1、用第三平面确定二面角的棱重庆 慕泽刚二面角是高考的重点知识，也是久考不衰的热点之一考生历来都感到困难，尤其是对无棱的二面角，更感到无章可循，显得束手无策本文将从同时与两平面相交的第三平面入手考虑因为两平面与第三平面分别有一条相交直线，又这两条直线同时在第三平面内，其位置关系只有两种情况：相交与平行若两条直线相交，由公理 3 知，交点必在两平面的交线上，由此可作出棱；若两条直线平行，由线面平行的判定和性质知，两条直线必与两平面的交线平行，由此可作出棱下面举例说明具体的作法例 1 底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD，ABC=90 ，SA底面ABCD，SA =AB=BC=1，AD= BC，求面 S
2、CD 与面 SAB 所成的12二面角的正切值 分析一：如图 1，考虑与平面 SAB 和平面 SCD 同时相交的平面 ABCD，其交线分别为 AB 和 CD，而 AB，CD 为直角梯形的两腰因此，AB，CD 必相交，设交点为 E，连结 SE，则 SE必为面 SCD 与面 SBA 所成二面角的棱，然后可证得，BSC 为所求二面角的平面角，进而可求得其正切值分析二：如图 2，分别取 SC，SB 的中点 M，F，连结AF，FM，DM，由 FM BC AD 知，AF DM ，此时，考1 虑与平面 SCD 和平面 SBA 同时相交的平面 AFMD，其交线分别为 DM 和 AF，则平面 SCD 和平面 SB
3、A 所成的二面角的棱必与AF，DM 平行，因此，在平面 SAB 内，过 S 作 SEAF 交 BA 延长线于 E，则 SE 必为面 SCD 与面 SBA 所成二面角的棱，然后可证得BSC 为所求二面角的平面角 例 2 在正三棱柱 中， ，截面 侧面 若1ABC1EB1AEC1，求平面 与平面 所成二面角（锐角）的度数1AB1分析：如图 3，考虑与平面 和平面 同时相交的1E1第三平面 ，交线分别为 CE 和 ，两直线为相交直线，1CBC设交点为 D，连结 ，则 为平面 与平面 所成A1D1A1B二面角的棱，然后可证得， 为所求角，在 中可Rt求得 145C例 3 过正方形 ABCD 的顶点 A
4、 作 PA平面 ABCD，设 PA=AB= ，求平面 PAB 和a平面 PCD 所成二面角的大小 分析：如图 4，考虑与平面 PAB 和平面 PCD 同时相交的第三平面ABCD，其交线为 AB 和 CD，而 ABCD，则平面 PAB 和平面PCD 所成二面角的棱必与 AB，CD 平行在平面 PAB 内，过点 P作 PQAB，则 PQ 为平面 PAB 和平面 PCD 所成二面角的棱，然后可证得，PAPQ ，PDPQ，APD 为所求角，在 RtAPD 中可求得，APD=45 例 4 如图 5，在正四面体 A-BCD 中，请确定截面 PQR 和底:1:2APBDRACQ面 BCD 所成二面角分析：如图所示，考虑与截面 PQR 和底面 BCD 同时相交的第三平面 ABC，交线分别为 BC 和 PQ，而 PQ 与 BC 为相交直线，设交点为 E，则 E 必在截面 PQR 和底面 BCD 所成二面角的棱上，同理，考虑与截面 PQR 和底面 BCD 同时相交的第三平面 ABD，交线分别为 PR 与 BD，而 PR 与 BD 为相交直线，设其交点为 F，则点 F 必在截面 PQR 和底面 BCD 所成二面角的棱上，连结 EF，则 EF 为截面 PQR 和底面 BCD 所成二面角的棱，取线段 EF 的中点 M，连结 PM，BM，可证得 PMB 为所求角
