1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考理科数学 第六次月考 试卷 数学试卷（理科） 第 I 卷（共 50 分） 命题： 蔡小雄 校对 ：胡克元 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知 5 9 ( , )b i a a i a b R ，则 b= （ ） A 3 B 4 C 5 D 6 2 命题“若 ab ，则 11ab ”的逆否命题是 （ ） A 若 11ab ,则 ab B 若 ab ,则 11ab C若 11ab ,则 ab D若 ab ,则 11ab 3 以点（ 2， 1）为圆心且与直线
2、3 4 5 0xy 相切的圆的方程为 （ ） A 22( 2 ) ( 1) 3xy B 22( 2 ) ( 1) 3xy C 22( 2 ) ( 1) 9xy D 22( 2 ) ( 1) 9xy 4 函数 22( ) c o s sin55xxfx 的图象中相邻的两条对称轴之间的距离是 （ ） A 5 B 2 C 52 D 25 5 函数 2xy 的定义域为 , ab ,值域为 1,16 ,当 a 变动时 ,函数 ()b ga 的图象可以是( ) A B C D 6 2 2 c o s 8 2 1 s in 8 的化简结果是 （ ） A 4cos4 2sin 4 B 2sin4 C 2sin
3、 4 4cos4 D 2sin4 7 如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球，则平面 1ACD 截球 O 的截面面积为 （ ） O A B C D A1 B1 C1 D1 a b O -4 4 a b O -4 4 a b O 4 -4 a b O 4 -4 A BPCIA 6 B 3 C 66 D 33 8 从正方体的 8 个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条 ,则这两条直线是异面直线的概率是 （ ） A 18929 B 6329 C 6334 D 74 9 设 a， b， m 为正整数，若 a 和 b 除以 m 的余数相同，则称 a
4、 和 b 对 m 同余 记作(mod )a b m ，已知 1 2 2 4 2 0 0 9 4 0 1 82 0 0 9 2 0 0 9 2 0 0 93 3 3 , ( m o d 1 0 )a C C C b a ，则 b 的值可以是 （ ） A 1012 B 1286 C 2009 D 8001 10 已知 C 为线段 AB 上一点， P 为直线 AB 外一点，满足 2PA PB，25PA PB， P A P C P B P CP A P B ， I 为 PC 上一点，且 ( ) ( 0 )A C A PB I B A A C A P ，则 BI BABA 的值为 （ ） A 5 B 2
5、 C 15 D 0 第 II 卷（共 100 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 11 定义集合 A*B x|xA,且 xB ， 若 A 1， 3， 5， 7， B 2， 3， 5，则 A*B= 12 已知函数 22( ) 3 ( )f x x a x a a R 的零点有且只有一个，则a 13如图所示算法 程序框图中，令 ta n 3 1 5 , s in 3 1 5 ,ab cos315c ，则输出结果为 _ 14 设 na 是正项等比数列，令 nn aaaS lglglg 21 ， *Nn 如果存在互异正整数 nm、 ，使得 mn SS ，则 nmS =_
6、 开始 输入 a,b,c a=b ab? N Y a=c ac? N Y 输 出 a 结束 第 13 题 15若不等式组0024xyy x syx 表示的平面区域是一个三角形，则 s 的取值范围是 16一个圆锥和一个圆柱，下底面在同 一平面上，它们有公共的内切球，记圆锥的体积为 1V ，圆柱的体积为 2V ，且 21 kVV ，则 mink 17 集合 1, 2, 3, , 20S 的 4 元子集 1 2 3 4, , ,T a a a a 中，任意两个元 素的差的绝对值都不为 1，这样的 4 元子集 T 的个数为 (用数字作为答案 ) 三、解答题（本 大题共 5小题，共 72分。解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤） 18（本题满分 14分） 一个袋子内装有若干个黑球， 3 个白球， 2 个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取 2 个球，每取得一个黑球得 0 分，每取一个白球得 1分，每取一个红球得 2 分，已知得 0 分的概率为 61 ，用随机变量 表示取 2 个球的总得分 （） 求袋子内黑球的个数； （） 求 的分布列与期望 19（本题满分 14分） 如图所示，在直角梯形 ABCP 中， AP/BC， AP AB， AB=BC= 221 AP ， D 是 AP 的中点， E， F， G 分别为 PC、 PD、 CB 的中点，将 PCD 沿CD 折起，使得 PD 平面
8、 ABCD （）求证： AP/平面 EFG； ( ) 求二面角 DEFG 的大小 A D P C B G E F P D A B G C E F 20（本题满分 14分） 数列 na 中， 212,a t a t其中 0t 且 1t ， xt 是函数 311( ) 3 ( 1 ) 1 ( 2 )n n nf x a x t a a x n 的一个极值点 （） 证明 : 数列 1nnaa 是等比数列； （） 求 na 21 (本题满分 15分 )已知抛物线 yx 42 及定点 P（ 0， 8）， A、 B 是抛物线上的两动点，且 )0( PBAP 。过 A、 B 两点分别作抛物线的切线，设其交点
9、为 M （） 证明：点 M 的纵坐标为定值； （ ）是否存在定点 Q，使得无论 AB 怎样运动，都有 BQPAQP ？证明你的结论 22（本 小 题满分 15分） 设 32 , 1 , 1 f x x a x b x c x ，记 | ( )|y f x 的最大值为 M （） 当 30, 4a c b 时 ,求 M 的值 ； （ ） 当 ,abc取遍所有实数时，求 M 的最小值 （以下结论可供参考：对于 , , ,a b c d R ，有 | | | | | | | | | |a b c d a b c d ，当且仅当 , , ,abcd 同号时取等 号） 数学试卷（理科） 第 I 卷（共 5
