1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高三 理科数学 第二次 模拟考试 数学（理科） 试题 2009.4.8 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分 考试时间 120分钟 考试时 不能 使用计算器 ，选择题、填空题答案填写在答题纸上 第 I 卷 （选择题 共 50 分） 一、选择题： 本大题共 10 题，每小题 5 分，共 50 分 在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已 知 集 合 | 1 , | 2 1xM x x N x ，则 MN= （ ） A B |0xx C |1xx D | 0 1xx 2 复数 1i = （ ） A i1
2、B i1 C i1 D i 3若双曲线 1222 yax 的一个焦点为（ 2， 0），则它的离心率为 （ ） A 552 B 23 C 332 D 2 4在 ABC 中，角 A， B 所对的边长为 ,ab，则“ ab ”是“ cos cosa A b B ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5 右图是一算法的程序框图，若此 程序运行结果为 720S ， 则在 判断框中应填入关于 k 的判断条件是 （ ） A 6?k B 7?k C 8?k D 9?k 6 已知三个平面 , ，若 ，且 与 相交但不垂直， ,ab分别为 ,内的直线，则 （ ） A
3、,bb B , /bb C ,aa D , /aa 7等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 5 35S ，点 A（ 3， 3a ）与 B（ 5， 5a ）都在斜率 为 2 的 直 线 l 上，则 nS 的 最 大 值 为 （ ） A 16 B 35 C 36 D 32 1 11 1俯视图正视图正视图 俯视图 8已知函数 2()f x x ； ( ) lnf x x ； cos() xf x e ； ()xf x e .其中对于 ()fx 定义域内的任意一个自变量 1x 都存在唯一的一 个自变量 2x ，使 12( ) ( )f x f x =1 成立的函数是 （ ） A B C D 9
4、在北京奥运会中，外语学院的 3 名男生与 2 名女生志愿者被随机安排到 3 个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有 1 男 1 女两位志愿 者被安排 到 同 一 场 馆 的 概 率 是 （ ） A 427 B 625 C 320 D 310 10已知集合 1, 2 , 3 , 1, 2 , 3 , 4MN，定义函数 :f M N 若点 (1, (1)Af 、(2, (2)Bf 、 (3, (3)Cf ， ABC 的外接圆圆心为 D ，且 ()D A D C D B R ，则满足条件的函 数 ()fx 有 （ ） A 6 个 B 10 个 C 12 个 D 16 个 第卷 （
5、共 100 分） 二、填空题： 本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 11 32 )1( xx 的展开式中的常数项为 12某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩 进行 统计，得到样本频率分布直方图如右图所示，现规定 不低于 70 分为合格，则 合格 人数是 13已知等差数列 na 中，有 11 12 20 1 2 3010 30a a a a a a ， 则在等比数列 nb 中，会有类似的结论 14把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，形成的三棱锥 C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为 15若平面区域 | | | | 22 ( 1)xy
6、y k x 是一 个三角形，则 k 的取值范围 是 16已知 (2,2), (2,1)AB， O 为坐标原点，若 255OA tOB，则实数 t 的值为 17定义在 R 上的奇函数 ()fx，当 x 0 时 12lo g ( 1 ) , 0 ,1 )()1 3 , 1, )xxfxxx ， 则 关于 x的方程 ( ) ( 1 1)f x a a 的所有解之和 为 （用 a 表示） 三、解答题 ： 本大题共 5 小题，共 72 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18 （本小题满分 14 分） 已知向量 2(1 , s i n ) , ( s i n , c o s )a x b x x
