1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高考理科数学第 四 次 模拟 考试 数学试卷 （ 理 ） 命题人 ： 高三数学组 考试 时间 ： 2009.5 第 卷 （选择题 共 60 分） 一 、选择题 ： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 设 a 是实数，且 112aii 是纯虚数，则 a 的值是 （ ） .A 12 .B 1 .C 32 .D 2 2若曲线 4yx 的一条切线 l 的斜率为 4 ，则切线 l 的方程是 （ ） .A 4 3 0xy .B 4 5 0xy .C 4 3 0xy .D 4 3 0
2、xy 3已知三条不重合的直线 ,mnl ，两个不重合的平面 ,，有下列命题 /mn， n /m ； l ， m ， /lm /； , , / , /m n m n /； ， m ， n ， nm n . 其 中 正 确 的 命 题 个 数 是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 4从圆 222 2 1 0x x y y 外一点 3,2P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） .A 0 .B 12 .C 35 .D 32 5 对于使 2 2x x M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值 1叫做 2 2xx 的上确定界 .若 ,ab R ，且 1ab，则 122a
3、b的上确界为（ ） .A 92 .B 4 .C 14 .D 92 6已知 22 ，且 sin cos a，其中 (0,1)a ，则 tan 的值有可能是（ ） .A 3 .B 3 或 13 .C 13 或 12 .D 3 或 13 7设 P 为 ABC 所在平面内一点，且 025 ACABAP ，则 PAB 的面积与 ABC 的面积 比为 （ ） .A 15 .B 25 .C 14 .D 53 8 二项式 1012 xx展开式中，所有有理项（不含 x 的项）的系数之和为 （ ） .A 10312 .B 10312 .C 102 .D 92 9 , , , ,A B C D E 五人争夺某项比赛
4、的前三名，组织者对前三名发给不同的奖品，若 A 获奖，B 不是第一名，则不同的发奖方式共有 （ ） .A 72 种 .B 30 种 .C 24 种 .D 14 种 10 数列 na 满足： 1 1a ，221114nnaa ， 2 2 2 21 2 3 ,nnS a a a a 若21 30nnmSS 对于任意 nN 都成立，则正整数 m 的最小值为 ( ) .A 10 .B 9 .C 8 .D 7 11设 1e ， 2e 分别为具有公共焦点 1F 与 2F 的椭圆和双曲线的离心率， P 为两曲线的一个公共点，且满足 021 PFPF ，则221211ee的值为 （ ） .A 21 .B 1
5、.C 2 .D 4 12 定义在 0,1 上的函数 ()fx满足： (0) 0f ， ( ) (1 ) 1f x f x ， 11( ) ( )52f x f x ，且当 1201xx 时， 12( ) ( )f x f x ，则 1()75f 的值为 （ ） .A 161 .B 12 .C 14 .D 18 第卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题 ： 本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 .把答案填在题中横线上 . 13若 (1 ) 1lim 22n ann ，则 2132limxax xxa ； 14 已知点 A， B， C， D 在同一球面上， AB 平面 BCD ，
6、BC CD ，若 6AB ，2 13AC ， 8AD ， 则 B、 C 两点间的球面距离是 ； 15 如果点 (1,1) 在不等式组 02 4 033m nx ymx nynx y m 所表示的平面区域内 ，则 22mn 的 取值范围是 ； 16 设函数 ( ) ( 0 , 1 )1xxaf x a aa ， m 表示不超过实数 m 的最大整数，则函数 11 ( ) ( ) 22f x f x 的值域是 三、解答题 ： 本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 . 17 （本题满分 12 分 ） 已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 S
