1、 2016-2017 学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 M=x| 2 x 3， N=y|y=x2+1， x R，则集合 MN=（ ） A（ 2， +） B（ 2， 3） C 1， 3） D R 2若复数 （ R）是纯虚数，则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 =（ 2， 1）， =10， | + |= ，则 | |=（ ） A B C 5 D 25 4已知 cos（ ） = ，则 sin（ 2 ）的值为（ ） A B C D 5莱因德纸草
2、书（ Rhind Papyrus）是世界上 最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小一份为（ ） A B C D 6等比数列 na 中， 1a 0，则 “1a 3a ”是 “3a 6a ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知函数 f（ x） = x3+ax2+bx（ a， b R）的图象如图所示，它与 x 轴相切于原点 ，且 x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为 ，则 a 的值为（ ） A 0 B 1 C 1 D 2
3、8已知函数 f（ x）是定义域为 R 的偶函数，且 f（ x+1） = ，若 f（ x）在 1， 0上是减函数，记 a=f（ log0.52）， b=f（ log24）， c=f（ 20.5），则（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 9将函数 f（ x） =2cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在区间 0， 和 2a， 上均单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 10已知数列 an满足： 2an=an 1+an+1（ n 2）， a1=1，且 a2+a4=10，若 Sn 为数列 a
4、n的前 n项和，则 的 最小值为（ ） A 4 B 3 C D 11已知函数 f（ x） = （其中 e 为自对数的底数），则 y=f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 12定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） 1 f（ x）， f（ 0） =6， f（ x）是 f（ x）的导函数，则不等式 exf（ x） ex+5（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 0， +） B（ ， 0） （ 3， +） C（ ， 0） （ 1， +） D（ 3，+） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是
5、a， b， c， ，则 tanB= 14已 知 x， y 满足 ，且 z=2x y 的最大值与最小值的比值为 2，则 a 的值是 15一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是东偏南 20，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B、 C 两点间的距离是 海里 16 an满足 an+1=an+an 1（ n N*， n 2）， Sn 是 an前 n 项和， a5=1，则 S6= 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分 ） 17（ 12 分）如图，在 ABC 中，点 D
6、 在边 BC 上， CAD= ， AC= ， cos ADB= （ 1）求 sin C 的值； （ 2）若 ABD 的面积为 7，求 AB 的长 18（ 12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a1= +1（ n 2） （ ）求数列 an的通项公式； （ ）设 bn= ，数列 bn的前 n 项和为 Tn，证明： Tn 19（ 12 分）在 ABC 中，内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c， ， BAC=，a=4 （ 1）求 bc 的最大值； （ 2）求函数 的值域 20（ 12 分）已知数列 an是公差 为正数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a2a3=15，
7、S4=16 （ ）求数列 an的通项公式； （ ）数列 bn满足 b1=a1， 求数列 bn的通项公式； 是否存在正整数 m， n（ m n），使得 b2， bm， bn 成等差数列？若存在，求出 m， n 的值；若不存在，请说明理由 21（ 12 分）已知 a 为常数， a R，函数 f（ x） =x2+ax lnx， g（ x） =ex（其中 e 是自然对数的底数） （ ）过坐标原点 O 作曲线 y=f（ x）的切线，设切点为 P（ x0， y0），求证： x0=1； （ ）令 ，若函数 F（ x）在区间（ 0， 1上是单调函数，求 a 的取值范围 选修 4-4：坐标系与参数方程 22（
8、10 分）在极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 2=4（ cos+sin） 3若以极点 O为原点，极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 （ ）求圆 C 的参数方程； （ ）在直角坐标系中，点 P（ x， y）是圆 C 上动点，试求 x+2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标 选修 4-5：不等式选讲 23已知 m， n 都是实数， m 0， f（ x） =|x 1|+|x 2| （ ）若 f（ x） 2，求实数 x 的取值范围； （ ）若 |m+n|+|m n| |m|f（ x）对满足条件的所有 m， n 都成立，求实数 x 的取值范围 2016-2017 学年福建省师大附中高三（上
