1、 2016-2017 学年青海省师大附中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分 .每小题只有一项符合题意 .） 1已知圆 C：（ x 2） 2+（ y+1） 2=4，则圆 C 的圆心和半径分别为（ ） A（ 2， 1）， 4 B（ 2， 1）， 2 C（ 2， 1）， 2 D（ 2， 1）， 2 2如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形， A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为（ ） A 6+ B 24+ C 24+2 D 32 3圆 A： x2+y2+4x+2y+1=0 与圆 B： x2+y2 2x 6y+1=0 的位置关系是
2、（ ） A相交 B相离 C相切 D内含 4过定点 P（ 2， 1），且倾斜角是直线 l： x y 1=0 的倾斜角两倍的直线方程为（ ） A x 2y 1=0 B 2x y 1=0 C y 1=2（ x 2） D x=2 5已知两直线 l1： x+（ 1+m） y=2 m， l2： 2mx+4y= 16，若 l1 l2 则 m 的取值为（ ） A m=1 B m= 2 C m=1 或 m= 2 D m= 1 或 m=2 6如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中（ ） BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60角； DM 与 BN 垂直 A B C D 7
3、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（ ） A 16 B 20 C 24 D 32 8如图，三棱锥 A BCD 中， AB=AC=BD=CD=3， AD=BC=2，点 M， N 分别是 AD， BC的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 9已知点 P（ 2， 3）、 Q（ 3， 2），直线 ax y+2=0 与线段 PQ 相交，则 a 的取值范围是（ ） A a B a C a 0 D a 或 a 10圆（ x 3） 2+（ y 3） 2=9 上到直线 3x+4y 11=0 的距离等于 1 的点有（ ） A 1 个 B
4、 2 个 C 3 个 D 4 个 11已知两点 A（ 1， 0）、 B（ 0， 2），若点 P 是圆（ x 1） 2+y2=1 上的动点，则 ABP 面积的最大值和最小值之和为（ ） A + B 4 C 3 D 12如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，给出以下结论： 直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60； 若 M 是线段 AC1 上 的动点，则直线 CM 与平面 BC1D 所成角的正弦值的取值范围是； 若 P， Q 是线段 AC 上的动点，且 PQ=1，则四面体 B1D1PQ 的体积恒为 其中，正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3
5、个 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13过圆 x2+y2 6x+4y 3=0 的圆心，且平行于 x+2y+11=0 的直线方程是 14已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ABC 的平面直观图 ABC的面积为 15如图 1 所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为中截面的中心，则 PA1C1 在该正方体各个面上的射影可能是 图 2 中的 16若直线 y=x+b 与曲线 y=3 有两个公共点，则 b 的取值范围是 三解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17求斜率为 ，且与坐标轴所围成的三角形的
6、面积是 6 的直线方程 18已知圆 C：（ x 1） 2+y2=9 内有一点 P（ 2， 2），过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、 B 两点 （ 1）当 l 经过圆心 C 时，求直线 l 的方程； （ 2）当弦 AB 被点 P 平分时，写出直线 l 的方程； （ 3）当直线 l 的倾斜角为 45时，求弦 AB 的长 19如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC，底面 ABC 等边三角形， E，F 分别是 BC， CC1 的中点求证： （ ） EF 平面 A1BC1； （ ） 平面 AEF 平面 BCC1B1 20如图 1，在直角梯形 ABCD 中， AD BC
7、， BAD= ， AB=BC=1， AD=2， E 是 AD的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 折起到图 2 中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1 BCDE （ ） 证明： CD 平面 A1OC； （ ） 若平面 A1BE 平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角（锐角）的余弦值 21一个圆和已知圆 x2+y2 2x=0 相外切，并与直线 l： x+ y=0 相切于 M（ 3， ）点，求该圆的方程 22如图所示，正四棱锥 P ABCD 中， O 为底面正方形的中心，侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 （ 1）求侧面 PAD 与底面 AB
