1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考理科数学 第三次摸底考试 数学试卷 (理科 ) 命题人 : 王玉霞、庄树前、盛世红、戴有刚 审题人：高长玉 邢昌振 本试卷分为第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分共 150分，考试时间 120分钟 注意事项： 1 各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效 2 答题前，考生务必将自己的 “ 姓名 ” ， “ 班级 ” 和 “ 考号 ” 写在答题纸上 3 考试结束，只交答题纸 第 卷（选择题 满分 60分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
2、的） 1已知集合 M | 0 3xx ， N | | 2xx ，则 M N A x|1 x 3 B x|0 x 3 C x|2 x 3 D 2 复数 ii12 的虚部为 A 23 B 23 C 21 D 2 3 已知椭圆 11625 22 yx 上的一点 P，到椭圆一个焦点的距离为，则 P到另一焦点距离为 A 5 B 7 C 8 D 10 4函数 2xfx 与 2 xgx 的图像关于 A x轴对称 B y轴对称 C原点对称 D直线 y=x对称 5如果实数 xy、 满足条件 101010xyyxy ，那么 2xy 的最大值为 A 1 B 0 C 2 D 3 6 二项式 613 xx展开式的常数项
3、为 A -540 B -162 C 162 D 540 7 长方体 1111 DCBAABCD 中， AB=1， 21AA ， E 是侧棱 1BB 中点则直线 1AA 与平面EDA 11 所成角的大小是 A 30o B 45o C 60o D 90o 8 方程 0)1lg (1 22 yxx 所表示的曲线图形是 9 已知 数列 na 是正项等比数列， nb 是等差数列，且 76 ba ，则 一定 有 A 10493 bbaa B 10493 bbaa C 3 9 4 10a a b b D 3 9 4 10a a b b 10已知 , 是两个不同的平面， m， n是两条不同的直线，给出下列命题
4、： 若 ，则mm , ； 若 /,/, 则， nmnm ； 如果 与是异面直线，那么、 nnmnm , 相交； 若 ./,/, nnnnmnm 且，则，且 其中正确的 命题是 A B C D 11.已知 定义在 R 上的函数 )()( x、gxf 满足 ()() xfxagx，且 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x ，25)1( )1()1( )1( gfgf. 则 有穷数列 )()(ngnf( 1, 2,3, ,10n ） 的 前 n 项和大于 1615 的概率是 A 51 B 52 C 53 D 54 O 1 x y A O 1 x y C O 1 x y D O
5、 1 x y B 2 2 212. 已知抛物线 1)0(222222 byaxppxy 与双曲线有相同的焦点 F，点 A 是两曲线的交点，且 AF x轴，则双曲线的离心率为 A 2 122 B 215 C 13 D 12 第 卷 （ 非选择题 满分 90分） 二、填空题：本 大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .把答案填写在答题 纸 相应位置上 13 7位同学中需选派 4位按一定的顺序参加某演讲比赛，要求甲，乙两人必须参加，那么不同的安排方法有 _种 . 14已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 棱长 1，顶点 A、 B、 C、 D在半球的底面内，顶点 A1、 B1、 C1
6、、 D1在半球球面上，则此 半 球的体积是 . 15已知 nan ，把数列 na 的各项排列成如右侧的三角形状： 记 ( , )Amn 表示第 m行的第 n个数，则 (10,2)A . 16在正方体的 8个顶点中任意选择 4个顶点，它们可能是如下几何图形的 4 个顶点，这些几何图形是 （写出所有正确结论的 编号 ） 梯形 ； 矩形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是等腰直角三角形的四面体 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本题满分 10分） 已知 ).2,0(,2)4t
7、a n ( a （ I）求 tan 的值； （ II）求 .)32sin( 的值 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 18 （本题满分 12分） 已知数列1 11 ,44na a q是 首 项 为 公 比 的 等 比 数 列，设 *)(lo g3241 Nnab nn ，数列13nnnncc bb 满 足. （ ）求数列 nb 的通项公式 ； （ ）若数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求 limnn T. 19 （本题满分 12分） 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行 5次统一测试，学生如果通过其中 2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每
8、个学生最多也只能参加5次测试 . 假设某学生每次通过测试的概率都是 13 ，每次测试通过与否互相独立 . 规定：若前 4次都没有通过测试，则第 5次不能参加测试 . ( ) 求该学生考上大学的概率 . ( ) 如果考上大学或参加完 5次测试就结束，记该生参加测试的次数为 ，求 的分布列及 的数学期望 . 20 （本题满分 12分） 如图，棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 ， PA 平面 ABCD ，3 , 4P A A D A B ， Q 为棱 PD 上一点，且 2DQ QP . （ ）求二面角 Q AC D的余弦值； （ ）求点 C 到平面 PBD 的距离 . D P A B C
