1、 2016-2017 学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1命题 p“ x R， sinx 1”的否定是 2准线方程 x= 1 的抛物线的标准方程为 3底面半径为 1 高为 3 的圆锥的体积为 4双曲线 的一条渐近线方程为 y=x，则实数 m 的值为 5若直线 l1： x+4y 1=0 与 l2： kx+y+2=0 互相垂直，则 k 的值为 6函数 f（ x） =x3 3x 的单调减区间为 7在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，与 AB 异面且垂直的棱共有 条 8已知函数 f（ x） =cosx+ sinx，则
2、 的值为 9 “a=b”是 “a2=b2”成立的 条件（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”或 “既不充分又不必要 ”） 10若圆 x2+y2=4 与圆（ x t） 2+y2=1 外切，则实数 t 的值为 11如图，直线 l 是曲线 y=f（ x）在点（ 4， f（ 4）处的切线， 则 f（ 4） +f（ 4）的值等于 12椭圆 （ a b 0）的左、右焦点分别为 F1、 F2，若椭圆上存在点 P，满足 F1PF2=120，则该椭圆的离心率的取值范围是 13已知 A（ 3， 1）， B（ 4， 0）， P 是椭圆 上的一点，则 PA+PB 的最大值为 14已知函数 f（ x）
3、 =lnx， g（ x） = 2x，当 x 2 时 k（ x 2） xf（ x） +2g（ x） +3 恒成立，则整数 k 最大值为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15在三棱锥 P ABC 中， AP=AB，平面 PAB 平面 ABC， ABC=90， D， E 分别为 PB， BC 的中点 （ 1）求证： DE 平面 PAC； （ 2）求证： DE AD 16已知圆 C 的内接矩形的一条对角线上的两个顶点坐标分别为 P（ 1， 2）， Q（ 3， 4） （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）若直线 y=2x+b 被圆 C 截得的弦长为 ，求 b 的值 17在直三棱柱 ABC
4、A1B1C1 中， AB AC， AB=AC=2， A1A=4，点 D 是 BC 的中点； （ I）求异面直线 A1B， AC1 所成角的余弦值； （ II）求直线 AB1 与平面 C1AD 所成角的正弦值 18某制瓶厂要制造一批轴截面如图所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为 3设圆柱体的底面半径为 x， 圆柱体的高为 h，瓶体的表面积为 S （ 1）写出 S 关于 x 的函数关系式，并写出定义域； （ 2）如何设计瓶子的尺寸（不考虑瓶壁的厚度），可以使表面积 S 最小，并求出最小值 19已知二次函数 h（ x） =ax2+bx+c（ c
5、4），其导函数 y=h（ x）的图象如图所示，函数 f（ x） =8lnx+h（ x） （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若函数 f（ x）在区间（ m， m+ ）上是单调增函数，求实数 m 的取值范围； （ 3）若对任意 k 1， 1， x （ 0， 8，不等式（ k+1） x f（ x）恒成立，求实数 c 的取值范围 20把半椭圆 =1（ x 0）与圆弧（ x c） 2+y2=a2（ x 0）合成的曲线称作“曲圆 ”，其中 F（ c， 0）为半椭圆的右焦点如图， A1， A2， B1， B2 分别是 “曲圆 ”与 x 轴、 y 轴的交点，已知 B1FB2= ，扇形 FB1A1B2 的面
6、 积为 （ 1）求 a， c 的值； （ 2）过点 F 且倾斜角为 的直线交 “曲圆 ”于 P， Q 两点，试将 A1PQ 的周长 L表示为 的函数； （ 3）在（ 2）的条件下，当 A1PQ 的周长 L 取得最大值时，试探究 A1PQ 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围 2016-2017 学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小 题 5 分，共计 70 分 1命题 p“ x R， sinx 1”的否定是 x R， sinx 1 【考点】 命题的否定 【分析】 直接把语句进行否定即可，注意否定时
7、 对应 ， 对应 【解答】 解：根据题意我们直接对语句进行否定 命题 p“ x R， sinx 1”的否定是： x R， sinx 1 故答案为： x R， sinx 1 2准线方程 x= 1 的抛物线的标准方程为 y2=4x 【考点】 抛物线的标准方程 【分析】 直接由抛物线的准线方程设出抛物线方程，再由准线方程求得 p，则抛物线标准方程可求 【 解答】 解： 抛物线的准线方程为 x= 1， 可设抛物线方程为 y2=2px（ p 0）， 由准线方程 x= ，得 p=2 抛物线的标准方程为 y2=4x 故答案为： y2=4x 3底面半径为 1 高为 3 的圆锥的体积为 【考点】 旋转体（圆柱、
8、圆锥、圆台） 【分析】 利用圆锥的体积公式，能求出结果 【解答】 解：底面半径为 1 高为 3 的圆锥的体积为： V= = 故答案为： 4双曲线 的一条渐近线方程为 y=x，则实数 m 的值为 6 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由双曲线的标准方程可得该双曲线的焦点在 x 轴上，且 a= ，b= ，可得其渐近线方程为 y= x，进而结合题意可得 =1，解可得 m 的值，即可得答案 【解答 】 解：根据题意，双曲线的标准方程为： ， 则其焦点在 x 轴上，且 a= ， b= ， 故其渐近线方程为 y= x， 又由该双曲线的一条渐近线方程为 y=x， 则有 =1，解可得 m=6；
9、故答案为： 6 5若直线 l1： x+4y 1=0 与 l2： kx+y+2=0 互相垂直，则 k 的值为 4 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 利用直线与直线垂直的性质求解 【解答】 解： 直线 l1： x+4y 1=0 与 l2： kx+y+2=0 互相垂直互相垂直， （ k） = 1， 解得 k= 4 故答案为： 4 6函数 f（ x） =x3 3x 的单调减区间为 （ 1， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数 y=x3 3x的单调递减区 间 【解答】 解：令 y=3x2 3 0 解得 1 x 1