7、C 的中点 E 在底面内的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O ，顶点 A 在截面 SBD 内的射影恰好是 SBD 的重心 G （ 1）求直线 SO 与底面 ABCD 所成角的正切值； （ 2）设 ABa ，求此四棱锥过点 ,CDG, 的截面面积 A B C D S O G E 18 （本题满分 12 分 ） 某鲜 花店的鲜花进价为 每束 6 元，销售价为每束 8 元若当天没有销完，则以每束 5 元的价格处理掉假如某一天该鲜花店订购鲜花数量是 40 束、 100 束或 120 束，鲜花需求量 的分布列是： （束） 40 100 120 p 0.2 0.7 0.1 试问：（ 1）这一天鲜花需求
8、量的期望值是多少？ （ 2）该花店这一天应订购多少束鲜花盈利最大？ 19. （本题满分 12 分 ） 在锐角 ABC 中，已知 060B ，且 A B C ， (1 c o s 2 ) (1 c o s 2 )AC 312 . （ 1）求角 A 与 C 的大小； （ 2） PQ 是以 B 为圆心， 2 为半径的圆的直径，已知 6AC ，求 APCQ 的最大值 . 20 （本题满分 12 分 ） 已知 ( ) ln( )f x ax x ， ln( )() xgx x ，其中 ,0xe . (1)当 1a 时，求证 1( ) ( ) 2f x g x； (2)若 ()fx的最小值为 3 ，试求
9、a 的值 . 21 （本题满分 12 分 ） 已知直线 : 3 0l x y ，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 y 轴正半轴上， S 是抛物线 C 上任意一点， T 是直线 l 上任意一点，若 ST 的最小值为 0d 时 ,点 S 的横坐标为 2 . （ 1）求抛物线方程以及 d 的值； （ 2）过抛物线 C 的对称轴上任一点 (0, ) ( 0)P m m 作直线与抛物线交于 ,AB两点，点 Q 是点 P 关于原点的对称点 .设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ， 证明 : ()QP QA QB; （ 3）设 R 为抛物线准线上任意一点，过 R 作抛物线的两条切线，切点分别为 ,MN,
10、直线 MN 是否恒过一定点？若恒过定点，请指出定点；若不恒过定点 ， 请说明理由 . 22 （本题满分 14 分 ） 已知数列 na 满足递推关系 1 1a 且 21 23 ()1nnn na a ma n Na . （ 1）在 1m 时，求数列 na 的通项 na ； (2) 当 nN 时，数列 na 满足不等式 1nnaa 恒成立，求 m 的取值范围； (3) 在 31m 时，证明：121 1 1 111 1 1 2 nna a a . HGF EOABCDS抚州一中 2009 届高三 第 四 次 模拟 考试 数学 参考答案（ 理 ） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
11、10 11 12 答案 B A B D D C A A B A C D 一、 填空题 13. 1 ； 14.43 ； 15. 9,6110； 16. 11 ( ) ( ) 22f x f x 1 1 1 1 2 1 1 2xxaa，即 mm ，当 m 为整数时，值为 0， m 为小数时，值为 -1，故所求值域为 -1,0 三、解答题 7（ 1） OE 、 分 别 是 、 的 中 点 ， 面 S O A S O 是 与 面 所 成 的 角 , SA AB,AD两两相互垂直 , 连结 DG 并延长交 SB 于 F S O S B D G SO是 的 中 线 ， 点 在 上 D F SBSB 面 F
12、AD面 SDBAD 面 SAB AD SBAG AG SB同理可得 , B G S DS O B D G S B D是 的 垂 心 S B D 又 是 等 边 三 角 形 SA AB AD ， tan 2SO A (6 分 ) （ 2） G 是 SBD 的重心 F 是 SB 的中点 C D A B C D S A B C D G S A B F H 面 过 的 平 面 交 面 于 C D S A D C D H F面 四 边 形 是 直 角 梯 形梯形的高 221542D H a a a ， 25 3 52 2 2 8C D H Fa aS a a 梯 形 . (12 分 ) 【注】可以用空间
13、向量的方法 . 18 （ 1） 90E . 4 分 （ 2）若该天订购 40 束鲜花，则盈利为 80 元； 若该天订购 100 束鲜花，盈利为 1 ，则其分布列为 1 20 200 p 0.2 0.8 1 2 0 0 .2 2 0 0 0 .8 1 6 4E （元） . 若该天订购 120 束鲜花，盈利为 2 ，则其分布列为 1 0 180 240 p 0.2 0.7 0.1 1 0 0 . 2 1 8 0 0 . 7 2 4 0 0 . 1 1 5 0E （元） . 综上可知，该花店这一天应订购 100 束鲜花盈利最大 . 12 分 19 （ 1） 3 1 3 1( 1 c o s 2 )