9、）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 M=x| 2 x 3， N=y|y=x2+1， x R，则集合 MN=（ ） A（ 2， +） B（ 2， 3） C 1， 3） D R 【考点】 交 集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 先将 N 化简，再求出 MN 【解答】 解： N=y|y=x2+1， x R=y|y 1=1， +）， M=x| 2 x 3=（ 2， 3）， MN=1， 3） 故选 C 【点评】 本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交集的简单运算，属于基础题本题中N 表示的是函数的值域 2若复数 （ R
10、）是纯虚数，则复数 2a+2i 在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四 象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【专题】 转化思想；定义法；数系的扩充和复数 【分析】 化简复数 ，根据纯虚数的定义求出 a 的值，写出复数 2a+2i 对应复平面内点的坐标，即可得出结论 【解答】 解：复数 = =（ a+1） +（ a+1） i， 该复数是纯虚数， a+1=0，解得 a= 1； 所以复数 2a+2i= 2+2i， 它在复平面内对应的点 是（ 2， 2）， 它在第二象限 故选： B 【点评】 本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应
11、用问题，是基础题 3已知向量 =（ 2， 1）， =10， | + |= ，则 | |=（ ） A B C 5 D 25 【考点】 平面向量数量积的运算；向量的模 【专题】 平面向量及应用 【分析】 根据所给的向量的数量积和模长，对 |a+b|= 两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可 【解答】 解： | + |= ， | |= （ + ） 2= 2+ 2+2 =50， 得 | |=5 故选 C 【点评】 本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对
12、于变量的应用 4已知 cos（ ） = ，则 sin（ 2 ）的值为（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得 sin（ 2 ）的值 【解答】 解： cos（ ） = ， 则 sin（ 2 ） = sin（ 2+ ） = sin2（ + ） + = cos2（ + ） = 2cos2（ + ） 1= 1= ， 故选： B 【点评】 本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 5莱因德纸草书（ Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：
13、把 100 个面包分给 5 个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小一份为（ ） A B C D 【考点】 等差数列的通项公式 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 设五个人所分得的面包为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d（ d 0），根据条件列出方程求出 a 和 d 的值，从而得最小一份的值 【解答】 解：设五个人所分得的面包为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d，（其中 d 0）； 把 100 个面包分给 5 个人， （ a 2d） +（ a d） +a+（ a+d） +（ a+2d） =5a=100，得 a=20， 使较大的
14、三份之和的 是较小的两份之和， （ a+a+d+a+2d） =a 2d+a d，得 3a+3d=7（ 2a 3d）， 化简得 24d=11a， d= = ， 所以最小 的 1 分为 a 2d=20 2 = ， 故选： A 【点评】 本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果，属于基础题 6等比数列 na 中， 1a 0，则 “1a 3a ”是 “3a 6a ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 先用等比数列
15、的通项公式，表示出 3a 6a ，进而可判断 1a 3a 不一定成立；同时根据 1a a3 成立可知 1a q2 1a q5，进而推断出 1a 3a ，判断出必要条件最后综合可得答案 【解答】 解：如果 1a 3a ， 1a 1a q2 q2 1， 若 q 1，则 3a = 1a q2 0， 6a = 1a q5 0 3a 6a ， “1a 3a ”不是 “3a a6”的充分条件； 如果 3a a6 成立，则 1a q2 1a q5，又 a1 0， 1 q3 q 1， 1a a2 3a ， 故可判断， “1a 3a ”是 “3a 6a ”的必要条件 综合可知， “1a 3a ”是 “3a 6a
16、 ”必要而不充分条件 故选 B 【点评】 本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断 7已知函数 f（ x） = x3+ax2+bx（ a， b R）的图象如图所示，它与 x 轴相切于原点，且 x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为 ，则 a 的值为（ ） A 0 B 1 C 1 D 2 【考点】 定积分 【 专题】 数形结合；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用 【分析】 由 x=0 是 f（ x） =0 的一个极值点，可得 f（ 0） =0，求得 b 的值，确定出 f（ x）的解析式，由于阴影部分面积为 ，利用定积分求面积的方法列出关于 a 的方程求出 a
17、 并判断 a 的取舍即可 【解答】 解：由 f（ x） = x3+ax2+bx，得 f（ x） = 3x2+2ax+b x=0 是原函数的一个极值点， f（ 0） =b=0 f（ x） = x2（ x a），有 a0（ x3 ax2） dx=（ ） |a0=0 + = = ， a= 1 函数 f（ x）与 x 轴的交点横坐标一个为 0，另一个 a，根据图形可知 a 0，得 a= 1 故选： C 【点评】 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题 8（ 2016红桥区二模）已知函数 f（ x）是定义域为 R 的偶函数，且 f（ x+1）
