1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届 高 考理科数学第 二 次 模 拟卷 (数学理 ) 命题、审校人：沈阳二中 杨宁生 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若四个幂函数 ayx ， byx ， cyx ， dyx 在同 一坐标系中的图象如右图，则 a 、 b 、 c 、 d 的大小 关系是 ( ) A d c b a B a b c d C d c a b D a b d c 2定义运 acb ad bcd ， 则符合条件1zi1201 ii 的复数
2、z的共轭复数所对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知函数 123() logxfx x, 1, 1.xx 若 0( ) 3fx ，则 0x 的取值范围是 ( ) A 0 8x B 001x或 0 8x C 008x D 010x 或 008x 4平面 外有两条直线 m 和 n ， 如果 m 和 n 在平面 内的射影分别是 m 和 n ， 给出下列四个命题： m n m n ； m n m n ； m 与 n 相交 m 与 n 相交或重合； m 与 n 平行 m 与 n 平行或重合 其中不正确的命题个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 5一个蜂巢里有
3、1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天， 6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有 ( )只蜜蜂 A 55986 B 46656 C 216 D 36 6已知正整数 a ， b 满足 4 30ab ， 使得 11ab 取最小值时，则实数对 (, )ab 是 ( ) A (5， 10) B (6， 6) C (10， 5) D (7， 2) 7 c o s 2 0 c o s 1 0 3 s i n 1 0 t a n 7 0 2 c o s 4 0s i n 2 0 =( ) A 12 B 22
4、C 2 D 32 8某部队为了了解 战士课外阅读情况，随机调查了 50 名 战士，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数 据结果用右面的条形图表示，根据条形图可得这 50 名战士这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) A 0.6h B 0.9h C 1.0h D 1.5h 9从数字 1， 2， 3， 4， 5 中，随机抽取 3 个数字 (允许重复 )组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为 ( ) A 13125 B 16125 C 18125 D 19125 10计算 22 40 x dx的结果是 ( ) A 4 B 2 C D 2 11设斜率为 22 的直线 l 与椭圆 221x
5、yab，（ 0ab） 交于不同的两点，且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ( ) A 22 B 12 C 33 D 13 12一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何 体，余下的几何体的三视图如图，则该圆锥的体积为 ( ) A 43 B 2 C 83 D 103 二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20 分。 13实数 x 、 y 满足不等式组 0 02 2 0yxyxy ， 则 31ym x 的取值范围为 14如果执行下面的程序框图，那么输出的 S 等于 15对正整 数 n ， 设抛物线 2 2(2 1)y n x， 过 (2 ,0)P
6、n 任作直线 l 交抛物线于 nA ， nB 两点，则数列2( 1)nnOA OBn的前 n 项和公式是 16对下面四个命题： 若 A 、 B 、 U 为集 合， AU ， BU ， A B A ， 则 UUC A C B ； 二项式 621(2 )x x的展开式中，其常数项是 240； 对直线 l 、 m ， 平面 、 ， 若 l / ， l / ， m ，则 l /m ； 函数 2( 1) 1yx ，（ 0x ） 与函数 11yx ，（ 1x ） 互为反函数 其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17 (本小题满分
7、12 分 ) 已知 O 为坐标原点， 2(2 sin , )OA a x a ， (1 , 2 3 s in c o s 1 )O B x x ， ()f x OA OB b ，（ ab 且 0a ） (1) 求 ()y f x 的单调递增区 间； (2) 若 ()fx的定义域为 ,2， 值域 2,5 ， 求 a ， b 的值。 18 (本小题满分 12 分 )四棱锥 P ABCD 中， PB 底面 ABCD ， CD PD 底面 ABCD 为直角梯形， /AD BC ， AB BC ， 3AB AD PB 点 E 在棱 PA 上，且2PE EA (1)求异面直线 PA 与 CD 所成的角；
