1、 高二 文 科数学下学期期末试题 2008.6 注意：本试卷满分 150 分，分为 卷和卷两部分，第卷的答案涂在答题卡上，第卷的答案按要求写在答题纸上 . 卷（满分 50 分） 一、选择题：本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个正确答案，答案涂在答题卡上 . 1. 已知、是两个不重合的平面， l、 m 是两条不重合的直线，则的一个充分条件是 （ ） A l， m且 l m B l ， m 且 l m C l ， m 且 l、 m D l， m且 l m 2. 集合 2010xCx中元素个数为（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3. 若 1 2 33
2、 naa的展开式中含有常数项，则正整数 n的最小值是 （ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4. 将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相同的安排方法的种数为（ ） A 252 B 112 C 72 D 120 5. 一个盒子装有 11 只球，球上分别标有号码 1， 2， 3， ， 11，若随机取出 6 只球，它们号码之和是奇数的概率是（ ） A. 118231 B.115231 C. 100231 D. 12 6. 如图，在斜三棱柱 111 CBAABC 中， ACBCBAC 1,90 ， 则 1C 在平面 ABC 上的射影 H 必在（ ） A、 ABC
3、 内部 B、直线 BC 上 C、直线 CA 上 D、直线 AB 上 7.已知函数 )(xfxy 的图象如右图所示（其中 )(xf 是函数)(xf 的导函数），下面四个图象中 )(xfy 的图象大致是（ ） A 1C 1B 1CBA8.如果 ， AB 与 AC 是夹在平面 与 之间的两条线段， AB AC 且2AB ，直线 AB 与平面 所成的角为 30 ，那么线段 AC 长的取值范围是 （ ） A、 2 3 4 3,33B、 1, C、 231,3D、 23,3 9. 若点 P 在曲线 43)33(3 23 xxxy 上移动，经过点 P 的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是 （ ） A )2
4、,0 B ),32)2,0 C ),32 D 32,2()2,0 10. 设 )(, xgxf 在 m,n上可导 , 且 )()( xgxf , 则当 nxm 时 ,有 ( ) A. xgxf . B. xgxf C. mfxgmgxf . D. nfxgngxf 卷（满分 100 分 ） 二、 填空题 （本大题共 4小题，每小题 4分共 16分） 11. 若 22 3 5 ( )nn n a n N 能被 25 整除，则 a 的最小正数值是 _ . 12.已知曲线 C： xxxy 23 23 ，直线 kxyl : ，且直线 l 与曲线 C 相切于点 00,yx 00x ，则直线 l 的方程
5、_ ,切点坐标 _ . 13. 某种产品有 3 只次品和 6 只正品，每次取出一只测试，直到 3 只次品全部测出为止，求第三只次品在第 6 次测试时被发现的不同的测试情况有 _种 . 14某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为 4x 万元， 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 吨 15. (1-x)5 (1+x+x2 )4 的展开式中 x7 项的系数是 _, 各项系数和为 _ 三、解答题： （ 本大题共 6小题，满分 75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 16、（ 12 分 ）如图，在长方体 1111 DCBAAB
6、CD 中， aADAA 1 ， aAB 2 ，E 、 F 分别为 11CD、 11DA 的中点 （ 1）求证： DE 平面 BCE ； （ 2）求证： /AF 平面 BDE 17（本小题满分 12 分）已知 10 件产品中有 3 件是次品 . （ 1）任意取出 3 件产品作检验，求其中至少有 1 件是次品的概率； （ 2）为 了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6，最少应抽取几件产品作检验？ 18. （本小题满分 12 分）已知 ).Ra(x3ax2x32)x(f 23 (1)当 41|a| 时 , 求证： )x(f 在 )1,1( 内是减函数 ; (2)若 )x(fy 在 )1,1
