1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 届高 考文科数学 4 月份模拟考试试题 文科数学 命题责任人：李海清 校对责任人：贺建山 说明：本次考试共 3 大题，分客观题和主观题，共 150 分，考试时间为 120 分钟； 请考生将所有答案填写在答题卡规定位置，答在本卷本上的答案一律无效。 一、选择题 （本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意要求的） 1不等式 1 02xx 的解集是（ ） A 2 1xx B 1 2xx C 2xx 或 1x D 2xx 或 1x 2将抛物线 2( 2) 1yx 按向量 a 平移，使顶点与原点重合，则
2、向量 a 的坐标是（ ） A ( 2, 1) B (2,1) C (2, 1) D (2,1) 3曲线 324y x x 在点（ 2， 8）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 4 已知 , 为平面， 命题 p：若 , ，则 /；命题 q：若 上不共线的三点到 的距离相等，则 / 对以上两个命题，下列结论中正确的是 （ ） A命题 “ p 且 q” 为真 B命题 “ p 或 q ” 为假 C 命题 “ p 或 q” 为假 D命题 “ p ” 且 “ q ” 为假 5函数 ()fx和 ()gx 的定义域相同， ( ) ( ) ( )h x f x g x，
3、则“ ()fx与 ()gx 在区间 , ab上均为增函数”是“ ()hx 在区间 , ab 上为增函数”的（ ） A充要条件 B 充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6设 ,xy满足 0210xyxy ，则 xyx 的取值范围是（ ） A（ 1， 3） B 1， 3 C（ 3， ） D 3, ) 7设集合 1, 2, 3, , nSn ，若 Z 是 nS 的子集，把 Z 中的所有数的和称为 Z 的容量（规定空集的容量为 0），若 Z 的容量为奇（偶）数，则称 Z 为 nS 的奇（偶）子集，则 4S 的奇子集的个数为（ ） A 10 B 8 C 6 D 4 8如图是一个由三
4、根细棒 PA、 PB、 PC 组成的支架，三根细棒 PA、 PB、 PC 两两所成的角都为 60 ，一个半径为 1 的小球放在支架上，则球心 O 到点 P 的距离是（ ） A 32 B 2 C 3 D 2 二、填空题 （本大题共 7 个小题，每小题 5 分，共 35 分 ） 9某林场有树苗 30000 棵，其中松树苗 4000 棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的数量为 . 10从集合 0， 1， 2， 3， 5， 7， 11中任取三个元素分别作为直线 0Ax By C 中的 A、B、 C，所得直线为经过坐标原点的直线的概率是 . 11已
5、知 1(2 )nx x 展开式的二项式系数和为 64，则展开式中常数项为 . 12若双曲线 22216 13xyp的左焦点在抛物线 2 2y px 的准线上，则 p ； 且双曲线的离心率 e . 13 设 点 00( , )Px y 是 函 数 tanyx 与函数 yx 的 图 象 的 一 个 交 点 ， 则200( 1)(co s 2 1)xx . 14已知函数 ( ) 2xfx ，等差数列 na 的公差为 2，若 2 4 6 8 1 0( ) 4f a a a a a ，则2 1 2 3 1 0lo g ( ) ( ) ( ) ( )f a f a f a f a= . 15函数 ( )
6、G x x 称为高斯函数（又称取整函数），其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如3.5 3 ， 5.2 6 ，定义函数 ( )x x G x ，则 x 的值域是 ；若数列na 的通项公式为 12 l o g , 2 2 ( )kkna n n k N ，则 na （用 k 表示） 三、解答题 （本大题共 6 个小题，共 75 分，解答时应写出简要的文字说明、证明、或演算步骤） 16 （本 小 题 满分 12 分） 在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且满足 ( 2 ) c o s c o sa c B b C. （ 1）求角 B 的大小； （ 2）设 (s
7、in , cos 2 )m A A ， (4 ,1)( 1)n k k，且 mn 的最大值是 5，求 k 的值 . 17 （本 小 题 满分 12 分） 某超市“五一节”期间举办“购物摇奖 100中奖 ”活动，凡消费者在该超市购物满 20元，可享受一次摇奖机会；购物满 40 元，可享受两次摇奖机会，依此类推。下图是摇奖机的结构示意图，摇奖机的旋转圆盘是均匀的，扇形 A、 B、 C、 D 所对应的圆心角的比值是 1 2 3 4，相应区域的奖金分别为 4 元、 3 元、 2 元、 1 元， 摇奖时，转动圆盘，待停止后，固定指针指向哪个区域（指针落在边界线上时重摇）即可获得相应的奖金。 （ 1）求摇