7、，函数 ()f x a b ， 0,2x （）求 ()fx的最小值； （）若 3()4f ，求 sin2 的值 19 （本小题满分 14 分） 袋中共有 10 个大小相同的编号为 1、 2、 3 的球， 其中 1 号球有 1 个， 2 号球有 m个， 3 号球有 n 个 从袋中依次摸出 2 个球，已知在第一次摸出 3 号球的前提下，再摸出一个 2 号球的概率是 13 （） 求 m， n 的值； （） 从袋中任意摸出 2 个球，记得到小球的编号数之和为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 E 20 （本小题 满分 14 分） 在 三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1B1B 是边长为 2 的
8、正方形，点 C 在平面 AA1B1B上的射影 H 恰好为 A1B 的中点，且 CH= 3 ，设 D 为 1CC 中点， （） 求 证： 1CC 平面 11ABD ； （） 求 DH 与平面 11AACC 所成角的正弦值 21 （本小题满分 15 分） 如图，曲线 1C 是以原点 O 为中心、 12,FF为焦点的椭圆的一 部分，曲线 2C 是以 O为顶点、 2F 为焦点的抛物线的一部分， A 是曲线 1C 和 2C 的交点且 21AFF 为钝角，若 1 72AF，2 52AF， （）求曲线 1C 和 2C 所在的椭圆和抛物线 方程； （）过 2F 作一条与 x 轴不垂直的直线，分别与曲线 12C
9、C、 依次交于 B、 C、 D、E 四点，若 G 为 CD 中点、 H 为 BE 中点，问22BE GFCDHF 是否为定值？若是 ，求出定值；若不是 ，请 说明理由 22 （本小题满分 15 分） 过曲线 C： 3()f x x ax b 外 的点 A（ 1， 0）作曲线 C 的切线 恰 有两条， （ ）求 ,ab满足的等量关系； （） 若存在 0xR ，使 000xf x x e a 成立，求 a 的取值范围 2009 年温州市高三第二次 模拟考试 数学（理科） 试题 参考答 案 2009.4.8 一、选择题： 本大题共 10 题，每小题 5 分，共 50 分。 题号 1 2 3 4 5
10、6 7 8 9 10 答案 D B C A C D C D B C 二、填空题： 本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。 11 3 12 600 13 30 302110 201211 bbbbbb 14 14 15 2, 2 0,3 16 65 17 aa1 1( 1 a 0)21 2 (0 a 1) 三、解答题： 本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分 14 分） 解： （） 2 2 s in ( 2 ) 11 c o s 2 s in 2 4( ) s in s in c o s 2 2 2xxxf x x x x 4分
11、 因为 2,0x，所以 42 x 43,4 ， 当 442 x ，即 0x 时， )(xf 有最小值 0 7分 另法：求导 xxxxxxxf 2c o s2s i ns i nc o sc o ss i n2)( 22 4分 令 0)( xf ，得 83,0 x，此时 )(xf 为增函数；当 2,83 x时， )(xf 为减函数， 0x 时， )(xf 有最小值 0 7分 （） 2 s in ( 2 ) 1 34() 24f ，得 42)42sin( 9 分 2,0 ， 42 43,4 ，又 2242)42s in (0 42 )4,0( ，得 414)42(1)42c o s ( 2 12分
12、 4 71)42c o s ()42 s i n (2 2)442s i n (2s i n 14分 19 （本小题满分 14 分） 解：（）记“ 第一次摸 出 3 号球”为事件 A，“第二次摸出 2 号球”为事件 B，则 ( ) 11 0 9()( ) 9 310nmP A B mP B A nPA 4分 m 3， n= 6 6分 （） 可能的取值为 3， 4， 5， 6。 132101 1( 3) 15CP C ， 12632101 1( 4 ) 5CCP C 1136210 2( 5) 5CCP C ， 26210 1( 6) 3CP C 10分 的分布列为 3 4 5 6 P 151
13、51 52 31 12 分 1 1 2 13 4 5 6 515 5 5 3E 14yxzDC1B1HABA1C分 20 （本小题满分 14 分） 解： （）因为 11/AACC 且正方形中 111 BAAA ，所以 1CC 11BA ， 取 11AB 中点 E ，则 11/ /HE BB CC且 111122HE BB CC，又 D 为 1CC 的中点， 所以 /HECD ，得平行四边形 HEDC， 因此 /CH DE ，又 11CH AA B B 平 面 ， 得 CH HE ， DE HE ，所以 1DE CC 1CC 平面 DBA11 6分 （）取 1AA 中点 F ，连 CF ，作 C
