1、永年二中高二 10 月份月考理科数学试题 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ) 1数列 1,3,7,15， 的通项 an 可能是 ( ) A 2n B 2n 1 C 2n 1 D 2n 1 2若 a1，那么下列命题中正确的是 ( ) A.1a1b B.ba1 C a20 恒成立，则 m14；命题 q：在 ABC 中， AB是 sin Asin B 的充要条件， 则 ( ) A p 假 q 真 B “p 且 q”为真 C “p 或 q”为假 D p 假 q 真 9若不等式 x2 ax 10 对一切 x 0， 12
2、 恒成立，则 a 的最小值为 ( ) A 0 B 2 C 52 D 3 10 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B 2A， a 1， b 3，则 c ( ) A 2 3 B 2 C. 2 D 1 11不等式组 x y1，x 2y4 的解集记为 D.有下面四个命题： p1： (x， y) D， x 2y 2； p2： (x， y) D， x 2y2； p3： (x， y) D， x 2y3； p4： (x， y) D， x 2y 1. 其中真命题是 ( ) A p2， p3 B p1， p4 C p1， p2 D p1， p3 12、我国古代数学名著九章算术中，
3、有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列 1， 12， 13， 14， ， 1n。 第二步：将数列 的各项乘以 n，得数列 (记为 )a1， a2， a3， ， an。则 a1a2 a2a3 an 1an 等于 ( ) A n2 B (n 1)2 C n(n 1) D n(n 1) 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上 ) 13命题 “ 设 a， b， c R，若 ab，则 ac2bc2” ，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有 _个。 11某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运
4、输费用与仓库到车站距离成正比如果在距离车站 10 km 处建仓库，则土地 费用和运输费用分别为 2 万元和 8 万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站 _。 4已知实数 x， y 满足条件 x 0，y 1，2x 2y 1 0，若目标函数 z mx y(m 0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m 的值为 _。 16在 ABC 中， B 120， AB 2， A 的角平分线 AD 3，则 AC _。 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 )已知数列 an中， a1 35， an 2 1an
5、 1(n 2， n N*)，数列 bn满足 bn 1an 1(n N*)。 (1)求证：数列 bn是等差数列； (2)求数列 an中的通项公式 an。 18 (本小题满分 12 分 ) 设命题 p：实数 x 满足 x2 4ax 3a2 0，其中 a 0，命题 q：实数 x 满足 x2 x 6 0，x2 2x 8 0. (1)若 a 1，且 p q 为真，求实数 x 的取值范围； (2) p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 19 (本小题满分 12 分 )某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为 ABC、
6、 ABD，经测量 AD BD 14， BC10， AC 16， C D. (1)求 AB 的长度； (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小 王谁的设计建造费用最低？请说明理由 20 (本小题满分 12 分 )已知函数 y ax2 2ax 1的定义域为 R. (1)求 a 的取值范围； (2)解关于 x 的不等式 x2 x a2 a0)， a8a10a12 a310 64.答案 C 6 【解析】 a 3bsin A， 由正弦定理得 sin A 3sin Bsin A， sin B 13. ac 3， ABC 的面积 S 12acsin B 12313 12，故选 A
7、. 7 【解析】 由 1a 2b ab知 a0， b0，所以 ab 1a 2b 2 2ab，即 ab 2 2，当且仅 当 1a 2b，1a2b ab即 a 4 2， b 24 2时取 “ ” ，所以 ab 的最小值为 2 2.【答案】 C 8解析：选 B 易判断出命题 p 为真命题，命题 q 为真命题，所以 p 为假， q 为假结合各选项知 B 正确 9 【解析】 x2 ax 10 在 x 0， 12 上恒成立 ax x2 1 a x 1x max， x 1x 52， x 1x 52， a 52.【答案】 C 10【解析】 由正弦定理得： asin A bsin B， B 2A， a 1， b