10、0 分） 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C B D A B C C 二、填空题（本大题共 7小题，每小题 4分，共 28分） 11 1,7 12 3 13 cos315 （ c 也可以） 14 0 15 0 s 2 或 s 4 16 34 17 417 2380C 三、解答题（本大题共 5小题，共 72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 解： （） 设袋中黑球的个数为 n，则 22 5 1( 0 ) 6nnCp C 化简得： 2 3 4 0nn ，解得 4n 或 1n （舍去），即
11、有 4 个黑球 （） 11432911( 0 ) , ( 1 ) ,63CCpp C 2 1 13 2 429 11( 2) 36C C Cp 11 232 2229911( 3 ) , ( 4)6 36CC Cpp 的分布列为 914361461336112311610 E 19 解 :( ) 证明 :方法一 )连 AC,BD交于 O点 ,连 GO,FO,EO E,F 分别为 PC,PD 的中点 , EF / CD21 ,同理 GO / 12CD , EF / GO 四边形 EFOG 是平行四边形 , EO 平面 EFOG 又在三角形 PAC 中 ,E,O 分别为 PC,AC 的中点 ,PA
12、/EO EO 平面 EFOG,PA 平面 EFOG, PA/平面 EFOG,即 PA/平面 EFG 方法二 ) 连 AC,BD交于 O点 ,连 GO,FO,EO 0 1 2 3 4 P 61 31 1136 61 361 CAPGEFBDO E,F 分别为 PC,PD 的中点 , EF / CD21 ,同理 GE / 12PB 又 CD /AB, EF / AB21 , BABPBEEFEG 平面 EFG/平面 PAB, 又 PA 平面 PAB, /PA 平面 EFG 方法三 )如图以 D 为原点 ,以 DPDCDA , 为方向向量建立空间直角坐标系 xyzD 则有关点及向量的坐标为 : 0
13、, 0 , 2 , 0 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 0 , 1 , 1 , 0 , 0 , 1 , 2 , 0 0 .P C G E F A 1,1,1,0,1,0,2,0,2 EGEFAP 设平面 EFG 的法向量为 zyxn , .00000 y zxzyx yEGn EFn 取 1,0,1n APnAPn ,0210021 , 又 AP 平面 EFG AP/平面 EFG ( )由已知底面 ABCD是正方形 DCAD ,又 PD 面 ABCD PDAD 又 DCDPD AD 平面 PCD,向量 DA 是平面 PCD的一个法向量 , DA = 0,0,2 又由 ( )方法三
14、)知平面 EFG的法向量为 1,0,1n .2222 2,cos nDA nDAnDA 结合图知二面角 DEFG 的平面角为 .450 20 （ 1）由题意得 ( ) 0,ft 即 113 3 ( 1 ) 0n n na t t a a ， 11( ) , ( 2 )n n n na a t a a n ， 当 1t 时，数 列 1nnaa 是以 2tt 为首项， t 为公比的等比数列， （ 2） 211 ( ) ,nnna a t t t 即 11 ,nnnna t a t 1 0,nna t a t ()nna t n N ，此式对 1t 也成立 21 解：（ 1）方法 1：设 ),(),
15、( 2211 yxByxA ，抛物线方程为 241xy ，求导得 xy 21 ，所以，过抛物线上 A、 B 两点的切线方程分别为：111 )(21 yxxxy ，222 )(21 yxxxy ，即 222211 4121,4121 xxxyxxxy ，解得 )4,2( 2121 xxxxM 。又 )0( PBAP ，得 )8,()8,( 2211 yxyx ，即 )2()8(8 )1(2121 yy xx 将式（ 1）两边平方并代入 222211 41,41 xyxy 得 221 yy ，再代入（ 2）得 82y ，解得 8,821 yy且有 324 22221 yxxx ，所以，点 M 的纵
16、坐标为 -8。 方法 2：（ II） ,A B x直 线 与 轴 不 垂 直: 8.AB y kx设 1 1 2 2( , ), ( , ).A x y B x y 28,1 .4y kxyx 由 可得 2 4 32 0x kx ， 124x x k ， 12 32xx 抛物线方程为 211,.42y x y x求导得 所以过抛物线上 A、 B 两点的切线斜率分别是1112kx，2212kx， 1 1 1 2 2 21 1 1 1: ( ) ; : ( )4 2 4 2M A y x x x x M B y x x x x 解得： 221 2 1 2122111 144 84M x x x x
17、y x xxx 即点 M 的纵坐标为定值 8 （ 2）考虑到 AB/x 轴时，显然要使 BQPAQP ，则点 Q 必定在 y 轴上， 设点 (0, )Qt，此时 12,A Q B Qy t y tkkxx， 结合（ 1）中 1 2 1 24 , 3 2x x k x x 故22121 2 1 2 1 21 2 1 2( ) 4 ( )44 04A Q B Qxx tt x x x x t x xkk x x x x 对一切 k 恒成立 即： (8 ) 0kt 故当 8t ，即 (0, 8)Q 时，使得无论 AB 怎样运动，都有 BQPAQP 22 解： (1)求导可得 2 3 1 1 3 3
18、( ) ( )4 2 2f x x x x , 1 1 1m a x | ( 1 ) | , | ( ) | , | ( ) | , | ( 1 ) | 2 2 4M f f f f ,当 21,1x 时取等号 (2) 114 1 4 1 8 8 , 8 8 2 822f f b f f b ， 11| ( 1 ) | ; | ( 1 ) | ; | ( ) | ; | ( ) |88M f M f M f M f 112 4 4 | 1 | 4 | 1 | 8 | | 8 | |22M f f f f 11| 4 1 4 1 8 8 | 622f f f f 因此， 14M 11x 。 由（ 1）可知，当 30, 4ab,0c 时， 14M 。 min 14fx。