9、 Q 21 （本题满分 12分） 已知函数 ln() xfx x . （）求函数 ()fx的单调区间及其极值 ; （）证明：对一切 (0, )x ，都有 2( 1) lnx xx x e xe 成立 . 22 （本题满分 12分） 已知抛物线 2 4xy ，过定点 0 (0, )( 0)M m m 的直线 l 交抛物线于 A、 B两点 . ( )分别过 A、 B作抛物线的两条切线， A、 B为切点，求证：这两条切线的交点 00( , )Px y 在定直线 ym 上 . ( )当 2m 时，在抛物线上存在不同的两点 P、 Q 关于直线 l 对称，弦长 |PQ|中是否存在最大值？若存在，求其最大值
10、（用 m 表示），若不存在，请说明理由 . 答案 第 卷（选择题 满分 60分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CABCA ABDBD CD 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .把答案 填写在答题 纸 相应位置上 13 240 14 62 15 83 16 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本题满分 10分） （ I）解： tan1 1tan)4tan ( ， 由 .2t a n1 1t a n,2)4t a n ( 可得 解得 .3
11、1tan （ II）解：由 .10 103c o s,1010s i n),2,0(,31t a n 可得 234sin 2 2 sin c o s , c o s 2 1 2 sin ,553 1 4 3 3 4 3sin ( 2 ) sin 2 c o s c o s 2 sin .3 3 3 5 2 5 2 1 0 因 此18 （本题满分 12分） 解：（ ）由题意知， *)()41( Nna nn 1144 12 3 l o g 3 l o g ( ) 34 nnnb a n ，即 32nbn （ ）由（ ）知， 3 2( *)nb n n N 3 1 1( 3 2 ) ( 3 1 )
12、 3 2 3 1nc n n n n 1 1 1 1 1 1( 1 ) ( ) ( ) 14 4 7 3 2 3 1 3 1nT n n n 1lim lim (1 ) 131nnnT n 19 （本题 满分 12分） 解：（）记“该生考上大学”的事件为事件 A，其对立事件为 A ，则.2 4 31 1 281162 4 364)32()32()32)(31()( 4314 CAP 1 1 2 1 3 1( ) 1 ( ) 1 .2 4 3 2 4 3P A P A （）该生参加测试次数的可能取值为 2， 3， 4， 5. 211( 2) 39P ， 12 1 2 1 4( 3 ) . . .
13、3 3 3 2 7PC ， 2143 1 2 1 2 4 16 28( 4 ) ( )3 3 3 3 27 81 81PC ， 314 1 2 3 2( 5 ) .3 3 8 1PC 故 的分布列为： 2 3 4 5 P 91 274 2881 3281 2 3 4 5 .813 2 681325812842743912 E 20 （本题满分 12分） 解法一： （ ）在棱 AD 取三等分点 M ，使 MA2DM ，则 PAQM/ ， PA 平面 ABCD ， QM 平面 ABCD ，过点 M 作 ACMN 于 N ，连结 QN ， 则 ACQN ， QNM 为所求二面角 Q AC D的平面角
14、 . 在 QMN 中， 4Q M 2 , M N 5A M C DAC ， 22 2 2 95Q N Q M M N ， M N 2 2 9c o s Q N M .Q N 2 9 所以，二面角 Q AC D的余弦值为 2 29.29 （ ）因为 OCAO ，所以点 C 到平面 PBD 的距离等于 A 到平面 PBD 的距离， PA 平面 ABCD ， 过点 A 作 BDAG 于 G ，连结 PG ，则 BDPG ， BD 平面 PAG ，过点 A 作 PGAH 于 H ， 则 PBDAH 平面 ， AH 为所求距离， .41 411254135123PGAGPAAH 所以， 求点 C 到平面
15、 PBD 的距离为 .414112 解法二： P 91 274 2881 3281 D P A B C Q O M N D P A B C G H O D P A y z Q 证：（ ）建立如图所示的直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）、 D（ 0， 3， 0）、 P（ 0， 0， 3）、 B(4， 0， 0)、 C(4， 3， 0), 有已知得 (0,1,2)Q ， 得 ( 0 , 3 , 3 ) , ( 4 , 3 , 0 )P D A C . 设平面 QAC的法向量为 ),(1 zyxn ，则 110 , 0n P D n A C ， 即 0 2 04 3 0 0yzxy ， 341
16、2xyzy ， 令 4y ，得到平面 QAC的一个法向量为 1 (3, 4,2)n PA 平面 ABCD， )01,0(AP 为平面 ABCD的法 向量 . 设二面角 P CD B的大小为 ，依题意可得 112 2 2 9c o s .2929n A Pn A P ， （ ）由（ ）得 ( 4 , 0 , 3 ) , ( 0 , 3 , 3 )P B P D 设平面 PBD的法向量为 ),(2 zyxn ，则 220 , 0n P B n P D ， 即 4 0 3 00 3 3 0xzyz ， 令 3x ，得到平面 QAC的一个为法向量为 2 (3,4,4)n (0,3,0)BC ， C到面 PBD的距离为 221 2 1 2 4 1 .4141n B Cdn 21 （本题满分 12分） （）解：21 ln( ) xfx x，令21 ln( ) 0xfx x，得 xe . x (0, )e e (, )e ()fx 0 ()fx 增 极大值 减
