1、 新课标高二数学同步测试 （期末测试题 2 2） 说明： 本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内 （每小题 5 分，共 50 分） 1已知函数 )()1ln ()( 2 xfxxxf 则是 （ ） A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数也是偶函数 2 设 x ， Ry ，则 0xy 是 | yxyx 成立的 （ ） A充分条件，但不是必要条件； B必要条件，但不是充分条件； C充分且必要条件； D既不充分又不必要条件 .
2、 3 112 ii的值等于 （ ） A 1 B 1 C i D i 4使复数 a bi a b ( )、 不同时为零 等于它的共轭复数的倒数的充要条件是 （ ） A ( )a b 2 1 B a b2 2 1 C a b2 2 1 D ( )a b 2 1 5椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率 e 为（ ） A 1010 B 1717 C 13132 D 3737 6如果用 C， R 和 I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中 C 为全集，那么有（ ） A C R I B R I 0 C ICRCU D R I 7长方体 ABCD A B1C D 中， E、
3、 F 分别为 C ， 的中点，且 ， ，则 CE 与 BF 所成角的余弦值是 （ ） A 1010 B 10103 C 3434 D 34345 8设 F1、 F2 为双曲线 42x y2=1 的两焦点 , 点 P 在双曲线上 , 当 F1PF2 面积为 1 时 , 21 PFPF 的值为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 21 9如果复数 Z ai Z 3 2 2满足条件 | | ,那么实数 a 的取值范围是 （ ） A ( , )2 2 2 2 B ( , )22 C ( ,)11 D ( , ) 3 3 10已知复数 Z a bi Z b ai a b1 2 , ( 其中 、都是实数，
4、且 ab0 ），在复平面内，Z1、 Z2 所对应的点与原点组成的三角形是 （ ） A锐角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 二、填空题：请把答案填在题中横线上 （每小题 6 分，共 24 分） 11若 Z C Z Z Z , | | , | | ,2 11 3 4且 则复数 12 若 *),1,0(,. . . . . . .321*,1,0 12 NnxxnxxxSNnxx nn则 13平面直角坐标系下直线的方程为 )0(,0 22 BACByAx ，请类比空间直角坐标系下平面的方程为 14椭圆 x2+22ay =1(0a1)上离顶点 A(0, a)距离最远的点恰好是另一个
5、顶点 A (0, - a), 则 a的取值范围是 三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (共 76 分 ) 15（ 12 分） 已知命题 P ：复数 22l g ( 2 2 ) ( 3 2 )z m m m m i 对应的点落在复平面的第二象限；命题 Q ：以 m 为首项，公比为 q 的等比数列的前 n 项和极限为 2.若命题“ P且 Q ”是假命题，“ P 或 Q ”是真命题，求实数 m 的取值范围 . 16（ 12 分）（ 1） 设 x 1，求一个正常数 a，使得 x 331 ax ； （ 2）设 ix 1， 033231 nxxx ，求证： nxxx 21 31 17（
6、12 分）用数学归纳法证明等式对所以 n N*均成立 nnnnn 2121112112 14131211 18（ 12 分）设函数 axxxf 1)( 2 ，其中 0a （ I）解不等式 1)( xf ； （ II）证明：当 1a 时，函数 )(xf 在区间 ),0 上是单调函数 19 如图，正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD、 ABEF 互相垂直 . 点 M在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN= )20( aa . （）求 MN 的长； （）当 a 为何值时， MN 的长最小； （）当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面
7、角 的大小 . 20（ 14 分）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 22 ，相应于焦点 F（ c， 0）（ 0c ）的准线 l 与 x 轴相交于点 A， |OF|=2|FA|，过点 A 的直线 与椭圆相交于 P、 Q 两点 . （）求椭圆的方程及离心率； （）若 0OQOP ，求直线 PQ 的方程； （）设 AQAP （ 1 ），过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M， 证明 : FQFM . 参考答案 一、 1 B； 2 A 3；答案： B 分析： 11 1 ii i i 11 12 2ii i另解：原式 11 22 122ii ii故选 B 4 B 5 A 6答案： D
8、 分析：由复数概念，如下图， R I 故选 D； 7 D； 8 A； 9答案： D 分析：由题意， |( ) | ,3 2 2 ai 得 1 22 a , 解得， 3 3a 因此本题应选 D 10 二、 11 7i ； 1221)1( )1(1 x nxxnnn ；解析：当 x 1 时， ， 两边都是关于 x 的函数，求导得 即13 )0(,0 222 CBADCzByAx 14 122， 三、 15 解：命题 P 有： 22lg ( 2 2 ) 0 3 2 0 mmmm 由 得： 20 2 2 1 1 3 3 1 1 3m m m m 或 由 得： 2 3 2 0 2 1m m m m 或
