1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考理科数学 调研测试 数学试题 (理 ) 本试卷分第 卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分，满分 150分，考试时间 120分钟请在答卷页上作答。 第 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1复数 22i1i（ ） (其中 i 为虚数单位 )的虚部为 （ ） A -i B 1 C -1 D 0 2已知全集 U=R ，集合 | 2 2A x x ， 2 | 2 0B x x x ，则 ()RA C B 等于（ ） A 2,0
2、B 0,2 C 0,2 D ( 2,0) 3已知向量 (1,1)a ， (2, )bn ，若 |a b a b ，则 n 为 （ ） A 3 B 1 C 1 D 3 4在等比数列 na 中， nS 为其前 n 项和，已知 5423aS， 6523aS，则此数列的公比 q 为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 5设函数 ( ) 2 ( 0 )f x x x ，则其反函数 1()fx 的图象是 （ ） 6设 1232,() lo g ( 1),xefx x 2,2,xx 则不等式 ( ) 2fx 的解集为 （ ） A (1,2) (3, ) B ( 10, ) C (1, 2) ( 10,
3、) D (1,2) 7设随机变量 2 ( , )N 且 1( 1) 2P， ( 2)PP，则 (0 1)P 的值为 （ ） A 12P B 1P C 12P D 12 P 8已知直线 3l y kx： ，圆 22( ) ( 2 ) 4C x k y ： ，若圆心到直线 l 的距离最小，则实数 k 的取值为 （ ） A 2 B 1 C 4 D 3 9若 ()fx 同时具有以下两个性质： ()fx 是偶函数； 对于任意实数 x ，都有( ) ( )44f x f x ， 则 ()fx的解析式可以是 （ ） A ( ) cosf x x B ( ) cos(2 )2f x x C ( ) sin(4
4、 )2f x x D ( ) cos6f x x 10已知一个球内有两个互相垂直的截面圆，且它们的公共弦长为 2，两个圆心的距离为 3 ，则这个球的半径为 （ ） A 2 B 3 C 7 D 22 11有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座，规定前排中间的 3个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 （ ） A 234 B 346 C 350 D 363 12已知抛物线 2 4yx 的准线与双曲线 2 22 1x ya 交于 A、 B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若 FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是 （ ） A 3 B 6 C 2
5、D 3 第卷 (非选择题 共 90 分 ) 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13 2 7()ax x 的展开式中的 x 的系数是 280 ，则 a = 14曲线 21 ln3y x x在点 1( 3,1 ln3)2 处切线的倾斜角的大小是 15在棱长均相等的正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AB 与平面 11ABC 所成的角的正弦值为 16已知直线 l ： x my n( 0)n 过点 (4,4 3)A ，若可行域 300x my nxyy ，的外接圆直径为 1433 ，则实数 n 的值是 。 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写
6、出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 ) 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 ( 2 ) c o s c o sa c B b C (1)求角 B 的大小； (2)已知函数 22( , ) c o s s i n 122ACf A C ，求 ( , )f AC 的取值范围 。 18 (本小题满分 12 分 ) 如图，已知 AB 平面 ACD ， /DE AB ， ACD 是 正三角形，且 2AD DE AB (1)若 M 为 CD 中点，求证： /AM 平面 BCE ； (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成
7、二面角的大小 19 (本小题满分 12 分 ) 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 T (单位：年 )有关 。 若 1T ，则销售利润为 0 元；若 13T， 则销售利润为 100元；若 3T ，则销售利润为 200元设每台该种电器的无故障使用时间 1T ， 13T及 3T 这三种情况发生的概率分别为 1p ， 2p ， 3p ，叉知 1p ， 2p 是方程 225 15 0x x a 的两个根，且 23pp (1)求 1p ， 2p ， 3p 的值； (2)记 表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求 的期望 20 (本小题满分 12 分 ) 数列 na 的前 n 项和为
