1、 启东市第一中学高二 周考 数学 试题 一填空题： 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 不需写出解答过程请把答案直接填写在 答题 纸 相应位置上 . 1. 命题 “ 若 a b，则 2a 2b 1” 的否命题为 _ 【答案】 若 a b，则 2a 2b 1 【解析】 命题 “ 若 a b，则 2a 2b 1” 的否命题为 “ 若 a b，则 2a 2b 1” 故答案为若 a b，则 2a 2b 1 2. 若 Aa ， ， 12B ， ， A B B ，则 a 的取值范围是 【答案】 2 ， 【解析】 因为 A B B 所以 2B A a 3. 已知 f（ x），（），（），
2、（2221112xxxxxx若 f（ x） 3，则 x的值是 _ _ 【答案】 3 4. 小明忘记了微信登陆密码的后两位，只记得最后一位是字母 , , ,AaBb 中的一个，另一位是数字 4,5,6 中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是 _ _ 【答案】 112 【解析】 开机密码的可能有 4 , , 4 , , 4 , , 4 , , 5 , , 5 , , 5 , , 5 , ,A a B b A a B b, 6 , , 6 , , 6 , , 6 , ,A a B b,共 12 种可能 ,所以小明输入一次密码能够成功登陆的概率是 112 来源 :学科网 ZXXK 5. 函数
3、 f（ x） = 1 ln 4 1x x x 在（ 1， f（ 1）处的切线方程为 【答案】 2x+y-2=0 6. 已知函数)(1 )()1( xfxfxf ，且 1)1( f ，则 )10(f 【答案】 110 . 【解析】 由 题 意 得 1 112=1 1 1 1 2ff f， 12123=11 2 312fff ， 13134=11 3 413fff .则 1fnn ， 110 10f .故答案为： 110 . 7. 函数 2 23f x x x ， 4,4x ，任取一点 0 4,4x ，则 0 0fx 的概率为_ _ 【答案】 12 【解析】 0 0fx ， 2002 3 0xx
4、， 013x ，即 0 13x ， ， 在定义域内任取一点 0x ， 0 44x ， ， 使 0 0fx 的概率 3 1 14 4 2P ，故答案为 12 . 8. 已知函数 xmxxf ln)( 2 在 ),2 上单调递增，则实数 m 的取值范围为 _ . 【答案】 8,( 【解析】 2 22( ) 2 0 2m x mf x x m xxx 在 ),2 上恒成立 22 2 8m . 9. 已知集合 , , 0,1, 2abc ，且下列三个关系： 2a ， 2b 0c 有且只有一个正确，则 100 10a b c 【答案】 201 【解析】 由已知可得 2 , 0 , 1 1 0 0 1 0
5、 2 0 1a b c a b c . 10. 设 p ： 112 x ， q ： 0)1()( axax ， 若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 【答案】 ,221, 11. 设奇函数 f（ x）是定义域在 R 上的减函数，且不等式 f（ x2-a） +f（ 2x-1） 0 对于任意x 1， 3恒成立，则实数 a 的取值范围是 【答案】 （ -， 2） 解：不等式 f（ x2-a） +f（ 2x-1） 0， 即为 f（ x2-a） -f（ 2x-1）， 由奇函数 f（ x），可得 f（ 1-2x） =-f（ 2x-1）， 即有 f（ x2-a） f（ 1-2x）， 由
6、 f（ x）为定义在 R 上的减函数， 即有 x2-a 1-2x，对任意 x 1， 3恒成立， 即为 a x2-1+2x 对任意 x 1， 3恒成立， 由 x2+2x-1=（ x+1） 2-2 在 1， 3上递增， 当 x=1 时取得最小值 2， 即有 a 2 故答案为：（ -， 2） 12. 给出下列命题：“若 0a ，则 2 0x x a 有实根”的逆否命题为真命题： 命题“ 12x， ， 2 0xa ”为真命题的一个充分不必要条件是 4a ； 命题“ xR ，使得 2 2 1 0xx ”的否定是真命题； 命题 p ：函数 xxy e e 为偶函数；命题 q ：函数 xxy e e 在 R
