1、 2016-2017 学年河北省保定市定州中学高三（上）期末数学试卷（高补班） 一、选择题 1在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由 3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（ ） A B C D无法确定 2 ， ，则 的值为（ ） A B C D 3某服装加工厂某月生产 A、 B、 C 三种产品共 4000 件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如 下的统计表格： 产品类别 A B C 产品数量（件） 2300 样本容量（件） 230 由于不小心，表格中 A、 C 产品的有关数据已被污染
2、看不清楚，统计员记得 A 产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是（ ） A 80 B 800 C 90 D 900 4 是第四象限角， cos= ，则 sin=（ ） A B C D 5已知变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+y 的最小值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 6设集合 A=x|x2 x 2 0， B=x|x| 3，则 A B=（ ） A x| 3 x 1 B x|2 x 3 C x| 3 x 1 或 2 x 3 D x| 3 x 2 或 1 x 3 7若 a、 b 是任意实数，且 a b，则下列不等式成立的是（
3、） A a2 b2 B C lg（ a b） 0 D 8如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A B 27 C 27 D 9已知 A 是 ABC 的内角，则 “sinA= ”是 “tanA= ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10 “2a 2b”是 “log2a log2b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 11下列各式中，值为 的是（ ） A sin15cos15 B C D 12函数函数 f（ x） =（ x 3） ex 的单调递增区间是（ ） A（ ， 2） B（ 0，
4、 3） C（ 1， 4） D（ 2， + ） 二、填空题 13在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， A=60， b=2， S ABC=2 ，则 a= 14已知 tan， tan 分别是 lg（ 6x2 5x+2） =0 的两个实根，则 tan（ +） = 15函数 f（ x） =ax 2015+2015（ a 0 且 a 1）过定点 A，则点 A 的坐标为 16已知向量 =（ x， 2）， =（ 2， 1）， =（ 3， x），若 ，则向量 在向量 方向上的投影为 三、解答题 17已知集合 A=1， 3， x2， B=x+2， 1是否存在实数 x，使得 B A？
5、若存在，求出集合 A， B；若不存在，说明理由 18如图，已知 AB 为 O 的直径， C， F 为 O 上的两点， OC AB，过点 F 作 O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D，连接 CF 交 AB 于点 E求证： DE2=DADB 19已知函数 （ 1）求函数 f（ x）的最小正周期； （ 2）求函数 f（ x）的最大值及取得最大值时 x 的取值集合； （ 3）求函数 f（ x）的单调递增区间 20四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 面 ABCD，已知 ABC=45， AB=2， BC=2 ， SB=SC= （ 1）设平面 SCD 与平面 SAB
6、 的交线为 l，求证： l AB； （ 2）求证： SA BC； （ 3）求直线 SD 与面 SAB 所成角的正弦值 21设集合 A=x|x2 3x+2=0， B=x|x2+2（ a+1） x+（ a2 5） =0 （ 1）若 A B=2，求实数 a 的值； （ 2）若 A B=A，求实数 a 的取值范围 22已知函数 f（ x） = x3+ax ， g（ x） =ex e（其中 e 为 自然对数的底数） （ I）若曲线 y=f（ x）在（ 0， f（ 0）处的切线与曲线 y=g（ x）在（ 0， g（ 0）处的切线互相垂直，求实数 a 的值 （ ）设函数 h（ x） = ，讨论函数 h（ x
7、）零点的个数 23已知函数 f（ x） =ln（ x+1） ， a 是常数，且 a 1 （ ）讨论 f（ x）零点的个数； （ ）证明： ln（ 1+ ） ， n N+ 24已知函数 f（ x） =ln（ 1+x2） +ax（ a 0） （ 1）若 f（ x）在 x=0 处取得极值，求 a 的值； （ 2）讨论 f（ x）的单调性； （ 3）证明：（ 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ） （ n N*， e 为自然对数的底数） 2016-2017 学年河北省保定市定州中学高三（上）期末数学试卷（高补班） 参考答案与试题解析 一、选择题 1在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在
8、分别由 3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（ ） A B C D无法确定 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 本题是一个计算概率的问题，由题意知已经知道，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，根据无放回抽取的概率意义，可得到最后一名同学抽到红球的概率 【解答】 解：由题意，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况， 由于无放回的抽样是一个等可能抽样，故此两个同学抽到红球的概率是一样的都是 故选： C 2 ， ，则 的值为（ ） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析
