1、 专题二 三角函数与平面向量 、 解三角形 时间： 120 分钟 满分： 150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 (导学号： 05856017)(2017九江调研 )在 ABC中 ， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 若 a cb b ca c， 则 A等于 ( ) A.3 B.4 C.6 D.23 2 (导学号： 05856018)(2017新余联考 )已知两个平面向量 a、 b 的夹角为 23，且 |a| |b| 1， 则 |a b|等于 ( ) A. 3 B 1 C 2 3 D 2
2、3 (2017遵义质检 )“ sinx 12” 是 “ 6 x 56 ” 的 ( ) A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充要条件 D既不充分也不必要 条件 4 (导学号： 05856019)已知角 的顶点与原点重合 ， 始边与 x的正半轴重合 ，终边在直线 y 2x上 ， 则 cos2 1sin2 为 ( ) A.12 B 12 C 2 D 2 5 (导学号： 05856020)在 ABC中 ， 内角 A， B， C所对的边分别为 a， b，c， 已知 a2 c2 b， 且 sin(A C) 2cosAsinC， 则 b ( ) A 6 B 4 C 2 D 1 6 (导学号： 0585
3、6021)如图 ， 在平行四边形 ABCD中 ， AC (1,2)， BD (3,2)， 则 AD AC 等于 ( ) A 1 B 3 C 5 D 6 7 设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 若 a 2， c 2 3，cosA 32 ， 且 b c， 则 b ( ) A. 3 B 2 C 2 2 D 3 8 (导学号： 05856022)(2017湖州摸底考试 )已知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0， 0)的部分图象如图 ， 当 x 0， 2时 ， 满足 f(x) 1 的x的值为 ( ) A.6 B.3 C.2 D.512 9 (导学号： 058560
4、23)已知 ABC中 ， AB AC BC 6， 平面内一点 M满足 BM 23BC 13BA ， 则 AC MB 等于 ( ) A 9 B 18 C 12 D 18 10 (导学号： 05856024)(2017青岛 二模 )已知函数 f(x) sin(x )( 0，| 2)， x 4为 f(x)的一个零点 ， x 4为 y f(x)图像的一条对称轴 ， 且 f(x)在18，536 上单调 ， 则 的最大值为 ( ) A 11 B 9 C 7 D 5 11 (导学号： 05856025)(2017清远调研 )将函数 y sin(6x 4)的图象上 各点的横坐标伸长到原来的 3 倍 ， 纵坐标
5、不变 ， 再把所得函数的图象向右平行移动 8个单位长度 ， 得到的函数图象的一个对称中心是 ( ) A (2， 0) B (4， 0) C (9， 0) D ( 16， 0) 12 (导学号： 05856026)(2017咸宁质检 )如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值 ， 则下列结论正确的是 ( ) A A1B1C1和 A2B2C2都是锐角三角形 B A1B1C1和 A2B2C2都是钝角三角形 C A1B1C1是钝角三角形 ， A2B2C2是锐角三角形 D A1B1C1是锐角三角形 ， A2B2C2是钝角三角形 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5
6、 分，共 20 分 13 (导学号： 05856027)(2017恩施联考 )若 ABC的内角 A满足 sin 2A 23，则 sin A cos A _. 14 对于函数 f(x) asinx bx 1(a， b R)， 已知 f(1) 3， 则 f( 1) _. 15 已知 ABC外接圆 O的半径为 2， 且 AB AC 2AO ， |AB | |AO |， 则 CA CB _. 16 (2017达州二模 ) ABC中 ， A 30， BC 1， 则 3AC AB的取值范围是 _ 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分