7、 上为增函数，则 pq 为真命题期中正确命题的序号是 _ _. 【答案】 【解析】 若 0a ，则 041 a ，故 2 0x x a 有 实根，原命题为真，所以逆否命题也为真，真确；命题“ 12x， ， 2 0xa ”为真命题，则 4)( max2 xa ，所以 4a 是充要条件，故不正确； 命题“ xR ，使得 2 2 1 0xx ”的否定是012, 2 xxRx ，成立；函数 xxy e e 为偶函数成立，所以命题 p 为真，函数 xxy e e 在 R 上为增函数成立，命题 q 也为真， p 为假 ，所以 pq 为假命题，不正确；故答案为 . 13. 已知函数 ()fx 为定义在 2
8、,3a 上的偶函数 ， 在 0,3 上单调递减 ， 并且22( ) ( 2 2 )5af m f m m ， 则 m 的取值范围是 _ _ 【答案】 112 2m 【解析】 由题设可得 032 a ,即 5a ,故 )22()1( 22 mmfmf 可化为)22()1( 22 mmfmf , 又 3221,311 22 mmm , 故21221 22 mmmm ,且 21m .故应填答案 112 2m . 14. 设函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意 的 x R 恒有 f（ x+1） =f（ x-1），已知当x 0， 1时， f（ x） =2x，则有 2 是函数 f（ x）的周
9、期； 函数 f（ x）在（ 1， 2）上是减函数，在（ 2， 3）上是增函数； 函数 f（ x）的最大值是 1，最小值是 0 其中所有正确的命题的序号是 【答案】 解：函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且对任意 x R 恒有 f（ x+1） =f（ x-1），已知当 x 0，1时， f（ x） =2x，则有： 对任意 x R 恒有 f（ x+1） =f（ x-1）， f（ x+2） =f（ x），因此函数 f（ x）的周期为 2，正确； 函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，当 x 0， 1时， f（ x） =2x，则 x -1， 0时， f（ x）=f（ -x） =2-x，再根据
10、 可得：此函数在区间（ 1， 2）上是减函数，在区间（ 2， 3）上是增函数，正确； 由 可得：函数 f（ x）的最大值是 2，最小值是 1，因此不正确 其中所有正确命 题的序号是 故答案为： 二解答题 :本大题共 6小题，共 90分 .请在 答题 纸 指定区域内 作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知集合 2 4 , 1 2 1A x x B x m x m . （ 1）若 2m ，求 , RA B A C B ； （ 2）若 BA ，求 m 的取值范围 . 解析：（ 1） 若 ，则 ， ， 或 ， ， 或 ， （ 2） ，当 时满足题意，即 ，解得 当 时，则 ，解得
11、 ，综上所述 的取值范围为 16. 已知命题 p ：关于 x 的方程 2 10x ax 有实根；命题 q ： 对任意 1,1x ，不等式 2 3 1 0a a x 恒 成立 ，若“ pq ”是假命题，“ q ”也是假命题，求实数 a 的取值范围； 解析：若 p 真，则 2 4 1 0 , 2aa 或 2a . 若 q 真 ，则由 对任意 x -1， 1，不等式 x-1 a2-3a恒成立 （ x-1） min a2-3a 即 a2-3a -2 解得 1 a2 ,即 q 为真命题时， a 的取值范围是 1，2 来源 :学科网 “ pq ”是假命题，“ q ”也是假命题 ,则 p 是假命题， q 是
12、真命题 来源 :学科网 ZXXK 22 , 1 212a aa ，实数 a 的取值范围为 1,2) . 17. 某同学在用 120 分钟做 150 分的数学试卷（分为卷 和卷 两部分）时，卷 和卷 所得分数分别为 P 和 Q（单位： 分），在每部分至少做了 20 分钟的条件下，发现它们与投入时间 m（单位：分钟）的关系有经验公式 1 3 6 , 6 5 2 35P m Q m （ 1）求数学总成绩 y（单位：分）与对卷 投入时间 x（单位：分钟）的函数关系式及其定义域； （ 2）如何计算使用时间，才能使所得分数最高？ 解：（ 1）对卷 用 x 分钟，则对卷 用（ 120-x）分钟， 所以 11