8、(2)求证： /PC 平面 EBD ； (3)求二面角 A BE D的大小 (用反三角函数表示 ) 19 (本题满分 12 分 )当 n 为正整数时，区间 ( , 1)nI n n， na 表示函数 31() 3f x x x在nI 上函数值取整数值的个数，当 1n 时 ， 记 1n n nb a a 当 0x ， ()gx 表示把 x“四舍五入”到个位的近似值，如 (0.48) 0g ， ( 2) 1g ， (2.76) 3g ， (4) 4g ， ，当 n 为正整数时， nc 表示满足 ()g k n 的正整数 k 的个数 ( )求 2b ， 2c ； ( ) 求证： 1n 时， nnbc
9、 ； ( ) 当 n 为正整数时，集合 1 | ( ) ,2n kM g k n k N 中所有元素之和为 nS ， 记(2 2 )nnnnTS ， 求证： 1 2 3 3nT T T T 20 (本小题满分 12 分 ) 设双曲线 222 13yxa 的两个焦点分别为 1F 、 2F ， 离心率为 2 (1) 求此双曲线的渐近线 1l 、 2l 的方程； (2) 若 A 、 B 分别为 1l 、 2l 上的点，且 122 | | 5 | |AB F F ， 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； (3) 过点 (1,0)N 能否作出直线 l ，使 l 与双曲线交于 P
10、、 Q 两点，且 0OP OQ若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由 21 (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) ln( )xf x e a，（ a 为常数 ） 是实数集 R 上的奇函数，函数( ) ( ) sing x f x x是区间 1,1 上的减函数。 (1) 求 a 的值； (2) 若 2( ) 1g x t t 在 1,1x 恒成立，求 t 的取值范围； (3) 讨论关于 x 的方程 2ln 2()x x ex mfx 的根的个数。 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的
11、题号涂黑。 22 (本小题满分 10 分 )选修 4 1：几何证明选讲 已知：如右图，在等腰梯形 ABCD 中 /AD BC ， AB DC ， 过点 D 作 AC 的平行线 DE ， 交 BA 的延长线于点 E 求证： (1) ABC DCB ； (2) DE DC AE BD 23 (本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 设过原点 O 的直线与圆 C ： 22( 1) 1xy的一个交点为 P ， 点 M 为线段 OP 的中点。 (1) 求圆 C 的极坐标方程； (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线 24 (本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲
12、 解不等式 2| 3 4 | 1x x x 2009 届 高三第二次模拟考试试题 数学 (理 )参 考答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 C 11 A 12 C 13 13 3m 14 441 15 ( 1)nn 16 17解 ：（ 1） 2( ) 2 s i n 2 3 s i n c o sf x O A O B b a x a x x a b 2 s in ( 2 ) 26a x a b 2 分 当 0a 时，由 32 2 22 6 2k x k ，（ kz ）， 得 ()y f x 的单调递增区间为 2 , 63kk，（ kz ） 4 分
13、 当 0a 时， 2 2 22 6 2k x k ，（ kz ）， 得 ()y f x 的单调递增区间 , 36kk，（ kz ） 6 分 （ 2） ( ) 2 s i n ( 2 ) 26f x a x a b ， , 2x ， 7 132 , 6 6 6x ， 1sin (2 ) 1, 62x 8 分 当 0a 时， 2 2 512 2 22a a ba a b ， 解得 11ab， 不满足 ab ， 舍去 10 分 当 0a 时， 2 2 212 2 52a a ba a b ， 解得 16ab ，符合条件， 综上， 1a ， 6b 12 分 18解 ：（ 1） 建立如图所示的直角坐标系
14、 B xyz 设 BC a ， 则 (0,3,0)A ， (0,0,3)P ， (3,3,0)D ， ( ,0,0)Ca (3 ,3,0)CD a ， (3,3, 3)PD， CD PD ， 0CD PD， 即 3(3 ) 9 0a ， 6a 2 分 ( 3,3,0)CD ， (0,3, 3)PA， cos PA ， 91 2| | | | 3 2 3 2C D P ACD C D P A 异面直线 CD 与 AP 所成的角为 60 4 分 （ 2） 连结 AC 交 BD 于 G， 连结 EG ， 12AG ADGC BC， 又 12AEEP AG AEGC EP 5 分 /PC EG 6 分
