1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考 文科数学 模拟考试 试卷 数学试卷（ 文 科） 2009. 04 说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答 必 须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据 。 一、填空题（本大题满分 55 分）本大题共有 11 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中 .每个空格填对得 5 分，填错或不填在正确的位置一律得零分 . 1若集合 2 2 14xA x y ，则 AR 2 不等式 1 2 00 1 03 2 1xxx 的解为 3 设 fx()的反函数为 1()fx ，若函数 fx()的图
2、像过点 (1,2) ，且 1 2 1 1fx() ， 则 x 4 若 1 1iz ， 2 iza， 其中 i 为虚数单位， 且 12zzR ，则实数 a 5二项式 61xx的 展开式中的常数项为 6 若点 00( , )M x y 是圆 2 2 2x y r内异于圆心的点，则直线 200x x y y r与该圆的位置关系是 7 若 x 、 y 满足 320xyyxy，则 68z x y的最大值是 8 右图给出的是计算 201614121 的 值的一个 框 图， 其中 菱形 判断框内应填入的条件是 9 在 ABC 中 ， 设 角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ， 若 2
3、 2 2 2b c a bc ， 且 2ab , 则 C 10若函数 2( ) 2 s i n 2 3 s i n s i n2f x x x x 能使得不等式 2| ( ) |f x m 在区间20 3, 上恒成立，则实数 m 的取值范围是 开 始01si12ssi1iis输 出结 束是否（第 8 题） 11在平面直角坐标系中，若 O 为坐标原点，则 A 、 B 、 C 三点在同一直线上的充要条 件为存在惟一的实数 ，使得 (1 )O C O A O B 成立，此时称实数 为“向量 OC关于 OA 和 OB 的终点共线分解系数”若已知 1(3,1)P 、 2( 1,3)P ，且向量 3OP
4、是直线: 10 0l x y 的法向量，则“向量 3OP 关于 1OP 和 2OP 的终点共线分解系数”为 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中 . 每题选对得 5 分，不选、选错或选出的代号超过一个，或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分 . 12 若 m 、 n 为两条不同的直线， 、 为两个不同的平面，则以下命题正确的是 ( ) A若 /m ， n ，则 /mn； B若 /mn， m ，则 n ； C若 /m ， /n ， 则 /mn； D若 m ， mn ，则 n 13 若函数 ( ) 1f
5、x x， 则 当 53,42 时， (s in 2 ) ( s in 2 )ff可化简为 ( ) A 2sin ； B 2cos ； C 2sin ； D 2cos 14设数列 na 的前 n 项之和为 nS ，若 21 ( 3)12nnSa( Nn )，则 na ( ) A 是等差数列，但不是等比数列； B 是等比数列，但不是等差数列； C 是等差数列，或是等比数列； D 可以既不是等比数列，也不是等差数列 15 关于 函数 131( ) 22x xf x x 和实数 m 、 n 的下列结论中正确的是 ( ) A 若 3 mn ，则 ( ) ( )f m f n ； B 若 0mn ，则 (
6、 ) ( )f m f n ； C 若 ( ) ( )f m f n ，则 22mn ； D 若 ( ) ( )f m f n ，则 33mn . 三、解答题（本大题满分 75 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤 . 16. (本题满分 12 分 ， 第 1 小题 4 分，第 2 小题 8 分 ) 如图，已 知 点 P 在 圆柱 1OO 的 底面圆 O 上， AB 为圆 O 的直径 . 1A1O1BA O BP（第 16 题） （ 1） 求证： 1BP AP ； （ 2） 若 圆柱 1OO 的体积 V 为 12 ， 2OA ， 120AOP ，求异面直线
