题研究 不能局限于解题技巧的直接展示，更不能停留于解题方法的简单呈现，而应注重解题时数学思想和方法的体现。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是数学教学中的精髓之一。任何数学事实的理解，数学概念的掌握，数学理论的建立，都是数学思想和方法的体现和应用。一个重大数学成果的取得，往往与数学思想和方法的突破分不开，这些数学成果无不是数学思想和方法完美结合的产物。 我
9、们常用的数学思想方法有：转换的思想，类比归纳与类 比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法，换元法，待定系数法，反证法等。其中，“数形结合”是贯穿数学教学始终的基本思想方法，它成为我国数学教育界教与学、理论与实践多极研究汇聚的衔接点。“数形结合”已成为我国数学教育界一道独特的靓丽风景线，不仅仅在数学教育界，它的应用也已经辐射到了物理等基础理科教育界。 1.1 数形结合思想方法概述 数形结合是解数学题中常用的思想方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简捷。 数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来 ，“数”是数量关系的 体现，而“形”则是空间形式的体现。
10、“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。华罗庚教授曾精辟概述 :“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非：切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。” 2 1.2 数形结合思想方法历史演进 数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是 数和形的概念产生、发展、变迁的历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。随着时间的流逝，数学
11、内涵的不断扩充，数学中最原始的对象数与形这两个概念自身也处于不断变化2 a a b b 图 1.2： 2 2 2( ) 2a b a a b b 中。从最初由于计数的需要而产生的自然数到 欧几里得撰写的几何原本，再从 笛卡尔创立解析几何学到近、现代数学中的几何学，数形结合一直贯穿于数学发展的全过程。 (1) 数的产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”，在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表达抽象的数。 中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也是数形结合的典型范例。“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录，使用
12、，计算。早在古希腊数学时期，毕达哥拉斯学派在研究数时，就常常把数同沙砾或画在平面上的点联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。“形”推动了“数”的发展，这是早期“数”与“形”相结合的体现。 (2) 古希腊亚历山大时期的欧几里得，运用公理化方法写了千古流芳的著作 几何原本，使最早的数学发展以几何学为主要特征 3。这时期从几何的研究上去处 理等价的代数问题是很自然的。如用线段代替数，两数乘积的意义是两边长等于两数的矩形面积，三数乘积是一体积。两数相加看成是一线段的延长，相减说成是从一线段割去另一线段之长。“若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两线段上的
13、正方形加上以两段为边的矩形。”这一几何事实反应的代数问题就是 2 2 2( ) 2a b a a b b （如图 1.2） 。这种用几何来研究代数的方法对后来阿拉伯人的代数研究有着深远的影响，在解一元二次方程中发挥了很大的作用。另外，形的相互关系的比较、度量，促进了数的概念的发展 ，丰富了计算方法。典型例子是毕达哥拉斯学派 不可公度线段 （无理数）的发现。 (3) 数轴的建立使人类对 形与数的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对 应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关 系可以数量化，而数的运算 (特别是有理数的运算 )也可以几何 化。 1637 年，笛卡尔的几何学著作中
14、，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线 4。笛卡尔把数轴 (一维 )扩展到平面直角坐标系 (二维 )，把有序数对 ( , )pxy 与平面上的点一一对应起来，从而使得平面曲线的点集与二元方程的解集一一对应起来。于是，就可以用代数方法来研究几何图形的性质，把几何研究转换成对应的代数研究，从而诞生了解析几何学。笛卡尔创立了解析几何学，完成了数学史上的一项划时代的变革。尽管笛卡尔的解析几何思想有着一定的局限性，但在当时是有突破性的，意义是非常重大的，它为几何3 学的研究提供了新的方法，使许多几何问题变得简单易解，它使几何从定性研究阶段发展到定量分析阶
15、段，使人们对形的认识由静态发展到动态。其次数形结合为代数研究提供了形象模型，拓展了代数学的研究 领域，从而推动了数学发展的进程。可见，数学中两大研究对象“ 形 ” 与 “ 数 ” 的矛盾的统一是数学发展的内在因素。 (4) 继笛卡尔之后，数与形更进一步密切结合。例如数学分析中，导数 切线的斜率 ；积分 曲边梯形的面积 ； 代数中，方程 ( ) 0fx 的根 曲线 ()y f x 与 x 轴的交点。近代数学中，从几何的角度看，代数和几何的结合产生了代数几何 ； 分析和几何结合产生了微分几何 ； 而代数几何和 微分几何又转过来为代数与分析 (以及其它学科 )提供几何背景，解释和研究课题，促进它们的
16、发展，并使数学在实践中的应用更加广泛和深入。可见，数形结合也是今日数学发展的必然，数形结合贯穿于数学发展的全过程。 (5) 形的概念的本身也在数量关系的描述下不断发展，从平面几何、立体几发展到 n 维空间的仿射几何，射影几何 3。人们在用数量关系描写空间形式的过程中，对形的特点有了更进一步的认识，抓住了更本质的关系，从而把它们之间的各种关系推广到了 n 维空间，得出了抽象的 n 维空间 (几何形式 )中的形之间的数量关系，或者说这些数量关系得到了一个形象的几何解释。 2 数形结合思想在初等数学教学中的应用 数形结合思想方法的应用，使我们对几何图形性质的讨论更广泛、更深入，研究的对象也变得更宽泛
17、，方法更一般化，其次也为代数课题提供了几何直观。由于代数借用了几何的术语，运用了与几何的类比而获得新的生命力。如线性代数正是借用几何学中的空间、线性等概念与类比的方法把自己充实起来 而迅速发展的。代数方法便于精细计算，几何图形直观形象，数形结合、互相促进，使我们加深了对数量关系与空间形式的认识。正如拉格朗日所4 说 :“只要代数同几何分道扬镳 ， 它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善。” 3数形结合这种思维方法的运用，有助于加深对数学问题本质的认识，有助于对具体数量关系和空间形式进行抽象与概括，拓展了思维的
18、深度和广度，使数学思维更深刻，更具创造性。 2.1 数形结合思想在小学数学教学中的应用 虽然 在小学阶段没有提到数轴、直角坐标系、函数图象等概念，但“数形结合”思想在小学数学教学中仍有很多“渗透点”。 (1) 数尺的应用 由于小学生对直尺非常熟悉，因此，可以将直尺抽象为“数尺”，即将“数”有规律、有方向地排列，将抽象的数在可看得见的“数尺” (没有刻度，只有自然数 )上形象、直观地表示出来。将数与“位置 ” (还没有“点”的概念 )建立一一对应关系，既有助于理解数的顺序、大小，又有助于理解数列的规律。如下图所示： “数线”与数 轴的区别在于“数线”没有画出方向，“数线”与数轴的运用不但能够比较
19、数的大小，而且将数与直线上的点建立了一一对应关系，并且任何两个点之间都存在无数个点，即任意两个数之间都存在无数个数。数轴不但将抽象的“数”直观形象化，而且也有助于理解运算，将运算直观形象化，例如： “加法”就是在数轴上继续向右数，或者看作是向右平移若干个单位。 “减法”就是在数轴上先找到被减数，然后再向左数，或者看作是向左平移若干个单位。 “乘法”就是在数轴上几个几个地向右数，或者把一条线段拉长几倍 。 “除法”就是在数轴上先找到“被除数” 然后向左几个几个地数。如果恰好数到“ 0”，则就是“除尽”，数了几次，商就是几；当不能恰好数到“ 0”时，就产生了余数。数轴是理解“有余数除法”的形象化载体 5。例如， 48 5=9 3 。 0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