9、由上得满足 P 的 m 的取值范围是： 1 3 3m 或 1 1 3m 对命题 Q ,有： 21mq又 1 1 0qq 且 得： 04m且 2m 又 命题“ P 且 Q ”是假命题，“ P 或 Q ”是真命题，则 m 的范围是 ( 1 , 1 3 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 1 3 3 , 4 ) 16解： x 331 ax 可化为 133 3 xax 0，令 )(xf = 133 3 xax ， 39 2 axxf )( ，由 0)( xf 得， ax 31 )(1f =3a-2 0， )( 1f =-3a+4 0， 32 a 34 ， a31 -1， 1， 13133131331
10、aaaaaf )(0，即 a 34 由、得， 34a . 从而当 x 1 时， 133 3 xax = 2121 )( xx 0， 即 x 331 ax . 由知，对 ix 1，有 ix 33431ix，（ i=1， 2， n） 将这 n 个式子求和，得 nxxx 21 31 . 17证明： i)当 n=1 时，左式 = 21211 ，右式 = 21111 ， 左 式 =右式，等式成立 ii)假设当 n=k(k N)时等式成立， 即 kkkkk 2121112112 14131211 ， 则当 n=k+1 时， )1(21)1(13)1(12)1(11)1(1221121413121)2211
11、1(1213121221121)212111(221121)211214131211(221121211214131211kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk即 n=k+1 时，等式也成立， 由 i) ii)可知，等式对 n N 均成立 小结：在利用归纳假设论证 n=k+1 等式成立时，注意分析 n=k 与 n=k+1 的两个等式的差别 n=k+1 时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由 11k 变为 21k 因此在 证明中，右式中的 11k 应与 - 221k 合并，才能得到所证式因而，在论证之前，把n=k+1 时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的 由
12、例 1 可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是 f(n)与 n 的关系；二是 f(k)与 f(k+1)的关系 18解 1：（ I）分类讨论解无理不等式（略） （ II）作差比较（略） 解 2： ax xxf 1)( 2（ i）当 1a 时，有 axx 112，此时 0)( xf ，函数 )(xf 在区间 ),( 上是单调递减函数但 1)0( f ，因此，当且仅当 0x 时， 1)( xf （ ii）当 10 a 时，解不等式 0)( xf ，得21 aax ， )(xf 在区间 1,(2aa上是单调递减函数 解方程 1)( xf ，得 0x 或212 aax ， 22 1
13、210 aaaa ， 当且仅当2120 aax 时， 1)( xf ， 综上，（ I）当 10 a 时，所给不等式的解集为： 2120|aaxx ； 当 1a 时，所给不等式的解集为： 0| xx （ II）当且仅当 1a 时，函数 )(xf 在区间 ),0 上时单调函数 19 向量法） 解析：如图，建立空间直角坐标系 B-xyz， 则 A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 0， 1）， E（ 0， 1， 0）， F（ 1， 1， 0）， （ I） CAaBCCMBCBM2 )1,0,1(2)1,0,0( a )21,0,2( aa BFaBN 2 )0,2,2( aa BMBNMN )12,
14、2,0( aa ， )20(122 aaaMN （ II）由（ I）知： 122 aaMN21222 a 所以当 22a 时， MN 的长最小，此时 MN= 22 （ III）由（ II）知，当 MN 的长最小时， 22a ， 此时 M、 N 分别是 AC、 BF 的中点 取 MN 的中点 G，连结 AG、 BG，易证 AGB 为二面角 A-MN-B 的平面角 点 )21,0,21(M ，点 )0,21,21(N ，点 )41,41,21(G )41,41,21( GA ， )41,41,21( GB ， 31|,c o s GBGA GBGAGBGA， 故所求二面角 )31arccos( =
15、 31arccos 20 （）解：由题意，可设椭圆的方程为 )2(12222 ayax .由已知得).(2,2222ccacca 解得 2,6 ca 所以椭圆的方程为 126 22 yx ，离心率 36e .（）解：由（ 1）可得A（ 3， 0） .设直线 PQ 的方程为 )3( xky .由方程组 )3(,126 22xkyyx 得 062718)13(2222 kxkxk 依题意 0)32(12 2 k ，得3636 k .设 ),(),( 2211 yxQyxP ，则 13182 221 k kxx ， 13 627 2221 kkxx . 由直线 PQ 的方程得 )3(),3( 221
16、1 xkyxky .于是 ABCDEFMNGyxz9)(3)3)(3( 2121221221 xxxxkxxkyy . 0OQOP ，02121 yyxx . . 由得 15 2k ，从而 )36,36(55 k . 所以直线 PQ 的 方 程 为 035 yx 或 035 yx . （ ） 证 明 ：),3(),3( 2211 yxAQyxAP .由已知得方程组.126,126,),3(3222221212121yxyxyyxx注意 1 ，解得 2 152 x. 因 ),(),0,2( 11 yxMF ， 故 ),1)3(),2( 1211 yxyxFM ),2 1(),21(21 yy . 而 ),2 1(),2(222 yyxFQ ，所以 FQFM .