14、FHK 于 K 因为 /CH DE ， DACF 1/ ，所以平面 /CFH 平面 DBA11 ，由（）得 1CC 平面DBA11 ， 所以 1CC 平面 CFH ，又 CFHHK 平面 ，所以 1CCHK ，又 CFHK ，得HK 平面 CCAA11 ，所以 DH 与 平 面 CCAA11 所成角为HDK 10 分 在 CFHRt 中， 213 CF ， 23KH 在 DHKRt 中，由于 2DH ， 43s in DHKHH D K 14分 另解：（向量法）（） 如图，以 H 为原点，建立空间直角坐标系， 则 C（ 0， 0， 3 ）， C1（ 3,2,2 ）， A1 （ 0,0,2 ），
15、 B1（ 0， 2 ， 0），所以 ),0,2,2(1 CC ),3,22,22(1 DA )3,22,22(1 DB 011 DACC ， 011 DBCC ，因此 1CC 平面 DBA11 ； 6 分 （）设 平面 CCAA11 的法向量 ),1( yxn ，由于 )3,0,2(),0,2,2( 11 CAAA EFD C1B 1HABA 1CK则 0221 xAAn ， 0321 yCAn 得 36,1 yx ，所以 )36,1,1( n 10分 又 3,22,22HD ，所以 4336222s in nHD nHD 14分 21 （本小题满分 15 分） 解： （）设椭圆方程为 122
16、22 byax ，则 a2 6252721 AFAF，得 3a 2分 设 )0,(),0,(),( 21 cFcFyxA ，则 222 )27()( ycx ， 222 )25()( ycx ，两式相减得 23xc ，由抛物线定义可知 252 cxAF，则 23,1 xc 或 23,1 cx （ 舍去） 所以椭圆方程为 189 22 yx ，抛物线方程为 xy 42 。 7分 另解：过 1F 作垂直于 x 轴的直线 cx ，即 抛物线的准线，作 AH 垂直于该准线，作 xAM 轴于 M ，则由抛物线的定义得 AHAF 2 ， 所以 2212121 AHAFMFAFAM 62527 222221
17、 AFAF 2162522 MF，得 2212521 FF，所以 c 1， 8222 cab 所以椭圆方程为 189 22 yx ，抛物线方程为 xy 42 。 （）设 ),(),(),(, 44332211 yxDyxCyxEyxB ，直线 )1( xky ，代入 189 22 x得： 0729)1(8 22 yky ，即 06416)98( 222 kkyyk ， 则2221221 98 64,98 16 kkyykkyy 9分 同理，将 )1( xky 代入 xy 42 得： 0442 kyky ， 则 4,44343 yykyy， 11 分 所以22HFCD GFBE 24324322
18、122121434321)()()()(|21|21|yyyyyyyyyyyyyyyy 31644)98()16(98644)98()16(4)()()(4)(22222222224324324322121221 kkkkkkkkyyyyyyyyyyyy为定值。 15分 22 （本小题满分 15 分） 解： （） axxf 23)( ， 过点 A（ 1， 0）作曲线 C的切线，设切点 ),( 00 xfx ，则切线方程为： )1)(3( 20 xaxy 将 ),( 00 xfx 代入得： baxxxaxxf 0300200 )1)(3()( 即 032 2030 baxx （ *） 5 分 由
19、条件切线恰有两条，方程（ *）恰有两根。 令 baxxxu 23 32)( ， )1(666 2 xxxxu ，显然有两个极值点 x 0 与x 1， 于是 0)0( u 或 0)1( u 当 0)0( u 时， ba ； 当 0)1( u 时， 1ba ，此时 )1)(1(1)( 23 axxxaaxxxf 经过（ 1，0）与条件不符 所以 ba 8 分 （）因为 存在 0xR ，使 000xf x x e a ，即 030 0 0 xx ax a x e a 所以 存在 0xR ，使 030 0 0 xx ax x e ，得 020 xx a e ，即 020 xa x e成立 设 )0()( 2 xexxg x ，问题转化为 )(xga 的最大值 10 分 xexxg 2)( ， xexg 2)( ，令 0)( xg 得 2lnx ， 当 )2ln,0(x 时 0)( xg 此时 )(xg 为增函数，当 ),2(ln x 时 0)( xg ，此时)(xg 为减函数， 所以 )(xg 的最大值为 )12( ln222ln22ln2)2( ln 2ln eg 12ln ， )(xg 的最大值 0)2(ln g ，得 0)( xg 所以 )(xg 在 ),0( 上单调递减， 1)0()( gxg 因此 1a 。 15分
