1、 专题四 解析几何 、 坐标系与参数方程 时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 (导学号： 05856057)(2017黑河调研 )已知过两点 A(1,2a)， B( a,2)的直线的斜率为 1， 则 a ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 2 (导学号： 05856058)若双曲线 E： x29y216 1 的左 、 右焦 点分别为 F1， F2，点 P在双曲线 E上 ， 且 |PF1| 3， 则 |PF2|等于 ( ) A 11 B 9 C 5 D 3 3 (导学号：
2、 05856059)(2017上饶联考 )“ a 1” 是 “ 直线 l1： ax 2y 1 0与 l2： x (a 1)y 4 0 平行 ” 的 ( ) A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (导学号： 05856060)(2017泉州质检 )已知圆 M： x2 y2 2ay 0(a 0)截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2， 则圆 M与圆 N： (x 1)2 (y 1)2 1 的位置关系是 ( ) A 内切 B相交 C外切 D相离 5 (导学号： 05856061)(2017潭州调研 )设 m R， 过定点 A的动直线 x my 0 和过定
3、点 B 的动直线 mx y m 3 0 交于点 P(x， y)， 则 |PA| |PB|的取值范围是 ( ) A 5， 2 5 B 10， 2 5 C 10， 4 5 D 2 5， 4 5 6 (导学号： 05856062)(2017济宁二模 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左 、 右焦点为 F1、 F2， 离心率为 33 ， 过 F2的直线 l交 C于 A、 B两点若 AF1B的周长为 4 3， 则 C的方程为 ( ) A.x23y22 1 B.x23 y2 1 C.x212y28 1 D.x212y24 1 7 (导学号： 05856063)(2017株州联考 )已知
4、点 A( 2,3)在抛物线 C： y2 2px的准线上 ， 过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B， 记 C 的焦点为 F， 则直线 BF的斜率为 ( ) A.12 B.23 C.34 D.43 8 (导学号： 05856064)(2017黄石调研 )已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的右焦点为 F(3,0)， 过点 F 的直线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为 (1， 1)， 则 E的方程为 ( ) A.x245y236 1 B.x236y227 1 C.x227y218 1 D.x218y29 1 9 (导学号： 05856065)(2017江 门质检
5、 )已知 a b 0， 椭圆 C1的方程为 x2a2y2b2 1， 双曲线 C2 的方程为x2a2y2b2 1， C1 与 C2 的离心率之积为32 ， 则 C2 的渐近线方程为 ( ) A x 2y 0 B. 2xy 0 C x2 y 0 D 2xy 0 10 (导学号： 05856066)(2017湘潭调研 )已知抛物线 y2 4x上的点 P到抛物线的准线的距离为 d1， 到直线 3x 4y 9 0 的距离为 d2， 则 d1 d2的最小值是( ) A.125 B.65 C 2 D. 55 11 (2017宜宾质检 )已知 O 为坐标原点 ， F 是椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b
6、 0)的左焦点 ， A， B分别为 C的左 ， 右顶点 P为 C上一点 ， 且 PF x轴过点 A的直线 l 与线段 PF 交于点 M， 与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点 ， 则C的离心率为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.34 12 (导学号： 05856067)(2017黄岗调研 )已知抛物线 y2 2px 的焦点 F 与双曲线 x27y29 1 的右焦点重合 ， 抛物线的准线与 x 轴交于点 K， 点 A 在抛物线上且 |AK| 2|AF|， 则 AFK的面积为 ( ) A 4 B 8 C 16 D 32 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共