8、 3， 1sin A 32sin Acos A. A 为三角形的内角， sin A 0. cos A 32 .又 0 A ， A 6， B 2A 3. C A B 2， ABC 为直角三角形由勾股定理得 c 12 32 2.【答案】 B 11解析 画出可行域 如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数 z x 2y 经过可行域内的点 A(2， 1)时，取得最小值 0，故 x 2y0，因此 p1， p2 是真命题，选 C. 12、 【解析】 a1a2 a2a3 an 1an n1n2 n2n3 nn 1nnn2 112 123 1n 1n n2 1 12 12 13 1n 1 1n n2n 1n
9、n(n 1)， 故选 C。 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上 ) 13 2 解析： 若 c 0，则 ac2bc2 不成立，故原命题为假命题由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题逆命题 “ 设 a， b， cR，若 ac2bc2，则 ab” 为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也 为真命题，所以共有 2 个真命题 . 14 5【解析】 设车站到仓库距离为 x，土地费用为 y1，运输费用为 y2，由题意得 y1 k1x， y2 k2x， x 10 时， y1 2， y2 8， k1 20， k2 45， 费用之和为 y y1 y2
10、 20x 45x2 20x 45x 8，当且仅当 20x 4x5 ，即 x 5 时取等号 15 1 【解析】 作出不等式组表示的平面区 域如图阴影部分 (包含边界 )所示，由图可知当直线 y mx z(m 0)与直线 2x 2y 1 0 重合，即 m 1 时，目标函数 z mx y 取最大值的最优解有无穷多个，故选 A. 16 解析 如图，在 ABD 中，由正弦定理，得 sinADB ABsinBAD 2 323 22 。由题意知 00， 4a2 4a 0， 解得 0a，即 0 a12时， ax1 a； 当 1 a a，即 a 12时， x 12 20，不等式无解； 当 1 aa，即 12a
11、1 时， 1 axa. 综上，当 0 a12时，原不等式的解集为 (a,1 a)； 当 a 12时，原不等式的解集为 ；当 12a 1 时，原不等式的解集为 (1 a， a)来源 :学 .科 .网 Z.X.X.K 21 【解析】 (1)证明：由题意知 2 sin Acos A sin Bcos B sin Acos Acos B sin Bcos Acos B， 化简得 2(sin Acos B sin Bcos A) sin A sin B，即 2sin(A B) sin Asin B. A B C ， sin(A B) sin( C) sin C， 从而 sin A sin B 2sin
12、C， 由正弦定理得 a b 2c. (2)解：由 (1)知 ca b2 ， cos Ca2 b2 c22ab a2 b2 a b222ab abba 1412， 当且仅当 a b 时，等号成立，故 cos C 的最小值为 12. 22 解： (1)法一： an 1 S n 1(nN*)， an S n 1 1(n 2)， an 1 an a n，即 an 1 ( 1)an(n 2)， 1 0，又 a1 1， a2 S 1 1 1， 数列 an是以 1 为首项，公比为 1 的等比数列， a3 ( 1)2， 4( 1) 1 ( 1)2 3，整理得 2 2 1 0，解得 1， an 2n 1， bn
13、 1 3(n 1) 3n 2. 法二： a1 1， an 1 S n 1(nN*)， a2 S 1 1 1， a3 S 2 1 (1 1) 1 2 2 1， 4( 1) 1 2 2 1 3，整理得 2 2 1 0，解得 1， an 1 Sn 1(nN*)， an Sn 1 1(n 2)， an 1 an an (n 2)，即 an 1 2an(n 2)，又 a1 1， a2 2， 数列 an是以 1 为首项 ，公比为 2 的等比数列， an 2n 1， bn 1 3(n 1) 3n 2. (2)由 (1)知， anbn (3n 2)2n 1，设 Tn 为数列 anbn的前 n 项和， Tn 11 421 722 (3n 2)2n 1， 2Tn 121 422 723 (3n 5)2n 1 (3n 2)2n. 得， Tn 11 321 322 32n1 (3n 2)2n 1 321 2n 11 2 (3n 2)2n， 整理得： Tn (3n 5)2n 5.