8、CD 所成的二面角的大小； （ 2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值； （ 3）问在棱 AD 上是否存在一点 F，使 EF 侧面 PBC，若存在，试确定点 F 的位置；若不存在，说明理由 2016-2017 学年青海省师大附中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分 .每小题只有一项符合题意 .） 1已知圆 C：（ x 2） 2+（ y+1） 2=4，则圆 C 的圆心和半径分别为（ ） A（ 2， 1）， 4 B（ 2， 1）， 2 C（ 2， 1）， 2 D（ 2， 1）， 2 【考点】 圆
9、的标准方程 【分析】 利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可 【解答】 解：圆 C：（ x 2） 2+（ y+1） 2=4，则圆 C 的圆心和半径分别为：（ 2， 1）， 2 故选： B 2如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形， A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为（ ） A 6+ B 24+ C 24+2 D 32 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 三视图复原的几何体是一个三棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积即可 【解答】 解：三视图复原的几何体是一个底面是正三角形，边长为： 2，棱柱的高为： 4 的正三棱柱， 所以它的表面积为： 2 =24+2 故选
10、 C 3圆 A： x2+y2+4x+2y+1=0 与圆 B： x2+y2 2x 6y+1=0 的位置关系是（ ） A相交 B相离 C相切 D内含 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离 d，然后求出 R r 和 R+r 的值，判断 d 与 R r 及 R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系 【解答】 解：把圆 x2+y2+4x+2y+1=0 和 x2+y2 2x 6y+1=0 分别化为标准方程得： （ x+2） 2+（ y+1） 2=4，（ x 1） 2+（ y 3） 2=9， 故圆心坐标分别为（
11、 2， 1）和（ 1， 3），半径分别为 R=2 和 r=3， 圆心之间的距离 d= =5， R+r=5， 则两圆的位置关系是相外切 故选： C 4过定点 P（ 2， 1），且倾斜角是直线 l： x y 1=0 的倾斜角两倍的直线方程为（ ） A x 2y 1=0 B 2x y 1=0 C y 1=2（ x 2） D x=2 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 先求出 x y 1=0 的斜率 k=1 即 tan=1得到 =45，所以得到所求直线的倾斜角为 90即和 x 轴垂直，且过 P（ 2， 1）得到直线方程即可 【解答】 解： 可设直线 l 的倾斜角为 ，根据 x y 1=0 求出直线的斜率
12、为 1，根据斜率k=tan=1得到 =45； 因为所求直线的倾斜角为 2=90，所以得到该直线与 x 轴垂直且过（ 2， 1），所以该直线方程为 x=2 故选： D 5已知两直线 l1： x+（ 1+m） y=2 m， l2： 2mx+4y= 16，若 l1 l2 则 m 的取值为（ ） A m=1 B m= 2 C m=1 或 m= 2 D m= 1 或 m=2 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 由题意可得得 = ，解方程注意验证即可 【解答】 解：由题意可得 = ， 由得 = 可得 m=1，或 m= 2， 当 m= 2 时，不满足 ， 故选 A 6如图所示是正方体的平面
13、展开图，在这个正方体中（ ） BM 与 ED 平行 CN 与 BE 是异面直线； CN 与 BM 成 60角； DM 与 BN 垂直 A B C D 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题 【解答】 解：由题意画出正方体的图形如图： 显然 不正确； CN 与 BM 成 60角，即 ANC=60正确； DM 平面 BCN，所以 正确； 故选 C 7已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是（ ） A 16 B 20 C 24 D 32 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的
14、直径，再求其表面积 【解答】 解：正四棱柱高为 4，体积为 16，底面积为 4，正方形边长为 2， 正四棱柱的对角线长即球的直径 为 2 ， 球的半径为 ，球的表面积是 24， 故选 C 8如图，三棱锥 A BCD 中， AB=AC=BD=CD=3， AD=BC=2，点 M， N 分别是 AD， BC的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值为（ ） A B C D 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 连结 ND，取 ND 的中点 E，连结 ME，推导出异面直线 AN， CM 所成角就是 EMC，通解三角形，能求出结果 【解答】 解：连结 ND，取 ND 的中点 E，连结 ME，