7、( 内有且只有一个极值点 , 求 a 的取值范围 A B D C 1A 1B 1C E F 19（本小题满分 12 分） 省工商局于 2007 年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的 x 饮料的合格率为 80%，现有甲，乙，丙 3 人聚会，选用 6 瓶 x 饮料，并限定每人喝 2 瓶，求： （ 1）甲喝 2 瓶合格的 x 饮料的概率； （ 2）甲，乙，丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不 合格的 x 饮料的概率 (精确到 0.01) 20.（本小题满分 13 分）如图，棱柱 ABCD A1B1C1D1的所有棱长都等于 2， ABC=60，平面 AA1C
8、1C平面 ABCD， A1AC=60 . （ 1）证明： BD AA1； （ 2）求二面角 D A1A C的平面角的余弦值； （ 3）在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP/平面 DA1C1？ 若存在，求出点 P的位置；若不存在，说明理由 . 21 （本小题满分 14 分） 设函数 32()f x ax bx cx d 是奇函数，它的图象记为曲线 C， (1, (1)Pf 是曲线 C 上的一点，以 P 为切点与曲线 C 相切的直线方程是l ： 22yx （ 1）求函数 ()fx的解析式； （ 2）过 P 与曲线 C 相切的直线除了 l 外，还存在其它直线吗？如有，请再求出一条来，若没有请说明
9、理由； （ 3）是否存在这样的实数 t ，使过点 (1,)Qt可以作三条直线与曲线 C 相切？若存在， 求出实数 t 的取值范围；若不存在，请说明理由 08年 高 二下学期 期末考试 参考答案 一、选择题： （本大题共 10 个小题；每小题 5 分，共 50 分 .） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 A C C B A D C D B C 二、填空题： （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 .） 11、 4; 12、 xy 41 ; 83,2313、 7200； 14 、 20 ； 15、 -6;0 三、解答题： （本大题共 6 小题，共 75 分 .）
10、 16、 （本小题满分 12 分） 证明： BC 侧面 11CCDD ， DE 侧面 11CCDD ， BCDE ， 3 分 在 CDE 中， aDECEaCD 2,2 ，则有 222 DECECD ， 90DEC ， ECDE ， 6 分 又 CECBC DE 平面 BDE 7 分 （ 2）证明：连 EF 、 11CA ，连 AC 交 BD 于 O ， 1121/ CAEF，1121/ CAAO， 四边形 AOEF 是平行四边 10 分 OEAF/ 11 分 又 OE 平面 BDE ， AF 平面 BDE ， /AF 平面 BDE 14 分 A B D C 1B 1C F O 17、解：（
11、1）任意取出 3 件产品作检验，全部是正品的概率为24731037 CC 3 分 至少有一件是次品的概率为 .24172471 6 分 （ 2）设抽取 n 件产品作检验，则 3 件次品全部检验出的 概率为 .103733nnCCC 8 分 由 ,)!10(! !10106)!10()!3( !7,6.01037nnnnCC nn 即 整理得： 689)2)(1( nnn ， 10 分 ,10, nNn 当 n=9 或 n=10 时上式成立 . 11 分 答：任意取出 3 件产品作检验，其中至少有 1 件是次品的概率为 ;2417 为了保证使 3件次品全部检验出的概率超过 0.6，最少应抽取 9
12、 件产品作检验 . 12 分 18、 解 : (1) ,3232)( 23 xaxxxf .342)( 2 axxxf 41 | a , ,0)41(4)1(0)41(4)1(afaf 又二次函数 )(xf 的图象开口向上 ,在 )1 ,1( 内 0)( xf , 故 )(xf 在 )1 ,1( 内是减函数 . (2)设极值点为 ),11(0 xx 则 0)(0 xf当 41a 时 , ,0)41(4)1(0)41(4)1(afaf 在 ) ,1(0x 内 ,0)( xf 在 )1,x( 0 内,0)( xf 即 )x(f 在 ) ,1( 0x 内是增函数 , )x(f 在 )1,x( 0 内
13、是减函数 . 当 41a 时 )(xf 在 )1 ,1( 内有且只有一个极值点 , 且是极大值点 . 当 41a 时 , 同理可知 , )(xf 在 )1 ,1( 内且只有一个极值点 , 且是极小值点 . 当 4141 a 时 , 由 (1)知 )(xf 在 )1 ,1( 内没有极值点 . 19、 解 记“第一瓶 x 饮料合格”为事件 A1，“第二瓶 x 饮料合格”为事件 A2， A1与 A2是相互独立事件，“甲喝 2瓶 x 饮料都合格就是事件 A1， A2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得： P(A1 A2) P(A1) P(A2) 0.8 0.8=0.64 答：甲喝 2瓶 x饮料都