8、奖两次，均获胜 4 元奖金的概率； （ 2）某消费者购物刚好满 40 元，求摇奖后所获奖金超过 4 元的概率 . 18 （本 小 题 满分 12 分） 已 知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形， AD BC， AB BC， AB=AD=1，BC=2， 又 PB 平面 ABCD，且 PB=1，点 E 在棱 PD 上，且 DE=2PE. （ 1）求异面直线 PA 与 CD 所成角的大小； （ 2）求证： BE平面 PCD； （ 3）求二面角 A PD B 的大小 . 19 （本 小 题 满分 13 分） 已知数列 na 是等差数列，设 212( ) ( 2 , )nnf x a x
9、 a x a x n k k N ，且2(1) , ( 1) .f n f n （ 1）求数列 na 的通项公式 na ； A B C D A E D B C P （ 2）求证：对于 2n ，有 51( ) 3.42f 20 （本 小 题 满分 13 分） 已知动点 P 到定直线 2x 的距离与到定点 F(1,0) 的距离的差为 1. （ 1）求动点 P 的轨迹方程； （ 2）若 O 为原点， A、 B 是动点 P 的轨迹上的两点，且 AOB 的面积 S AOB m tan AOB，试求 m 的最小值； （ 3）求证：在（ 2）的条件下，直线 AB 恒过一定点 . 并求出此定点的坐标 . 21
10、 （本 小 题 满分 13 分） 对于三次函数 32( ) ( 0 )f x a x b x c x d a ，定义：设 ()fx 是函数 ()y f x 的导函数 ()y f x 的导函数，若方程 ( ) 0fx 有实数解 0x ，则称点 00( , ( )x f x 为函数()y f x 的“拐点” . 已知 1x 是函数 32( ) 3 ( 1 ) 1f x m x m x n x （ ， , 0.n R m）的一个极值点 . （ 1）求 m ， n 的关系式； （ 2）求函数 ()fx的单调区间（用 m 表 示）； （ 3）当 0n 时，函数 ()fx的图象是否关于“拐点”成中心对称？
11、若是，写出它的对称中心；若不是，请说明理由 . 据此，请你对任意的三次函数提出一个与 “拐点” 相关的猜想 . 2009 届高三 4 月份模拟考试试题答案 文科数学 一、选择题答案 ： CACC， BDBC 二、填空题答案 9. 20； 10. 17 ； 11. 160 ； 12. 4、 233 ； 13. 2； 14. 6 ； 15. 0,1) 、 nak 三解答题 答案 224 s i n c o s 2 2 ( ) 1 2 , ( 0 , 1 m n k A A t k k t 1k ， 1t 时， mn 取最大值 14k ，由 1 4 5k ，得 32k 12 分 17设摇奖一次，获得
12、 4 元、 3 元、 2 元、 1 元奖金的事件分别 记为 A、 B、 C、 D，摇奖的概率大小与扇形区域 A、 B、 C、 D 所对应的圆心角的大小成正比， P（ A） = 110 ， P（ B） = 210 ， P（ C） = 310 ， P（ D） = 410 。 （ 1）摇奖两次，均获得 4 元奖金的概率为1 1 1 1 .10 10 100P 5 分 （ 2）购物刚好满 40 元，可获两次摇奖机会，奖金不超过 4 元， 设奖金为 2 元、 3 元、 4 元的事件分别为 1H ， 2H 、 3H ，则 1 4 4 1 6() 1 0 1 0 1 0 0PH ， 122 4 3 2 4(
13、) 1 0 1 0 1 0 0P H C ， A B C D 132 4 2 3 3 2 5() 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0P H C 。且 1H ， 2H 、 3H 为互斥事件， 摇奖两次，奖金不超过 4 元的概率为 1 2 3 1 6 2 4 2 5 6 5( ) ( ) ( ) .1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0P P H P H P H 10 分 摇奖两次，奖金超过 4 元的概率为2 351.100PP 12 分 18（ 1）取 BC 的中点 F，连 AF、 PF， AD BC， 且 AD=FC， 四边形 ADCF 是平行四边形， AF DC， 从而 PA