8、nS ， 1 1a ， 1 2nnaS *()nN 求： (1)数列 na 的通项 na ； (2)数列 nna 的前 n 项和 nT 21 (本小题满分 12 分 ) 设函数 2( ) ln ( 2 3)f x x x (1)讨论 ()fx的单调性； (2)求 ()fx在区间 31,44上的最大值和最小值 。 22 (本小题满分 12 分 ) 已知椭圆 C 的方程为 221xyab( 0)ab ，过其左焦点 1( 1,0)F 且斜率为 1 的直线 交椭圆于 P 、 Q 两 点 (1)若 OP OQ 与 ( 3,1)a 共线，求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l ： 1 02xy ，在 l
9、上求一点 M ，使以椭圆的焦 点为焦点且过 M 点的双曲线 E 的 实 轴最长 ， 求点 M 的坐标和此双曲线 E 的方程 运城市 2008 2009 学年第二学期高三调研测试 数学参考答案及评分标准 (理 ) 1 C 2 D 3 D 4 B 5 C 6 C 7 D 8 B 9 C 1 0 A 11 B 12 B 13 2 14 6 15 4214 16 3 或 5 提示： 1 C 22 2 1()12i ii i i ，故它的虚部为 1 (注意：复数 abi 的虚部不是 bi 而是 b ) 2 D 解不等式 2 20xx，得 02x， | 0 2B x x ， ( , 0 ) ( 2 , )
10、RCB ，故 ( ) ( 2, 0)RA C B 3 D 2| | 9 ( 1)a b n ， a b n ， 229 ( 1) (2 )nn ， 3n 4 B 两式相减得 6 5 52a a a ， 653aa ， 3q 5 C 令 2 ( 0)y x x ，解得 2( 2) ( 2)x y y ， 12( ) ( 2 ) ( 2 )f x x x 6 C 由已知有1222xxe 或232log ( 1) 2x x 解得 12x或 10x 7 D 由正态曲线的对称性和 1( 1) 2P，知 1 ，即正态曲线关于直线 1x 对称，于是， ( 0) ( 2)PP ，所以 (0 1 ) ( 1 )
11、 ( 0 )P P P 1( 1 ) ( 2 ) 2P P P 8 B 圆心到直线 l 的距离最小为 0，即直线 l 经过圆心 ( , 2)k ， 2 32k ， 2 1k ， 1k 9 C 对于 A、 D， ( ) cosf x x 与 ( ) cos6f x x ， 4x 不是对称轴；对于 B，电( ) c o s ( 2 ) s i n 22f x x x 不是 偶函 数；对于 C， ( ) s in ( 4 ) c o s 42f x x x 符合要求 10 A 设两个截面圆的圆心分刷为 1O 、 2O ，公共弦的中点为 M， 则 四边形 12OOOM 为矩 形， 3OM ， 3 1
12、2R 11 B 应先求出 2 人坐进 20 个座位的排法。排除 2 人相邻的情况即可 。 共有 11+12=23 个座位，去掉前排中间 3 个不能 入 坐的座位，还有 20 个座位，则 2 人坐 入 20 个 座位 的 排 法有 220A 种，排除两人坐前排相邻的 12 种情况；两人坐后排相邻的 22 种情况 ， 不同 排法的种数有 220 (1 2 2 2 ) 3 8 0 3 4 3 4 6A （种） 12 B 抛物线的准线 1x ，焦点为 (1,0) ，由 FAB 为直角三角形，知 AB 为斜边，故意| | 4AB ，又将 1x 代入双曲线方程得 21 1y a ，得 212 1 4a ，
13、解得2 15a ， 离心率为 2 2 1 6aa 。 13 2 展开式中的 x 的系数是 3 2 37 ( ) 280Ca ， 2a 14 6 332 1 2 1 3ta n | ( ) |33 33xxk y x x ， 6 15 4214 设棱长均为 2，由图知 1C 与 B 到 11ABC 的距离相等，而 1C 到平面 11ABC 的距离为 2 3 2 2177d ，故所成角的正弦值为12 2 1 1 4 27 1 422dAB 。 16 3 或 5 作出可行域（如图），知 (4,4 3)A 在直线 30xy 上， 60AOB ， 2 sin 60 7AB R ，在直线 l ： x my
14、 n中， 令 0y ，得 xn ， B 坐标为 (,0)n ， 22( 4 ) ( 4 3 ) 7n ， 解得 3n 或 5。 17 解：（ 1）由 ( 2 ) c o s c o sa c B b C，得 ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sA C B B C， 2分 2 s i n c o s s i n ( ) s i nA B B C A ， 0 A ， sin 0A ， 1cos 2B 4 分 0 B ， 3B 5 分 （ 2） 3B ， 23AC ， 22 1 c o s 1 c o s( , ) c o s s i n 1 12 2 2 2A C
15、 A c Cf A C 1 2 1 3 3 3 c o s c o s ( ) ( c o s s in ) c o s ( )2 3 2 2 2 2 6A A A A A 8 分 20 3A ， 56 6 6A ， 33( , )44f A C 10 分 18 解：（ 1）证明：延长 EB 、 DA 相交于点 F ，连结 CF 。 /AB DE ，且 12AB DE ， B 为 EF 的中点， A 为 DF 的中点。 M 为 CD 的中点，由三角形中位线定理，有 /AM CF AM 平面 BCE ， CF 平面 BCE ， /AM 平面 BCE 6 分 （ 2）（法一）由（ 1）知平面 BC