14、合格的概率为 0.64 6分 记“一人喝合格的 2 瓶 x 饮料”为事件 A，三人喝 6 瓶 x 饮料且 限定每人 2 瓶相当于 3次独立重复试验 . 根据 n次独立重复试验中事件 A发生 k次的概率公式， 3 人喝 6瓶 x饮料只有 1人喝 2瓶不合格的概率： P3(2) C32 0.642 (1 0.64)3 2 3 0.642 0.36=0.44 20、 （本小题满分 13 分） 解： 连接 BD 交 AC 于 O，则 BD AC， 连接 A1O 在 AA1O 中， AA1=2， AO=1， A1AO=60 A1O2=AA12+AO2 2AA1 Aocos60 =3 AO2+A1O2=A
15、12 A1O AO，由于平面 AA1C1C 平面 ABCD， 所以 A1O底面 ABCD 以 OB、 OC、 OA1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A（ 0， 1， 0）， B（ 3 ， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， D（ 3 ， 0， 0）， A1（ 0， 0， 3 ） 2 分 （）由于 )0,0,32(BD , )3,1,0(1 AA 则 00301)32(01 BDAA BD AA1 4 分 （）由于 OB平面 AA1C1C 平面 AA1C1C 的法向量 )0,0,1(1 n ,设 2n 平面 AA1D 则 2122( , , )n A A
16、 n x y zn A D ,设 得到 )1,3,1(03032 nyxzy 取 6 分 55|,c o s 21 2121 nn nnnn所以二面角 D A1A C 的平面角的余弦值是 55 8 分 （）假设在直线 CC1上存在点 P，使 BP/平 面 DA1C1 设 ),(,1 zyxPCCCP 则 )3,1,0(),1,( zyx 得 )3,1,3()3,1,0( BPP 9 分 设 113 CDAn 平面 则13113DAnCAn 设 ),( 3333 zyxn 得到 333320 (1 , 0 , 1 )3 3 0y nxz ,不 妨 取 10 分 又因为 /BP 平面 DA1C1
17、则 3n 10330 得即BP 即点 P 在 C1C 的延长线上且使 C1C=CP 12 分 法二：在 A1作 A1O AC 于点 O，由于平面 AA1C1C平面 ABCD，由面面垂直的性质定理知， A1O平面 ABCD， 又底面为菱形，所以 AC BD BDAAOAAAA OAABDACOAOABDACBD1111110 平面平面由于 4 分 （）在 AA1O 中， A1A=2， A1AO=60 AO=AA1 cos60 =1 所以 O 是 AC 的中点，由于底面 ABCD 为菱形，所以 O 也是 BD 中点 . 由（）可知 DO平面 AA1C 过 O 作 OE AA1于 E 点，连接 OE
18、， 则 AA1 DE, 则 DEO 为二面角 D AA1 C 的平面角 6 分 在菱形 ABCD 中， AB=2， ABC=60 AC=AB=BC=2 AO=1， DO= 322 AOAB 在 Rt AEO 中， OE=OA sin EAO= 23 DE=21534322 ODOE cos DEO= 55DEOE 二面角 D A1A C 的平面角的余弦值是 55 8 分 （）存在这样的点 P 连接 B1C，因为 A1B1/ AB/ DC 四边形 A1B1CD 为平行四边形 . A1D/B1C 在 C1C 的延长线上取点 P，使 C1C=CP，连接 BP 10 分 因 B1B/ CC1， 12
19、分 BB1/ CP, 四边形 BB1CP 为平行四边形 则 BP/B1C， BP/A1D， BP/平面 DA1C1 21解：（ 1） 32()f x a x b x cx d ， 由 ()fx是奇函数知 ( ) ( )f x f x 对一切实数 x 恒成立，从而 0bd. 3()f x ax cx， 2( ) 3f x ax c 点 P 在 l 上则有， (1) 0f ，即 0ac ， 又 (1) 2f ， 32ac ， 解得 1a ， 1c ， 所以 3()f x x x ， 2( ) 3 1f x x . （ 2）设存在其它切线 m 过点 P，并设并且 0 1x . 则 0( )PTk f
20、 x ，即 3 20000 311xx xx ， 即 2002 1 0xx ， 0 1x （舍去），或0 12x ， 切点为 13( , )28，可得切线方程为 4 1 0xy . （ 3）同（ 2），切点为 30 0 0( , )T x x x ，则有 则 0( )QTk f x ，即 3 20000 311x x t xx ， 32002 3 1t x x ， 32( ) 2 3 1g s s s t ， 三条直线与曲线 C 相切，则函数 32( ) 2 3 1g s s s t 必有三个不同的零点， 也即 ()gs 的极大值为正，极小值为负 . 由 2( ) 6 6 6 ( 1 )g s s s s s 知， (0) 0,(1) 0,gg 即 1 0,0,tt， 01t ， 即存在 (0,1)t 使过 Q 点可以作三条直线与曲线 C 相切 .