10、， 函数 y=x3 3x 的单调递减区间是（ 1， 1） 故答案为：（ 1， 1） 7在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，与 AB 异面且垂直的棱共有 4 条 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 画出正方体，利用数形结合思想能求出结果 【解答】 解：如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， 与 AB 异面且垂直的棱有： DD1， CC1， A1D1， B1C1，共 4 条 故答案为： 4 8已知函数 f（ x） =cosx+ sinx，则 的值为 0 【考点】 导数的运算 【分析】 求函数的导数，利用代入法进行求解即可 【解答】 解：函数的导数为 f（ x） =
11、sinx+ cosx， 则 f（ ） = sin + cos = + =0， 故答案为： 0 9 “a=b”是 “a2=b2”成立的 充分不必要 条件（填 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、“充要 ”或 “既不充分又不必要 ”） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 结合充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解：若 a2=b2，则 a=b 或 a= b， 即 a=b”是 “a2=b2”成立的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 10若圆 x2+y2=4 与圆（ x t） 2+y2=1 外切，则实数 t 的值为 3 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 利用
12、圆 x2+y2=4 与圆（ x t） 2+y2=1 外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数 t 的值 【解答】 解：由题意，圆心距 =|t|=2+1， t= 3， 故答案为 3 11如图，直线 l 是曲线 y=f（ x）在点（ 4， f（ 4）处的切线，则 f（ 4） +f（ 4）的值等于 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算 【分析】 根据题意，结合函数的图象可得 f（ 4） =5，以及直线 l 过点（ 0， 3）和（ 4， 5），由直线的斜率公式可得直线 l 的斜率 k，进而由导数的几何意义可得 f（ 4）的值，将求得的 f（ 4）与 f（ 4）的值相加即可得答案 【解答】
13、 解：根据题意，由函数的图象可得 f（ 4） =5， 直线 l 过点（ 0， 3）和（ 4， 5），则直线 l 的斜率 k= = 又由直线 l 是曲线 y=f（ x）在点（ 4， f（ 4）处的切线，则 f（ 4） = ， 则有 f（ 4） +f（ 4） =5+ = ； 故答案为： 12椭圆 （ a b 0）的左、右焦 点分别为 F1、 F2，若椭圆上存在点 P，满足 F1PF2=120，则该椭圆的离心率的取值范围是 ， 1） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 如图根据椭圆的性质可知， F1PF2 当点 P 在短轴顶点（不妨设上顶点 A）时最大，要椭圆上存在点 P，满足 F1PF2=120，
14、 F1AF2 120， F1AO 60，即可， 【解答】 解：如图根据椭圆的性质可知， F1PF2 当点 P 在短轴顶点（不妨设上顶点 A）时最大， 要椭圆上存在点 P，满足 F1PF2=120， F1AF2 120， F1AO 60， tan F1AO= ， 故椭圆离心率的取范围是 ， 1） 故答案为 ， 1） 13已知 A（ 3， 1）， B（ 4， 0）， P 是椭圆 上的一点，则 PA+PB 的最大值为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意画出图形，可知 B 为椭圆的左焦点， A 在椭圆内部，设椭圆右焦点为 F，借助于椭圆定义，把 |PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到 A
15、 的距离与 F 距离差的最大值求解 【解答】 解：由椭圆方程，得 a2=25， b2=9，则 c2=16， B（ 4， 0）是椭圆的左焦点， A（ 3， 1）在椭圆内部， 如图：设椭圆右焦点为 F，由题意定义可得： |PB|+|PF|=2a=10， 则 |PB|=10 |PF|， |PA|+|PB|=10+（ |PA| |PF|） 连接 AF 并延长，交椭圆与 P，则此时 |PA| |PF|有最大值为 |AF|= |PA|+|PB|的最大值为 10+ 故答案为： 10+ 14已知函数 f（ x） =lnx， g（ x） = 2x，当 x 2 时 k（ x 2） xf（ x） +2g（ x） +
16、3 恒成立，则整数 k 最大值为 5 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 k（ x 2） xf（ x） +2g（ x） +3 恒成立，等价于 k（ x 2） xlnx+2（ x 2） +3 对一切 x （ 2， + ）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：因为当 x 2 时，不等式 k（ x 2） xf（ x） +2g（ x） +3 恒成立， 即 k（ x 2） xlnx+2（ x 2） +3 对一切 x （ 2， + ）恒成立， 亦即 k = +2 对一切 x （ 2， + ）恒成立， 所以不等式转化为 k +2 对任意 x 2 恒成立 设 p（ x） = +2，则 p（ x） = ， 令 r（ x） =x 2lnx 5（ x 2），则 r（ x） =1 = 0， 所以 r（ x）在（ 2， + ）上单调递增 因为 r（ 9） =4（ 1 ln3） 0， r（ 10） =5 2ln10 0， 所以 r（ x） =0 在（ 2， + ）上存在唯一实根 x0，且满足 x0 （ 9， 10），