16、E 平面 ACD CF 。 A 为 DF 的中点， 取 CF 的中点 G ，则 有 /AG CD 。 CF CD ， AG CF AB 平面 ACD ， AG 为 BG 在平面 ACD 上的射影， BG CF AGB 为平面 BCE 与平面 ACD 所成二面角的平面角。 10 分 在 Rt BAG 中， AB AG ， 1122A G C D A D A B ， 45AGB ，即平面 BCE 与平面 ACD 所成二面角的大 小为 45 。 12 分 （法二）如图， AB 平面 ACD ， /AB DE ， DE 平面 ACD ， 取 CD 的中点 O 为坐标原点，以过 O 且平行 DE 的直线
17、为 z轴， AO 所在的直线为 x 轴，OD 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系。 设 1AB ，则 (0,1,0)D ， (0, 1,0)C ， ( 3,0,0)A ， (0,1,2)E ， ( 3,0,1)B (0,2,2)CD ， ( 3, 1, 1)BC 设 ( , , )n x y z 为平面 BCE 的法向量， 则 00n CEn BC ( , , ) (0 , 2 , 2 ) 0( , , ) ( 3 , 1 , 1 ) 0x y zx y z 取 1z ，可得 (0,1, 1)n 又平面 ACD 的法向量为 (0,0,1)m ，设 n 与 m 所成的角为 ， 8 分 则
18、1c o s| | | 2nmnm ， 由图可知平面 BCE 与平面 ACD 所成二面角为锐角。 平面 BCE 与平面 ACD 所成二面角的大小为 45 12 分 19 解：（ 1）由已知得 1 2 3 1p p p ， 23pp ， 1221pp 1p 、 2p 是方程 225 15 0x x a 的两个根， 1235pp1 15p，2325pp 6 分 （ 2） 的可能取值为 0， 100， 200， 300， 400 1 1 1( 0 ) 5 5 2 5P ， 1 2 4( 1 0 0 ) 2 5 5 2 5P ， 1 2 2 2 8( 2 0 0 ) 2 5 5 5 5 2 5P ，
19、2 2 8( 3 0 0 ) 2 5 5 2 5P ， 2 2 4( 4 0 0 ) 5 5 2 5P 即 的分布列为： 0 100 200 300 400 P 125 425 825 825 425 10 分 故 1 4 8 8 40 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 2 4 02 5 2 5 2 5 2 5 2 5E 12 分 20 解：（ 1） 1 2nnaS ， 1 2n n nS S S ， 1 3nnSS 又 111Sa， 数列 nS 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 13nnS *()nN 。 当 2n 时， 212 2 3nnnaS （ n ）， 21,2
20、3 ,n na 12nn（ 2） 1 2 323T a a a n a ， 当 1n 时， 1 1T ； 当 2n 时， 0 1 21 4 3 6 3 2 3 nnTn ， 1 2 13 3 4 3 6 3 2 3 nnTn -得： 1 2 2 12 2 4 2 ( 3 3 3 ) 2 3nnnTn 2 113 ( 1 3 )2 2 2 3 1 ( 1 2 ) 313 n nnnn 111( ) 3 ( 2 )22 nnT n n 又 111Ta也满足上式： 1*11( ) 3 ( )22 nnT n n N 12 分 21 解： ()fx的定义域为 3( , )2 1 分 （ 1） 22 4
21、 6 2( ) 22 3 2 3xxf x xxx 2(2 1)( 1)23xxx 3 分 当 3 12 x 时， ( ) 0fx ；当 11 2x 时， ( ) 0fx ；当 12x 时，( ) 0fx 。 从而 ()fx分别在区间 3( , 1)2， 1( , )2 上单调递增，在区间 1( 1, )2 上单调递减 6 分 （ 2）由（ 1）知 ()fx在区间 31 , 44 上的最小值为 11( ) ln 224f 8 分 又 3 1 3 9 7 1 3 1 1 4 9( ) ( ) l n l n l n ( 1 l n ) 04 4 2 1 6 1 2 1 6 7 2 2 9ff ，
22、 所以 ()fx在区间 31 , 44 上的最大值为 1 1 7( ) ln4 16 2f 12 分 22 解（ 1）将直线 PQ 的方程 1yx代入 221xyab， 化简得 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 0a b x a x a a b 令 11( , )Px y ， 22( , )Qx y ，则 212 222axx ab 2 分 由 1 2 1 2( , )O P O Q x x y y ， OP OQ 与 ( 3,1)a 共线，得 1 2 1 23 ( ) ( ) 0y y x x 。 1 2 1 23 ( 2 ) ( ) 0x x x x 1232xx ，即 222232a
23、ab ， 223ab 4 分 又 221ab， 2 32a ， 2 12b 椭圆 C的方程为 2 22 213x y 6 分 （ 2）设椭圆 C的右焦点为 2F ，则易知 1( 1,0)F ， 2(1,0)F ， 直线 l 的方程为： 1 02xy ， M 在双曲线 E 上，要双曲线 E 的实轴最大， 只需 12| | | |MF MF 最大。 7 分 设 2(1,0)F 关于直线 l 的对称点为 2F ， 则可求2 11( , )22F ，则直线 12FF 与直线 l 的交点为所求 M ，121133yxyx 得53( , )44M 9 分 又1 2 1 2 1 2 102 | | | | | | | | | | 2a M F M F M F M F F F ， 10 分 max 104a ， 64b 。故所求双曲线 E 方程为 2288153xy 12 分