7、20 分 13 (导学号： 05856068)(2017百色联考 )已知双曲线 x2a2 y2 1(a 0)的一条渐近线为 3x y 0， 则 a _. 14 (2017天水二模 )若直线 3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 r2(r 0)相交于 A， B两点 ， 且 AOB 120(O为坐标原点 )， 则 r _. 15 (2017阳江调研 )若圆 (x 3)2 (y 5)2 r2 上有且只有两个点到直线 4x 3y 2 的距离等于 1， 则半径 r的取值范围是 _ 16 (导学号： 05856070)(2017苏州质检 )已知椭圆 C： x29y24 1， 点 M与 C的焦点不重合若 M
8、关于 C的焦点的对称点分别为 A， B， 线段 MN的中点在 C上 ， 则 |AN| |BN| _. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (导学号： 05856071)(本小题满分 10 分 ) (2017鸡西联考 )如图 ， 射线 OA， OB 分别与 x 轴正半轴成 45和 30角 ， 过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA， OB 于 A， B 两点 ， 当 AB 的中 点 C 恰好落在直线 y 12x上时 ， 求直线 AB的方程 18.(导学号： 05856072)(本小题满分 12 分 ) (2018安顺摸底考试 )已知圆 C
9、： x2 (y a)2 4， 点 A(1,0) (1)当过点 A的圆 C的切线存在时 ， 求实数 a的取值范围； (2)设 AM、 AN 为圆 C 的两条切线 ， M、 N 为切点 ， 当 MN 4 55 时 ， 求 MN所在直线的方程 19.(本小题满分 12 分 ) 在直角坐标系 xOy中 ， 曲线 C1： x tcos y tsin (t为参数 ， t 0)， 其中 0 .在以 O 为极点 ， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ， 曲线 C2： 2sin ， C3： 2 3cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A， C1与 C3相交于点 B，
10、求 |AB|的最大值 20.(本小题满分 12 分 ) 在直角坐 标系 xOy中 ， 直线 l： y t(t 0)交 y 轴于点 M， 交抛物线 C： y22px(p 0)于点 P， M关于点 P的对称点为 N， 连结 ON并延长交 C于点 H. (1)求 |OH|ON|； (2)除 H以外 ， 直线 MH与 C是否有其它公共点？说明理由 21.(导学号： 05856073)(本小题满分 12 分 ) (2017潍坊二模 )如图 ， 为保护河上古桥 OA， 规划建一座新桥 BC， 同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥 BC 与河岸 AB 垂直；保护区的边界为圆心M在线段 OA上并与 BC相切的
11、圆 ， 且古 桥两端 O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m经测量 ， 点 A位于点 O正北方向 60 m 处 ， 点 C位于点 O正东方向 170 m 处 (OC为河岸 )， tan BCO 43. (1)求新桥 BC的长； (2)当 OM多长时 ， 圆形保护区的面积最大 22.(导学号： 05856074)(本小题满分 12 分 ) (2017泉州质检 )已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点 ， 点 P( 3， 12)在椭圆 E上 (1)求椭圆 E的方程； (2)设不过原点 O 且斜率为 12的直线 l 与椭圆 E 交于
12、不同的两点 A， B， 线段AB的中点为 M， 直线 OM与椭圆 E交于 C， D， 证明： |MA|MB| |MC|MD|. 专题四 解析几何 、 坐标系与参数方程 1.C 2 B 由题意知 a 3， b 4， c 5.由双曲线的定义有 |PF1| |PF2| |3|PF2| 2a 6. |PF2| 9. 3 A 由题意可知 aa 1 2 0，4a 1 0， 解得 a 2 或 a 1， 所以 “ a 1”是 “ 直线 l1： ax 2y 1 0 与 l2： x (a 1)y 4 0 平行 ” 的充分不必要条件 4 B 由 x2 y2 2ay 0(a 0)得 x2 (y a)2 a2(a 0)