7、 1AB 与 AP 所成的角（ 用 反三角函数值表示结果 ） . 17 (本题满分 14 分 ， 第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 ) 袋中有 8 个 仅颜色不同，其它都相 同的球，其中 1 个为 黑球， 3 个为 白球， 4 个为 红球 . （ 1） 若 从袋中 一次 摸出 2 个球，求 所 摸出的 2 个 球恰为异色球 的 概率 ； （ 2） 若 从袋中 一次 摸出 3 个球， 求所摸得的 3 球中， 黑球 与 白球 的个数都没有超过 红球的个数的 不同摸法 的 种数 . 18. (本题满分 14 分 ， 第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 ) 已知 数列 na 的 前
8、n项和为 nA ， 且 对任意正整数 n ，都 满足： 1nnta A ，其中 1t 为实数 . （ 1） 求 数列 na的通项公式； （ 2） 若 nb 为杨辉三角第 n行中所有数的和，即 01 nn n n nb C C C ， nB 为 杨辉三角前 n行中所有数的和，亦即为 数列 nb 的 前 n项和 ， 求 limnn nAB的值 . 19 (本题满 分 17 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 11 分 ) 已知函数 1( ) | 2 1|xfx ， ()Rx . （ 1） 证明：函数 ()fx在区间 (1, ) 上为增函数，并指出函数 ()fx在区间 ,1 上的单调性； （ 2
9、） 若函数 ()fx的图像与直线 yt 有两个不同的交点 ( , )Amt ， ( , )Bnt ，其中 mn ，求 mn 的取值范围 . 20. (本题满分 18 分 ， 第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 9 分 ) 如图，已知点 ( 3,0)H ，动点 P 在 y 轴 上，点 Q 在 x 轴上，其横坐标不小于零，点 M 在直线 PQ 上， 且满足 0HP PM， 32PM MQ . （ 1）当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹 C ； （ 2）过定点 (1,0)F 作互相垂 直的直线 l 与 l ， l 与 （ 1）中的轨迹 C 交于 A 、 B 两点，
10、l 与（ 1）中的轨迹 C 交于 D 、 E 两点，求四边形 ADBE面积 S 的最小值； （ 3） 将 （ 1）中的曲线 C 推广为椭圆： 2 2 12x y，并将（ 2）中的定点取为焦点 1,0F ，求与（ 2）相类似的问题的解 . O3 333yxPQMH（第 20 题） 上海市卢湾区 2009 年高考模拟考试 数学试卷 参考答案与评分标准 （ 文 科） 2009. 04 一、填空题 （本大题共 11 题，每小题 5 分，满分 55 分） 1 ( 2,2) 2 2 3 2 3x 3 12 4 1 5 15 6 相离 7 22 8 10i 9 712 10 (1,2 11 1 二、选择题（
11、本大题共 4 题，每小题 5 分，满分 20 分） 12 B 13 D 14 D 15 C 三、解答题（本大题满分 75 分） 16（ 1）证明 ：易知 AP BP ，又由 1AA 平面 PAB ，得 1AA BP ，从而 BP 平面 1PAA ，故 1BP AP ； （ 4 分） （ 2）解： 延长 PO 交圆 O 于点 Q ，连接 BQ ， 1AQ ，则 /BQ AP ，得 1ABQ 或它的补角为异面直线 1AB 与 AP 所成的角 . （ 6 分） 由题意 2 114 1 2V O A A A A A ，解得 1 3AA . （ 8 分） 又 23BQ ， 2AQ ，得 1 13AQ ，
12、 1 5AB ， （ 10 分） 由余弦定理得 2 2 2111 1 23c o s 025A B B Q A QA B Q A B B Q ，得异面直线 1AB 与 AP所成的角为 23arccos 5 . （ 12 分） 17 解：（ 1）摸出的 2 个球 为异色球 的 不同摸法 种数为 1 1 17 3 4 19C C C种 ，从 8 个球 中 摸出2 个球 的不同摸法 种数为 28 28C ，故所求的概率为 1928； （ 6 分） （ 2） 符合条件的摸法包括以下三种：一种是 所摸得的 3 球中有 1 个 红球 ， 1 个 黑球， 1个 白球 ，共有 114312CC 种不同摸法，
