1、 解析几何应用题 【拓展探究】 1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中 ,ACBD 是过抛物线焦点 F 且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为 EF ，通径长为 4 记 EFA， 为锐角 （ 通径 ：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦） （ 1）用 表示 AF 的长； （ 2） 试建立“蝴蝶形图案”的面积 S 关于 的 函数关系式，并设计 的大小，使“蝴蝶形图案” 的面积最小 【 解 】 （ 1） 由抛物线的定义知， cos 2AF AF ，解得 21 cosAF ， 0,2 （ 2）据（ 1）同理可得 22 1 s in1 c o s 2BF ， 221 c o s 1
2、c o sCF ， 223 1 s in1 c o s2DF 所以 “蝴蝶形图案”的面积 1 2 2 1 2 22 1 c o s 1 s i n 2 1 c o s 1 s i nS ， 即 224 1 sin cossin cosS ， 0,2 令 1sin cost ，则 24 , 2 ,S t t t ，所以当 2t ，即 4时， S 的最小值为 8 答：当 4时，可使 “蝴蝶形图案”的面积最小 2. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道全长 2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状 . （ 1）若最大拱高 h为 6米，则隧道设计的拱宽
3、l是多少？ （ 2）若最大拱高 h不小于 6米，则应如何设计拱高 h和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为 lhS 4 ） EFBCAD【解】 （ 1）如图建立直角坐标系，则点 (11,4.5)P ，椭圆方程为 12222 byax . 将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程，得 44 7,7a 此时 88 72 33.37la .因此隧道的拱宽约为 33.3米 . （ 2）由椭圆方程 12222 byax ，得 .15.4112222 ba 因为 221 1 4 .5 2 1 1 4 .5a b a b 即 99,ab 且2 , ,l a h b所以
4、99 .4 2 2abS lh 当 S 取最小值时，有 2211 4.5 1 ,2ab得 9211 2 , 2ab此时 2 2 2 2 3 1 .1 , 6 .4l a h b 故当拱高约为 6.4米、拱宽约为 31.1米时，土方工程量最小 . 3. 如图所示，有两条道路 OM 与 ON ， 060MON，现要铺设三条下水管道 OA， OB ， AB（其中 A ，B 分别在 OM ， ON 上），若下水管道的总长度为 3km ，设 ()OA a km ， ()OB b km （ 1）求 b 关于 a 的函数表达式，并指出 a 的取值范围； （ 2）已知点 P 处有一个污水总管的接口，点 P 到
5、OM 的距离 PH 为 34km ，到点 O 的距离 PO 为74km ，问下水管道 AB 能否经过污水总管的接口点 P ？若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由 5. 如图 ,为了保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC,同时设 立一个圆形保护区 .规划要求 : 新桥 BC 与河岸 AB 垂直 ; 保护区的 边界为圆心 M 在线段 OA 上 并与 BC 相切的圆 .且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量，点 A位于点 O正 北方向60m处 , 点 C位于点 O正东方向 170m处 (OC为河岸 ),34tan BCO. （ 1）求新桥 BC的长； （ 2
6、）当 OM多长时 ,圆形保护区的面积最大？ 【解法探究】 （ 1）解法 1：（两角差的正切）连结 AC ，由题意知 6tan 17ACO，则由两角差的正切公式可得：2t a n t a n ( ) 3A C B B C O A C O ，故 c o s 1 5 0B C A C B A C m 答：新桥 BC 的长度为 150 m. 解法 2：（解析法） 由题意可知 (0 , 60), (170, 0)AB；由 34tan BCO可知直线 BC 的斜率 43k ，则直线 BC 所在直 线的方程为 4 ( 170)3yx ；又由 AB BC 可知， AB 所在的直线方程为 3 604yx；联立方
7、程组4 ( 17 0)33 604yxyx ，解得 80, 120xy； 即点 (80,120)B ，那么 22( 80 17 0) 12 0 15 0BC . 答：新桥 BC 的长度为 150 m. 解法 3：（初中解法）延长 CB交 OA所在直线于点 G ， 由34tan BCO可得 6803OG ， 8503CG ， 5003AG ， 4c o s s in 5C G O G C O ，故 400c o s 3B G C G O A G ，在 OCG 中，由 勾股定理得 8503CG ，故 150BC m 答：新桥 BC 的长度为 150 m. （ 2）解法 1：（解析法） 由题意设 (
8、0, )Ma(0 60)a ，圆 M 的方程为 2 2 2()x y a r ，且由题意可知2680680 33541 ( )3a ar . 又古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m，那么80(60 ) 80ra ，解得 10 35a ；由函数 680 35 ar 为区间10,35 上的减函数，故当 10a 时，半径取到最大值为 130 . 综上可知，当 10OM m 时，圆形保护区的面积最大，且最大值为 16900 . 解法 2：（初中解法）设 BC 与圆切于点 N ，连接 MN ，过 点 A 作 /AH BC 交 MN 于点 H . 设 OM a ，则 60AM a，
9、由 古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m，那么80(60 ) 80ra ，解得 10 35a . 由 4t a n t a n 3A M H O C N ，可得 3 (60 )5MH a，由（ 1）解法 3 可得 100AB ，所以 331 0 0 (6 0 ) 1 3 655M N x x ，故 MN 即圆的半径的最大值为 130，当且仅当 10a 时取得半径的最大值 . 综上可知，当 10OM m 时，圆形保护区的面积最大 . 6. 如图， O为总信号源点 ， A， B， C是三个居民区，已知 A， B都在 O的正东方向上， OA = 10 km ， OB = 20 km ， C在 O的北偏西 45 方向上， CO =52km （ 1）求 居民区 A与 C的距离； （ 2）现要经过点 O铺设 一条总光缆直线 EF（ E在直线 OA的上方），并从 A， B， C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆 EF假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为 m（ m为常数）设 AOE = （ 0 ），铺设三条分光缆的总费用为 w（元） 求 w关于 的函数表达式； 求 w的最小值及此时 tan 的值 FE北O A BC【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？