7、 ) (2017龙岩联考 )在 ABC中 ， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 已知 A 4， bsinC csinB a. (1)求 B的值； (2)若 a 2， 求 b的值 18.(本小题满分 12 分 ) (2017通化联考 )已知平面向量 a， b， c， 其中 a (3,4) (1)若 c 为单位向量 ， 且 a c， 求 c 的坐标； (2)若 |b| 5且 a 2b 与 2a b 垂直 ， 求向量 a， b 夹角的余弦值 19.(导学号： 05856028)(本小题满分 12 分 ) 在 ABC中 ， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 已知 b
8、 c 2acosB. (1)证明： A 2B； (2)若 cosB 23， 求 cosC的值 20.(导学号： 05856029)(本小题满分 12 分 ) 已知 f(x) 12sinx 32 cosx( 0)的部分图象如图所示 (1)求 的值； (2)若 x ( 3， 23 )， 求 f(x)的值域； (3)若方程 3f(x)2 f(x) m 0 在 x ( 3， 23 )内有解 ， 求实数 m 的取值范围 21.(导学号： 05856030)(本小题满分 12 分 ) (2017泸州调研 )在 ABC 中 ， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 a b c 8. (1
9、)若 a 2， b 52， 求 cosC的值； (2)若 sinAcos2B2 sinBcos2A2 2sinC， 且 ABC 的面积 S 92sinC， 求 a 和 b的值 22.(导学号： 05856033)(本小题满分 12 分 ) (2017雅安质检 )如图 ， 某市效外景区内一条笔直的公路经过三个景点 A、 B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量景点 D位于景点 A的北偏东 30方向且距 A 8 km处 ， 位于景点 B的正北方向 ， 还位于景点 C的北偏西 75方向 上 ，已知 AB 5 km， AD BD. (1)景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的
10、公路 ， 不考虑其他因素 ， 求出这条公路的长； (2)求 ACD的正弦值 专题二 三角函数与 平面向量 、 解三角形 1.A 由 a cb b ca c得 b2 c2 a2 bc， cosA b2 c2 a22bc 12， A3. 2 A |a b| |a|2 |b|2 2|a|b|cos 1 1 2cos23 3. 3 B 4 A tan 2， cos2 1sin2 2cos22sincos1tan12. 5 C 由题意得 sinAcosC cosAsinC 2cosAsinC， 即 sinAcosC 3cosAsinC，由正余弦定理 ， 得 aa2 b2 c22ab 3cb2 c2 a2
11、2bc ， 整理 ， 得 2(a2 c2) b2 ， 又 a2 c2 b ， 联立 得 b 2， 故选 C. 6 B 令 AB a， AD b， 则 a b 1， 2， a b 3， 2， a (2,0)， b ( 1,2)， AD AC b(1,2) 3. 7 B 由余弦定理得： a2 b2 c2 2bccosA， 所以 22 b2 (2 3)22 b 2 3 32 ， 即 b2 6b 8 0， 解得： b 2 或 b 4， 因为 b c， 所以 b2. 8 D 9 B 因为 AC MB AC BM AC ( 23CB 13AB ) 23AC CB 13AC AB 23 6 6 cos120
12、 13 6 6 cos60 18. 10 B 因为 x 4为 f(x)的零点 ， x 4为 f(x)图象的对称轴 ， 所以 4 ( 4) T4 kT， 即 2 4k 14 T 4k 14 2， 所以 4k 1(k N*)， 又因为 f(x)在 ( 18，536)单调 ， 所以5361812T222， 即 12， 由此 的最大值为 9， 故选 B. 11 A 变换后函数为 y sin2x， 故选 A. 12 D 正弦值不可能为负值 ， 故 B、 C 错；取 A1 65， B1 70， C1 45，则 A2 25， B2 20， C2 135， 故 A 错 13. 153 sin2A 2sinAc