13、（ 8 分） 一种是 所摸得的 3 球中有 2 个 红球 ， 1 个其它颜色球，共有 214424CC 种不同摸法， （ 10 分） 一种是 所摸得的 3 球均为 红球 ，共有 34 4C 种不同摸法， （ 12 分） 故 符合条件的 不同 摸法共有 40 种 . （ 14 分） 18解：（ 1） 由已知 111nnta A ， 1nnta A ，相减得 11n n nta ta a，由 10t得 11nna tat ，又 111ta a ，得1 11a t ，故 数列 na 是一个以1 11a t 为首项，以1tq t 为公比的等比数列 . （ 4 分） 从而 1111 1 1nnn tta
14、 t t t t n*N ； （ 6 分） （ 2） 111nnn tA ta t ， （ 7 分） 又 01 2nnn n n nb C C C ，故 2 2 1nnB ， （ 11 分） 于是111lim lim 22nn nnnntA tB ， 当 21tt ，即 2t 时， 1lim2nn nAB ， 当 21tt ，即 2t 时， lim 0nn nAB ， 当 21tt ，即 12t 时， limnn nAB不存在 . （ 14 分） 19（ 1）证明： 任取 1 (1, )x ， 2 (1, )x ，且 12xx ， 1 2 1 21 1 1 112( ) ( ) 2 1 2 1
15、 ( 2 1 ) 2 1x x x xf x f x 1 2 1 211 12 2 ( 2 2 )2x x x x 1 2 1 21 2 1 2, 2 2 , 2 2 0 , ( ) ( )x x x xx x f x f x . 所以 ()fx在区间 (1, ) 上 为增函数 . （ 5 分） 函数 ()fx在区间 ,1 上 为 减 函数 . （ 6 分） （ 2）解： 因为函数 ()fx在区间 (1, ) 上 为增函数 ，相应的函数值为 (0, ) ， 在区间 ,1 上为减 函数 ，相应的函数值为 (0,1) ，由题意 函数 ()fx的 图像 与直线 yt 有 两个 不同的 交点 ，故有
16、(0,1)t ， （ 8 分） 易知 ( ,)Amt ， ( ,)Bnt 分别位于直线 1x 的两侧，由 mn ， 得 1mn ，故12 1 0m ， 12 1 0n ，又 A ， B 两点 的坐标满足方程 121xt ，故得 112mt ，121nt ，即 2log (2 2 )mt， 2log (2 2 )nt，（ 12 分） 故 22 2 2l o g ( 2 2 ) l o g ( 2 2 ) l o g ( 4 4 )m n t t t ， 当 01t 时， 20 4 4 4t ， 22lo g (4 4 ) 2t . 因此 ， mn 的取值范围为 ( ,2) . （ 17 分） 2
17、0. 解：（ 1）设 , , 0, ,M x y P b ,0Qa ( 0)a ，易知 3,HP b ， ,PM x y b， ,MQ a x y ，由题设 32PM MQ ， 得 3 ,23 ,2x a xy b y 其中 0a ，从而 13ax ， 12by，且 0x ， 又由 已知 0HP PM，得 HP PM ， 当 0b 时， 0y ，此时 3HP bk ，得 3PMk b， 又 PM PQkk ，故 3bab ， 23ba ， 即 21 1 13 3 2xy， 2 4yx 0x ， 当 0b 时，点 P 为原点， HP 为 x 轴， PM 为 y 轴，点 Q 也为原点，从而点 M
18、也为原点，因此点 M 的轨迹 C 的方程为 2 4yx ，它表示以原点为顶点，以 1,0 为焦点的抛物线 ； （ 4 分） （ 2） 由题设，可设直线 l 的方程为 10y k x k ，直线 l 的方程为 1 1yxk ， 0k ， 又设 11,Ax y 、 22,B x y ， 则由 214y k xyx ，消去 x ，整理得 2 4 4 0ky y k ， 故 2241 kAB k ，同理 241DE k， （ 7 分） 则 2 2222411 1 14 1 8 2 3222 kS A B D E k kkk ， 当且仅当 1k 时等号成立，因此 四边形 ADBE 面积 S 的最小值为
19、32 . （ 9 分） （ 3） 当 0k 时 可设直线 l 的方程为 1y k x， 由 22112y k xx y ，得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k ， 故 222 2 (1 )12 kAB k ， 222 2 (1 )2kDE k ， （ 13 分 ） 22 24222 2241 2 2 1 6222 92 5 21 2 2 25k kSkkkk kk ， 当且仅当 2 1k 时等号成立 . （ 17 分） 当 0k 时，易知 22AB ， 2DE ，得 162 9S ， 故当且仅当 2 1k 时 四边形 ADBE 面积 S 有最小值 169 . （ 18 分 ）