9、】 由二倍角公式化简 sin2，由同角的三角函数恒等式得到（ sin+cos） 2，结合 的范 围，得到开平方的值 【解答】 解： ， ， sincos= ， sin2+cos2=1 （ sin+cos） 2=1+2sincos= ， = （ cos+ sin） =cos+sin= 故选： D 3某服装加工厂某月生产 A、 B、 C 三种产品共 4000 件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类别 A B C 产品数量（件） 2300 样本容量（件） 230 由于不小心，表格中 A、 C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得 A 产
10、品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10，根据以上信息，可得 C 的产品数量是（ ） A 80 B 800 C 90 D 900 【考点】 分层抽样方法 【分析】 在分层抽样中每个个体被抽到的概率相等，由 B 产品知比为 ， A产品的样本容量比 C 产品的样本容量多 10，得 C 产品的样本容量为 80，算出 C产品的样本容量，根据每个个体被抽到的概率，算出产品数 【解答】 解： 分层抽样是按比抽取， 由 B 产品知比为 = ，共抽取样本容量是 4000 =400， A 产品容量比 C 产品的样本容量多 10， 400 230 2x 10=0 得 C 产品的样本容量为 80， C 产品共有
11、 80 =800， 故选 B 4 是第四象限角， cos= ，则 sin=（ ） A B C D 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【分析】 根据同角的三角函数之间的关系 sin2+cos2=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号 【解答】 解： 是第四象限角， sin= ， 故选 B 5已知变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=2x+y 的最小值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平
12、移直线 y= 2x+z， 由图象可知当直线 y= 2x+z 经过点 A（ 0， 1）时，直线的截距最小， 此时 z 最小， 此时 z=0 2+1=1， 故选： D 6设集合 A=x|x2 x 2 0， B=x|x| 3，则 A B=（ ） A x| 3 x 1 B x|2 x 3 C x| 3 x 1 或 2 x 3 D x| 3 x 2 或 1 x 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 化简集合 A、 B，根据交集的定义写出 A B 即可 【解答】 解：集合 A=x|x2 x 2 0=x|x 1 或 x 2， B=x|x| 3=x| 3 x 3， 则 A B=x| 3 x 1 或 2 x 3
13、 故选： C 7若 a、 b 是任意实数，且 a b，则下列不等式成立的是（ ） A a2 b2 B C lg（ a b） 0 D 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 由题意 a、 b 是任意实数，且 a b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项， A， B， C 可通过特例排除， D 可参考函数 y= 是一个减函数，利用单调性证明出结论 【解答】 解：由题意 a、 b 是任意实 数，且 a b， 由于 0 a b 时，有 a2 b2 成立，故 A 不对； 由于当 a=0 时， 无意义，故 B 不对； 由于 0 a b 1 是存在的，故 lg（ a b） 0 不一定成立，所
14、以 C 不对； 由于函数 y= 是一个减函数，当 a b 时一定有 成立，故 D 正确 综上， D 选项是正确选项 故选 D 8如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A B 27 C 27 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球，从而求得答案 【解答】 解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥， 其底面是边长为 3 的正方形，且高为 3， 其外接球等同于棱长为 3 的正方体的外接球， 所以外接球半径 R 满足： 2R= = ， 所以外接球的表面积为
15、S=4R2=27 故选： B 9已知 A 是 ABC 的内角，则 “sinA= ”是 “tanA= ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：在三角形中，若 sinA= ，则 A= 或 ， 若 tanA= ，则 A= ， 则 “sinA= ”是 “tanA= ”的必要不充分条件， 故选： B 10 “2a 2b”是 “log2a log2b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 对数函数的
16、单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点 【分析】 分别解出 2a 2b， log2a log2b 中 a， b 的关系，然后根据 a， b 的范围，确定充分条件，还是必要条件 【解答】 解： 2a 2ba b， 当 a 0 或 b 0 时，不能得到 log2a log2b， 反之由 log2a log2b 即： a b 0 可得 2a 2b 成立 故选 B 11下列各式中，值为 的是（ ） A sin15cos15 B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 由条件利用二倍角公式、两角和的差三角公式，求出各个选项中式子的值，从而 得出结论 【解答】 解：由于 sin15cos15= sin30= ，故排除 A 由于 =cos = ，故排除 B 由于 =tan60= ，满足条件 由于 =cos15=cos（ 45 30） =cos45cos30+sin45sin30= ， 故排除 D， 故选： C 12函数函数 f（ x） =（ x 3） ex 的单调递增区间是（ ） A（ ， 2） B（ 0， 3） C（ 1， 4） D（ 2， + ）