18、 = ，若 f（ x）在 1， 0上是减函数，记 a=f（ log0.52）， b=f（ log24）， c=f（ 20.5），则（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 确定函数是周期为 2 的周期函数， f（ x）在 0， 1上单调递增，并且 a=f（ log0.52）=f（ log22） =f（ 1）， b=f（ log24） =f（ 2） =f（ 0）， c=f（ 20.5），即可比较出 a， b， c 的大小 【解答】 解： f（ x+1） = ， f（ x+
19、2） =f（ x）， 函数是周期为 2 的周期函数； f（ x）为偶函数， f（ x）在 1， 0上是减函数， f（ x）在 0， 1上单调递增，并且 a=f（ log0.52） =f（ log22） =f（ 1）， b=f（ log24） =f（ 2）=f（ 0）， c=f（ 20.5） 0 1 20.5， b c a 故选： B 【点评】 考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间 0， 1上，根据单调性去比较函数值大小 9将函数 f（ x） =2cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在区间 0， 和
20、2a， 上均单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【考点】 函数 y=Asin（ x+）的图象 变换 【专题】 综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由函数的图象平移求得函数 g（ x）的解析式，进一步求出函数（ x）的单调增区间，结合函数 g（ x）在区间 0， 和 2a， 上均单调递增列关于 a 的不等式组求解 【解答】 解：将函数 f（ x） =2cos2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象， 得 g（ x） =2cos2（ x ） =2cos（ 2x ）， 由 ，得 当 k=0 时，函数的增区间为 ，当 k=1
21、时，函数的增区间为 要使函数 g（ x）在区间 0， 和 2a， 上均单调递增， 则 ，解得 a ， 故选： A 【点评】 本题考查三角函数的图象变换，考查了 y=Asin（ x+）型函数的性质，是中档题 10已知数列 an满足： 2an=an 1+an+1（ n 2）， a1=1，且 a2+a4=10，若 Sn 为数列 an的前 n项和，则 的最小值为（ ） A 4 B 3 C D 【考点】 数列递推式 【专题】 综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列 【分析】 由数列递推式： 2an=an 1+an+1（ n 2）得到 an为等差数列，由等差数列的求和公式求出其前 n 项和，代入整理
22、，根据数列的函数特征，求出最小值 【解答】 解：数列 an满足： 2an=an 1+an+1（ n 2）， an为等差数列， a1=1，且 a2+a4=10，设公差为 d， 1+d+1+3d=10， 解得 d=2， an=1+2（ n 1） =2n 1， sn= =n2， = = = =n+1+ 2 设 f（ x） =x+1+ ， 则 f（ x） =1 = ， 当 0 x 1， f（ x） 0，函数单调递减， 当 x 1， f（ x） 0，函数单调递增， 当 x= 1 时，函数 f（ x）取的最小值， 即当 n=2 时， n+1+ 2 的最小值，即为 3+ 2= 故 的最小值为 ， 故选： D
23、 【点评】 本题考查了数列递推式，关键是由递推式构造出等比数列，考查了对勾函数的图象和性质，是有一定难度题目 11（ 2014泰安二模）已知函数 f（ x） = （其中 e 为自对数的底数），则 y=f（ x）的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 构造函数，令分母为 g（ x），研究函 数 g（ x）的单调性和值域情况，从而得出函数f（ x）图象分布情况，判断选项 【解答】 解：令 g（ x） =ex 2x 1， g（ x） =ex 2， g（ x）在（ ， ln2）上单调递减，在（ ln2， +） h 上单调递增， 又 g（ ln2）
24、 =1 2ln2 0， g（ x）有两个实数解， g（ 0） =0， g（ 1） =e 3 0， g（ 2） =e2 5 0， x1=0， x2 （ 1， 2）， 且当 x 0 时， g（ x） 0， f（ x） 0， 当 x1 x x2 时， g（ x） 0， f（ x） 0， 当 x x2 时， g（ x） 0， f（ x） 0， 只有选项 C 符合 故选： C 【点评】 本题考查函数图象的分布情况，即：定义域、单调性，正负性，属于中档题 12（ 2015怀化二模）定义在 R 上的函数 f（ x）满足： f（ x） 1 f（ x）， f（ 0） =6， f（ x）是 f（ x）的导函数，则
25、不等式 exf（ x） ex+5（其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A（ 0， +） B（ ， 0） （ 3， +） C（ ， 0） （ 1， +） D（ 3，+） 【考点】 导数的运算；其他不等式的解法 【专题】 导数的概念及应用 【分析】 构造函数 g（ x） =exf（ x） ex，（ x R），研究 g（ x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】 解：设 g（ x） =exf（ x） ex，（ x R）， 则 g（ x） =exf（ x） +exf（ x） ex=exf（ x） +f（ x） 1， f（ x） 1 f（ x）， f（ x） +f（ x） 1
26、0， g（ x） 0， y=g（ x）在定义域上单调递增， exf（ x） ex+5， g（ x） 5， 又 g（ 0） =e0f（ 0） e0=6 1=5， g（ x） g（ 0）， x 0， 不等式的解集为（ 0， +） 故选： A 【点评】 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13（ 2015房山区二模）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b，c. ，则 tanB= 【考点】 正弦定理；同角三角函数间的基本关系 【专题】 计算题；解三角形 【分析】 根据正弦定理，算出 sinB= = ，由 b a 得 B 是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出 cosB= ，再用商数关系算出 tanB= ，即可得到本题答案 【解答】 解： 由正弦定理 ，得 sinB= =