15、 则 ME AN， EMC 是异面直线 AN， CM 所成的角， AN=2 ， ME= =EN， MC=2 ， 又 EN NC， EC= = ， cos EMC= = = ， 异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值为 故选： A 9已知点 P（ 2， 3）、 Q（ 3， 2），直线 ax y+2=0 与线段 PQ 相交，则 a 的取值范围是（ ） A a B a C a 0 D a 或 a 【考点】 直线的斜率 【分析】 首先将方程转化成点斜式，求出斜率以及交点坐标，画出图象，即可求出结果 【解答】 解：直线 ax y+2=0 可化为 y=ax+2，斜率 k=a，恒过定点 A（ 0， 2）
16、如图，直线与线段 PQ 相交， 0 k kAP，即 a 0 故选 C 10圆（ x 3） 2+（ y 3） 2=9 上到直线 3x+4y 11=0 的距离等于 1 的点有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 点到直线的距离 公式 【分析】 由圆的方程找出圆心 A 的坐标和半径 r=3，然后由点到直线的距离公式求出圆心 A到已知直线的距离为 2，由 AE AD=DE，即 3 2=1 求出 DE 的长，得到圆 A 上的点到已知直线距离等于 1 的点有三个，如图，点 D， P 及 Q 满足题意 【解答】 解：由圆的方程，得到圆心 A 坐标为（ 3， 3），半径 AE=3，
17、 则圆心（ 3， 3）到直线 3x+4y 11=0 的距离为 d= =2，即 AD=2， ED=1，即圆周上 E 到已知直线的距离为 1，同时存在 P 和 Q 也满足题意， 圆上的点到直线 3x+4y 11=0 的距离为 1 的点有 3 个 故选 C 11已知两点 A（ 1， 0）、 B（ 0， 2），若点 P 是圆（ x 1） 2+y2=1 上的动点，则 ABP 面积的最大值和最小值之和为（ ） A + B 4 C 3 D 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 由两点 A（ 1， 0） 、 B（ 0， 2），利用两点间的距离公式可得 |AB|，利用截距式可得直线 AB 的方程为： =1，利用
18、点到直线的距离公式可得圆心 C 到直线 AB 的距离 d利用点 P 到直线 AB 的最大距离 dmax=d+r；点 P 到直线 AB 的最小距离 dmin=d r可得 ABP 面积的最大值和最小值之和 = 【解答】 解：由两点 A（ 1， 0）、 B（ 0， 2）， |AB|= ，直线 AB 的方程为： =1 即 2x y+2=0 由圆（ x 1） 2+y2=1 可得圆心 C（ 1， 0），半径 r=1 则圆心 C 到直线 AB 的距离 d= = 点 P 是圆（ x 1） 2+y2=1 上的动点， 点 P 到直线 AB 的最大距离 dmax=d+r= ； 点 P 到直线 AB 的最小距离 dm
19、in=d r= ABP 面积的最大值和最小值之和 = = =4 故选： B 12如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，给出以下结论： 直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60； 若 M 是线段 AC1 上的动点，则直线 CM 与平面 BC1D 所成角的正弦值的取值范围是； 若 P， Q 是线段 AC 上的动点，且 PQ=1， 则四面体 B1D1PQ 的体积恒为 其中，正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 先证明 A1B 与 A1D 所成角为 60，又 B1C A1D，可得直线 A1B 与 B1
20、C 所成的角为 60，判断 正确； 由平面 BDC1 平面 ACC1，结合线面角的定义分别求出直线 CM 与平面 BDC1 所成角的正弦值最大值与最小值判断 正确； 在 PQ 变化过程中，四 面体 PQB1D1 的顶点 D1 到底面 B1PQ 的距离不变，底面积不变，则体积不变，求出体积判断 正确 【解答】 解： 在 A1BD 中，每条边都是 ，即为等边三角形， A1B 与 A1D 所成角为60， 又 B1C A1D， 直线 A1B 与 B1C 所成的角为 60，正确； 如图，由正方体可得平面 BDC1 平面 ACC1，当 M 点位于 AC1 上，且使 CM 平面 BDC1时，直线 CM 与平
21、面 BDC1 所成角的正弦值最大为 1， 当 M 与 C1 重合时，连接 CM 交平面 BDC1 所得斜线最长，直线 CM 与平面 BDC1 所成角的正弦值最小等于 ， 直线 CM 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围是 ， 1，正确； 连接 B1P， B1Q，设 D1 到平面 B1AC 的距离为 h，则 h= ， B1 到直线 AC 的距离为 ， 则四面体 PQB1D1 的体积 V= ，正 确 正确的命题是 故选： D 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13过圆 x2+y2 6x+4y 3=0 的圆心，且平行于 x+2y+11=0 的直线方程是 x+2y+1=0 【考点】 直线的一般式方程