13、osA 23， 且 A是 ABC的内角 ， 所以 0 2A ， 所以 0 A 2， (sinA cosA)2 1 2sinAcosA 1 23 53， sinA cosA 53153 . 14 1 F(x) f(x) 1 asinx bx 为奇函数 ， 故 F( 1) F(1) 1 f(1) 2. 15 12 由 AB AC 2AO 可得 OB OC 0 时 ， 即 BO OC ， 故圆心在 BC上且 AB AC， 注意到 |AB | |AO | 2， 故 B 3， C 6， BC 4， AC 2 3， CA CB |CA |CB|cos6 2 3 4 32 12. 16 ( 1,2 3AC
14、AB 2 3sinB 2sinC 2sinC 2 3sin(150 C) 2sinC 3cosC 3sinC sinC 3cosC 2sin(C 60) C (0， 150)， C 60 (60， 210)， sin(C 60) ( 12， 1， 3AC AB ( 1,2 17 (1) bsinC csinB a， 由正弦定理得 sinBsinC sinCsinB sinA， 整理得 sin(B C) sinA， 又 B， C (0， )， B C A， A 4， B 2， C 4.6 分 (2)由 a 2， A 4， 得 b asinBsinA 222 2.10 分 18 (1)设 c (x
15、， y)， 由 a c 和 |c| 1 可得： 3y 4x 0，x2 y2 1， x 35，y 45或 x 35，y 45， c (35， 45)或 c ( 35， 45).6 分 (2) (a 2b)(2a b) 0， 即 2|a|2 5ab 2|b|2 0， 又 |a| 5， |b| 5， ab 12， 向量 a， b 夹角的余弦值 cos ab|a| |b| 12 525 .12 分 19 (1)由正弦定理得 sinB sinC 2sinAcosB， 2sinAcosB sinB sin(A B) sinB sinAcosB cosAsinB， 于是 ， sinB sin(A B)， 又
16、 A， B (0， )， 故 0 A B ， 所以 B (A B)或 B A B， 因此 ， A (舍去 )或 A 2B， 所以 A 2B.6 分 (2)由 cosB 23， 得 sinB 53 ， cos2B 2cos2B 1 19， 故 cosA 19， sinA 4 59 ， cosC cos(A B) cosAcosB sinAsinB 2227.12 分 20 (1)f(x) sin(x 3)， T 2 4(76 23 )， 1.4 分 (2)由 (1)知 f(x) sin(x 3)， 3 x 23 ， 0 x 3 ， 0 sin(x 3) 1， f(x)的值域为 (0,1.8 分
17、(3)令 f(x) t， 则 m 3t2 t， t (0,1， 当 t 16时 ， m最大为 112；当 t 1 时 ， m最小为 2， 2 m 112.12 分 21 (1)由题意可知 c 8 (a b) 72. 由余弦定理得 cosC a2 b2 c22ab 22 522 7222 2 52 15.4 分 (2)由 sinAcos2B2 sinBcos2A2 2sinC， 可得 sinA1 cosB2 sinB1 cosA2 2sinC， 化简得 sinA sinAcosB sinB sinBcosA 4sinC. 因为 sinAcosB sinBcosA sin(A B) sinC， 所
18、以 sinA sinB 3sinC. 由正弦定理可知 a b 3c.又因为 a b c 8， 故 a b 6. 由于 S 12absinC 92sinC， 所以 ab 9， 从而 a2 6a 9 0， 解得 a 3， b 3.12 分 22 (1) ABD中 ， ADB 30， AD 8km， AB 5km， 设 DB x km. 则由余弦定理得 52 82 x2 2 8 xcos30， 即 x2 8 3x 39 0， 解得 x 4 33. 4 3 3 8， 舍去 ， x 4 3 3， 这条公路长为 (4 3 3)km.5 分 (2)在 ADB中 ， ABsin ADB DBsin DAB， sin DAB DBsin ADBAB 4 3 310 ， cos DAB 3 3 410 .在 ACD中 ， ADC 30 75 105， cos105 cos(60 45) cos60cos45 sin60sin45 2 64 ， sin105 sin(60 45) 2 64 ， sin ACD sin180 ( DAC 105)