15、 又 EG 平面 EBD ， PC 平面 EBD /PC 平面 EBD 8 分 （ 3）设平面 EBD 的法向量为 1 ( , ,1)n x y ，因为 (0,2,1)BE ， (3,3,0)BD ，由 110n BEn BD 得 2 1 03 3 0yxy 所以，1212xy 于是，1 11( , ,1)22n 10 分 又因为平面 ABE 的法向量 1 (1,0,0)n 所以 1cos n ，2 1666n 所以 ， 二面角 A BE D的大小为 6arccos 6 12 分 19解： （） 2( ) 1 ( 1 ) ( 1 )f x x x x ， 当 (1,2)x ， ( ) 0fx
16、， ()fx为增函数 ， 22(1 ) ( ) ( 2 )33f f x f ， 1 1a 2 分 同理 (2,3)x 时， ( ) 0fx ， ()fx为增函数 ， 2( 2 ) ( ) ( 3 ) 63f f x f ， 2 5a ， 2 2 1 4b a a 3 分 又 2c 表示满足 2gk 的正整数 k 的个数。 3522k， 9 2544k ， 3,4,5,6k 2 4c 4 分 （ ） 当 n 为正整数 ，且 1n ， ( , 1)x n n时， 31() 3f x x x为增函数， ( ) ( ) ( 1)f n f x f n 2 2( 1 ) ( ) 3f n f n n
17、n 2 1na n n 5 分 21 ( 1) ( 1) 1na n n ， 1 2n n nb a a n 6 分 又 nc 表示满足 ()g k n 的正整数 k 的个数， 1122n k n 1144n n k n n ， 2 1k n n ， 2 2nn ， 2 3nn ， ， 2nn ，共 2n 个。 2ncn ， nnbc 8 分 （）由（ ）知： 1 | ( ) , 2kM g k n k N 2 2 2 21 2 3 21 1 1 1 , , , 2 2 2 2n n n n n n n n n 2 2 2 21 2 3 21 1 1 1( 2 2 ) ( 2 2 ) ( )2
18、 2 2 2n n n nnn n n n n n n n n nTS 221111 ( ) 22( 2 2 )112nnnnn 2 2 242 ( 1 ) ( 1 )2 1 1 12 2 2 2nn n n n 10 分 1 2 3 nT T T T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 2 1 3 2 4 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2n n n n 2 2 2 2 2 20 1 ( 1 ) 0 11 1 1 1 1 12 ( ) 2 32 2 2 2 2 2nn
19、 12 分 20解： （ 1） 2e ， 224ca 223ca， 1a ， 2c 2 分 双曲线方程为 22 13xy ，渐近线方程为 33yx 3 分 （ 2）设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ， AB 的中点 ( , )Mxy 122 | | 5 | |AB F F 1255| | | | 2 1 022A B F F c 221 2 1 2( ) ( ) 1 0x x y y 1133yx，2233yx， 122x x x ， 122y y y 5 分 1 2 1 23 ()3y y x x ，1 2 1 23 ()3y y x x 221 2 1 23 3 (
20、) ( ) 1 03y y x x 2213(2 ) (2 ) 1 0 03yx，即 223 175 25xy 7 分 则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 103 ， 短轴长为 1033 的椭圆 (8分 ) (3)假设存在满足条件的直线 l 设 l ： ( 1)y k x， l 与双曲线交于 11( , )Px y 、 22( , )Qx y 0OP OQ 1 2 1 2 0x x y y 21 2 1 2( 1) ( 1) 0x x k x x 21 2 1 2 1 2 ( ) 1 0x x k x x x x 10 分 22( 1)13y k xxy 2 2 2 2(
21、3 1 ) 6 3 3 0k x k x k ， 212 2631kxx k ， 212 23331kxx k 11 分 2 30k k 不存在，即不存在满足条件的直线 l 12 分 21解： (1) ( ) ln( )xf x e a是实数集 R 上的奇函数 0(0 ) ln ( ) 0f e a 0a 3 分 （ 2） ( ) ( ) sing x f x x是区间 1,1 的减函数 1 ， m a x ( ) ( 1 ) s i n 1g x g 只需 2sin 1 1tt 2( 1) s in 1 1 0tt ，（ 1 ） 恒成立 5 分 令 2( ) ( 1 ) s i n 1 1h
22、 t t ，（ 1 ） 则2101 sin 1 1 0t tt 21 sin1 0ttt ，而 2 sin1 0tt 恒成立 ， 1t 7 分 (3)由 (1)知 ()f x x 方程 2ln 2x x ex mx 令1 ln() xfx x， 22 ( ) 2f x x ex m 1 21 ln() xfx x 8 分 当 (0, )xe 时， 1( ) 0fx ， 1()fx在 0,e 上是增函数 当 ,xe 时， 1( ) 0fx ， 1()fx在 ,e 上是减函数 当 xe 时，1 m ax 1 1 ( ) ( )f x f e e 9 分 而 222 ( ) ( )f x x e m e