14、F 为所求异面直线 PA 与 CD 所成的角， 在 PAF 中，易知 PA=AF=PF= 2 ， PAF=60 。 4 分 （ 2）连 BD，在 PBD 中，由 BD= 2 ， PD= 3 ， DE=2PE， PE= 33 ，从而 13PE PBPB PD， PBE PDB ， BE BD。 CD=BD= 2 ， BC=2， DC BD， 又 PB 平面 ABCD， PB CD， 从而 CD 平面 PBD， BE 平面 PBD， CD BE。 BE 平面 PCD。 8 分 （ 3）设 AF BD=O，则 AO BD， PB 平面 ABCD， 平面 PBD 平面 ABCD AO 平面 PBD，过
15、 O 作 OH PD 于 H，连 AH， 由三垂线定理知 AHO 为二面角 A PD B 的平面角。 由（ 2）及 O 为 BD 的中点，知 H 为 DE 的中点， 1 2 6 .33P B B DBE PD 6.6OH 又 22AO ， ta n 3AOA H O OH ， 60AHO。 12 分 19（ 1）令 2n ，则 212()f x a x a x， A E D B C P 依题意知 121242aaaa ， 1213aa ， 又 na 是等差数列， na 的公差 2d 21nan 5 分 （ 2） 1()2f 231 1 1 11 3 ( ) 5 ( ) ( 2 1 ) ( )2
16、 2 2 2 nn 211 1 1 12 ( ) 1 3 5 ( ) ( 2 1 ) ( )2 2 2 2 nfn 得 1()2f 211 1 1 11 2 ( ) ( ) ( 2 1 ) ( )2 2 2 2nnn 2113 ( ) ( 2 1 ) ( ) 322nnn 10 分 又设 ()gn 1()2f 2113 ( ) ( 2 1)( )22nnn ( 2 , )n k k N 由 211( 2 ) ( ) 3 ( ) ( 2 3 ) ( ) 22nng n g n n 211 3 ( ) ( 2 1 ) ) 22nnn 223 6 7 6 5 02 2 2n n nnn 函数 ()g
17、n 为递增函数， m ax 5 ( ) (2) 4g n g 51( ) 3.42f 13 分 20（ 1）依题意知动点 P 到定点 F(1,0) 的距离与到定直线 1x 的距离相等， 由抛物线的定义可知动点 P 的轨迹方程是 2 4yx 4 分 （ 2） 设 221212( , ), ( , )44yyA y B y 1 s i n2A O BS O A O B A O B ，又 tanA O BS m A O B 1 sin2 O A O B A O B= tanm AOB 11c o s22m O A O B A O B O A O B 2212121 ()2 16yy yy2121 (
18、 8) 232 yy min 2m ， 此时 12 8yy 9 分 （ 3）当 2212yy 时，直线 AB 的方程为 21 2 11 2212 ()444y y yy y xyy 即 211 124 ()4yy y xyy 121 2 1 24 yyyxy y y y 12 8yy 直线 AB 的方程为124 ( 2)yxyy 即直线 AB 恒过定点（ 2， 0） 13 分 21（ 1） 2( ) 3 6 ( 1 ) .f x m x m x n 1x 是函数 32( ) 3 ( 1 ) 1f x m x m x n x 的一个极值点， (1) 0f ，即 3 6 ( 1) 0 .m m n
19、 3 6.nm 3 分 （ 2）由（ 1）知 2( ) 3 6 ( 1 ) 3 6 .f x m x m x m 23 ( 1) (1 )m x x m 0m ， 21 1 .m x 2( ,1 )m 21m 2(1 ,1)m 1 (1, ) ()fx 0 0 ()fx 递减 极小值 递增 极大值 递减 函数 ()fx在 2( ,1 )m ， (1, ) 上单调递减； 在 2(1 ,1)m 上单调递增。 7 分 （ 3）当 0n 时， 2m ， 32( ) 2 3 1 .f x x x 2( ) 6 6 .f x x x ， 1( ) 1 2 6 1 2 ( ) .2f x x x 令 ( )
20、 0fx ，得0 12x函数 32( ) 2 3 1 .f x x x 的“拐点”的坐标为 P 13( , )22 由 11( ) ( )22f x f x 3 2 3 21 1 1 12 ( ) 3 ( ) 1 2 ( ) 3 ( ) 12 2 2 2x x x x 13 2 ( )2f 函数 32( ) 2 3 1 .f x x x 的图象关于“拐点” P 13( , )22 成中心对称。 11 分 一般地，三次函数 32( ) ( 0 )f x a x b x c x d a 的“拐点”是（ , ( )33bbfaa） 它就是 ()fx的对称中心。（或者：任 何三次函数都有“拐点”； 任何三次函数的图象都关于“拐点”成中心对称；） 13 分