13、6 5 2 3 1 2 0 3 6 2 3 1 2 555y P Q x x x x 其定义域为 20， 100 -（ 7 分） （ 2）令 2 5,10tx， 则函数为关于 t 的二次函数 22112 3 1 2 5 5 3 1 4 055y t t t 所以当 t= ，即 x=75 时， ymax=140 答：当 卷 用 45 分钟，卷 用 75 分钟时，所得分数最高 -（ 14 分） 18. 已知函数 )(xf 对任意实数 yx, 恒有 )()()( yfxfyxf ，且当 0x 时，2)1(,0)( fxf （ 1）判断 )(xf 的奇偶性 （ 2）求 )(xf 在区间 3,3 上的值
14、域 （ 3）若 ,Rx 不等式 4)()(2)( 2 xfxfaxf 恒成立，求 a 的取值范围 . 解析：（ 1）奇函数； 令 )()()0(, xfxffxy ，再令 )1()0()1(,0,1 fffyx )()(,0)0( xfxff 所以 )(f 为奇函数 （ 2）用定义证出函数的单调性，求出值域 6,6 （ 3） 由（ 1）可知 4)2( f 原不等式可化为 )23()( 2 xfaxf ，由（ 2）可知函数为减函数，所以 232 xax 恒成立，所以 00a，所以 89a 19. 已知函数 )(xf 对一切 Ryx , 都有 )12()()( yxxyfyxf 成立，且0)1(
15、f . （ 1）求 )0(f 的值 ; （ 2）求 )(xf 的解析式 ; （ 3）已知 Ra ，设 P：当 430 x 时，不等式 axxf 23)( 恒成立 ,Q:当 2,2x时， axxfxg )()( 是单调 函数，如果记使 P 成立的实数 a 的取值的集合为 A，使 Q成立的实数 a 的取值的集合为 B，求 BCA R . 解析： （ 1） )12()()( yxxyfyxf ， 0)1( f ，取 1,1 yx 得 2)0(),121()1()0( fff （ 2）取 0y ，得 )1()0()( xxfxf ，故 2)( 2 xxxf （ 3）（ i）当 430 x 时，不等式
16、axxf 23)( 恒成立，即 axx 12 恒成立 记 1)( 2 xxxh ，对称轴 21x ， m ax 01h x h， 所以 1, 1,aA 即 来源 :学 _科 _网 Z_X_X_K （ ii） 2)1()( 2 xaxxg ,对称轴： 21ax ， 由于 2,2x 时， )(xg 是单调函数，所以 5,322 1,22 1 aaaa 或，解得或 即 ),53,( A ，所以 3 , 5 , 1, 5RRC B A C B . 20. 已知函数 lnf x x a x ， 1 agx x ，其中 aR （ 1）设函数 h x f x g x，求函数 hx的单调区间； （ 2）若存在
17、 0 1,xe ，使得 00f x g x 成立，求 a 的取值范围 . 解析： （ 1） 1 lnah x x a xx ， 2 22 11111 x x ax a x aaahx x x x x 当 10a 时，即 1a 时，在 0,1 a 上 0hx ，在 1,a 上 0hx 所以 hx在 0,1 a 上单调递减，在 1,a 上单调递增； 当 10a，即 1a 时，在 0, 上 0hx ， 来源 :学 &科 &网 Z&X&X&K 所以，函数 hx在 0, 上单调递增 . （ 2）若存在 0 1,xe ，使得 00f x g x 成立，即存在 0 1,xe ， 使得 0 0 0 0h x
18、f x g x ，即函数 1 lnah x x a xx 在 1,e 上的最小值小于零 . 由（ 1）可知： 当 1 ae，即 1ae时， 0hx ， hx的 1,e 上单调递减， 所以 hx的最小值为 he ， 由 1 0ah e e ae 可得 2 11ea e ，因为 2 1 11e ee ，所以 2 11ea e . 当 11a，即 0a 时， hx在 1,e 上单调递增， 所以 hx最小 值为 1h ，由 1 1 1 0ha 可得 2a . 当 11ae ，即 11ae 时，可得 hx的最小值为 1ha ， 因为 0 ln 1 1a ，所以， 0 ln 1a a a ，故 1 2 ln 1 2 0h a a a a ，不合题意 综上可得所求 a 的范围是 2 1, 2 ,1ee .