13、， 所以圆 M 的圆心为 (0， a)， 半径为 r1 a， 因为圆 M 截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2， 所以 a12 12 a2 2 22 2， 解得 a 2， 圆 N 的圆心为 (1,1)， 半径为 r2 1， 所以 |MN| 0 12 2 12 2， r1 r2 3， r1 r2 1， 因为 r1 r2 |MN| r1 r2， 所以圆 M与圆 N相交 ， 故选 B. 5 B 易得 A(0,0)， B(1,3)设 P(x， y)， 则消去 m得： x2 y2 x 3y 0，所以点 P 在以 AB 为直径的圆上 ， PA PB， 所以 |PA|2 |PB|2 |AB|2 10
14、， 令 |PA| 10sin， |PB| 10cos， 则 |PA| |PB| 10sin 10cos 2 5sin( 4)因为 |PA| 0， |PB| 0， 所以 0 2.所以 22 sin( 4) 1， 10 |PA| |PB| 2 5. 6 A 由椭圆的性质知 |AF1| |AF2| 2a， |BF1| |BF2| 2a， AF1B 的周长 |AF1| |AF2| |BF1| |BF2| 4 3， a 3， c 1， b2 a2 c2 2， 椭圆的方程为 x23y22 1， 故选 A. 7 D A( 2,3)在抛物线 y2 2px的准线上 ， p2 2， p 4， y2 8x， 设直线
15、 AB的方程为 x k(y 3) 2 ， 将 与 y2 8x联立 ， 即 x ky 3 2y2 8x ， 得 y2 8ky 24k 16 0 ， 则 ( 8k)2 4(24k 16) 0 ， 即 2k2 3k 2 0， 解得 k 2 或 k 12(舍去 )， 将 k 2 代入 解得 x 8，y 8 即 B(8,8)， 又 F(2,0)， kBF8 08 243， 故选 D. 8 D 根据椭圆的性质 ， c 3， 又过点 F(3,0)和直线 AB 的中点 (1， 1)的直线 方程为 x 2y 3 0， 联立方程组 x 2y 3 0，b2x2 a2y2 a2b2， 消去 x， 并整理得 (a2 4
16、b2)y2 12b2y 9b2 a2b2 0， 所以 y1 y2 12b2a2 4b2， 因为y1 y22 1， 所以 a2 2b2， 又因为 a2 b2 9， 解得 a2 18， b2 9， 所以椭圆的标准方程为 x218y29 1. 9 A 椭圆 C1 的离心率 为 a2 b2a ， 双曲线 C2 的离心率为a2 b2a ， 所以a2 b2a a2 b2a 32 ， 化简： a4 b4 34a4， 即 a4 4b4， 所以 a 2b， 所以双曲线 C2的渐近线方程是 y 12x， 即 x 2y 0. 10 A d1 d2 |PF| d2 |FQ|， |FQ| |3 1 4 0 9|5 12
17、5 . 11 A 由题意设直线 l的方程为 y k(x a)， 分别令 x c与 x 0 得 |FM| k(a c)， |OE| ka， 由 OBE FBM， 得12|OE|FM|OB|BF|， 即ka2ka caa c， 整理得 ca 13， 所以椭圆离心率为 e 13. 12 D 依题意知 ， 抛物线焦点坐标为 (4,0)作 AA 垂直抛物线的准线 ，垂足为 A ， 根据抛物线定义 |AA | |AF|， 所以在 AA K中 ， |AK| 2|AA |， 故 KAA 45， 此时不妨认为直线 AK 的倾斜角为 45， 则直线 AK 的方程为 y x 4， 代入抛物方程 y2 16x 中得
18、y2 16(y 4)， 即 y2 16y 64 0， 解得 y 8，A的坐标为 (4,8) 故 AFK的面积为 12 8 8 32. 13. 33 双曲线 x2a2 y2 1 的渐近线为 y xa， 已知一条渐近线为 3x y 0，即 y 3x， 因为 a 0， 所以 1a 3， 所以 a 33 . 14 2 如图直线 3x 4y 5 0 与圆 x2 y2 r2(r 0)交于 A、 B两点 ， O为坐标原点 ， 且 AOB 120， 则圆心 (0,0)到直线 3x 4y 5 0 的距离为 12r，532 4212r， r 2.故答案为 2. 15 (4,6) 圆心 (3， 5)， 直线 4x 3y 2 0， d |12 15 2|16 9 5， 4 r 6. 16 12 设 MN 交椭圆点 P， 连接 F1P 和 F2P(其中 F1、 F2是椭圆 C 的左 、右焦点 )， 利用中位线定理可得 |AN| |BN| 2|F1P| 2|F2P| 2 2a 4a 12. 17 由题意可得 kOA tan45 1， kOB tan(180 30) 33 ， 所以直线 lOA：y x， lOB： y 33 x. 设 A(m， m)， B( 3n， n)， 所以 AB的中点 C(m 3n2 ， m n2 )，