14、( 1 c o s 2 ) c o s c o s24A C A C . 又 1c o s c o s ( ) s i n s i n c o s c o s 2B A C A C A C 31sin sin 4AC . 3 1 3 1 3c o s ( ) 2 4 2CA 0 0 03 0 7 5 , 4 5C A C A . 6 分 （ 2） ( ) ( )( ) 22A P CQ A B B P CB B QA B CB A B B Q B P CB B P B QA B CB B P CB B AA B CB B P CA 又006 2 2 3 1sin 7 5 sin 6 0AB A
15、B ， A B C P Q 006 2 2 2sin 4 5 sin 6 0AB BC .从而 c o s 231A P C Q A B C B B B P C AB P C A 当 /BP CA 且同向时， m a x 2 6 3 1 3 3 1A P C Q . 12 分 20 （ 1）当 1a 时， ( ) ln( )f x x x ， 1( ) 1fx x ，令 ( ) 0 1f x x . 列表分析： e ( , 1)e 1 ( 1,0) ()fx 0 ()fx 1e 1 故 ()fx在 ,0e 上满足 ( ) 1fx ，从而 min( ) 1fx . 设 1 1 ln ( )( )
16、 ( ) 22 xh x g x x ，2ln( ) 1() xhx x ，令 ( ) 0h x x e ， ()hx 在 ,0e 上为减函数，故 m a x 11( ) ( ) 2h x h e e ，由于 m axm in( ) ( )f x h x ，从而1( ) ( ) 2f x g x. 6 分 （ 2） 1()f x a x . 若 0a ，则 () 0fx ， ()fx ， m in( ) ( ) 1f x f e a e ，令413a e a e ，矛盾 . 若 1a e ，令 1( ) 0 , 0f x x ea . e 1( , )ea 1a 1( ,0)a ()fx 0
17、()fx 11 ln( )a m in 1( ) 1 ln( )fx a ，令 211 ln ( ) 3 aea . 若 1 0ae ，则 ( ) 0 ( )f x f x ， m in( ) ( ) 1f x f e a e ，令 13ae ，得 41a ee （舍去） . 综合知 2ae . 12 分 21（ 1）设抛物线方程为 )0(22 ppyx ， 由 1yxp2 1p 2p ， 抛物线方程为 yx 42 ； 213 22d 4 分 （ 2）依题意，可设直线 AB 的方程为 ,mkxy 代入抛物线方程 yx 42 得 .0442 mkxx 设 ,AB两点的坐标分别是 ),( 11 y
18、x 、 122 ),( xyx 则 、 2x 是方程 的两根 . 6 分 所以 .421 mxx 由点 (0, )Pm分有向线段 AB 所成的比为 ，得 .,01 2121 xxxx 即又点 Q 与点 P 关于原点对称，故点 Q 的坐标是 (0, )m ，从而 )2,0( mQP . ).)1(,(),(),( 21212211 myyxxmyxmyxQBQA 7 分 )1(2)( 21 myymQBQAQP 2212121222121 4 4)(2)1(442 x mxxxxmmxxxxxxm .04 44)(2 221 x mmxxm 所以 ).( QBQAQP 8 分 （ 3）设 M )
19、4,( 211 xx， N )4,( 222 xx， )1,( 0 xQ ， 21xkMQ， MQ 的方程为 )(241121 xxxxy 042 121 yxxx ； MQ 过 Q ， 042 0121 xxx ，同理 042 0222 xxx 21,xx 为方程 042 02 xxx 的两个根； 421 xx ； 11 分 又 4 21 xxkMN ， MN 的方程为 )(4412121 xxxxxy 14 21 xxxy ，显然直线 MN 过点 )1,0( 12 分 22 （ 1） 21nna 4 分 (2)由 1nnaa ，而 1 1a ， 0na， 2231nn nna a m aa
20、， 2 2nnm a a ， 2( ) 1nma 恒成立， 1na ， 21nm ，即 3m 8 分 (3) 由 (2)得当 31m 时知 1nnaa ， 0na，设数列 11n nc a ，1 11 1n nc a ， 1 2 21123 2 ( 1 ) 111nnnn nnaca a m ama . 1m ， 10m ，故1 21 1 1 12 ( 1 ) 2 1 2nnnnnaccaa ，1 11112c a， 111 ( 2 )22nn nc c n ，1 2 3 2311( 1 )1 1 1 1 122 1 ( )12 2 2 2 212n nn nc c c c ， 即121 1 1 111 1 1 2 nna a a 14 分
