1、 09年 高 考理科 数学 最后一次 模拟试卷 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 参考公式： 样本数据 nxxx , 21 的标准差： xxxxxxxns n 其中,)()()(1 22221 为样本平均数； 柱体体积公式： ShV ，其中 S为底面面积， h为高； 锥体体积公式： ShV 31 ，其中 S为底面面积， h为高； 球的表面积、体积公式： 32 34,4 RVRS ，其中 R为球的半径。 第 卷 （选择题共 50分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有
2、一项是符合题意要求的 . 1 在复平面内，复数 21i 对应的点与原点的距离是 ( ) A. 1 B. 2 C.2 D. 22 2 已知全集 UR ，集合 3Ax 7x ， 2 7 1 0 0B x x x ，则 ABR （ ） A , 3 5, B ,3 5, C ,3 5, D ,3 5, 3 ( 2 , 1 ) , ( 3 , ) , ( 2 ) ,a b x a b b x 若 向 量 若 则 的 值 为 ( ) A 13或 B 3 C -1 D 31或 4 设变量 xy、 满 足 约 束 条 件 20xxy y ， 则 目 标 函 数 Z2xy的 最小值 为（ ） A. 9 B. 4
3、 C. 3 D. 2 5.已知等差数列 2 4 1 07 1 5 1 0 Sna a a中 ， ， ， 则 前 项 和 （ ） A. 420 B. 380 C. 210 D. 140 6 已知双曲线 )0,(21 2222 epxyexy 的焦点为，且抛物线的离心率为 则 p 的值为（ ） A 2 B 4 C 2 D 4 7 已知 、 为两个互相垂直的平面， a、 b 为一对异面直线，下列条件： a/、 b ； a 、 b / ； a 、 b ； a/、 b / 且 a 与 的距离等于 b 与 的距离， 其中是 a b 的充分条件的有 （ ） A B C D 8. 函数 )(xf 的图像如图所
4、示，下列数值排序正确的是（ ） A. 0 ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 2 )f f f f y B. 0 ( 3 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 )f f f f C. 0 ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 )f f f f D. 0 ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 )f f f f O 1 2 3 4 x 9 已知正 三 棱锥 S ABC的底面边长为 4，高为 3，在正 三 棱锥内任取一点 P，使得 21ABCPV ABCSV 的概率是（ ） A 43 B 41 C 21 D 87 10 已知函数 ( ) 4 3f x x， xR .规定：给定一个实数
5、0x ，赋值 10()x f x ，若 1 1025x ，则继续赋值 21()x f x ， ，以此类推，若 1 1025nx ，则 1()nnx f x ，否则停止赋值 .如果得到 nx ，则 称为赋值了 n 次（ *nN ） .已知赋值 k 次后该过程停止，则 0x 的取值范围是（ ） A 564 ,4kk B 564 1, 4 1kk C 674 1, 4 1kk D 674 1, 4 1kk 第 卷 （非选择题共 100分） 本卷包括必 考 题和选 考 题两部分第 11 题第 2题为必 考 题，每个试题考生都必须 作 答；第21 题为选考题，请考生根据要求选答 二、填 空题：本大题共
6、5小题，每小题 4分，共 20分把答案填在答题卡相应位置 11 命题“ xR , 2 10x ”的否定是 _. 12 摄影师要为 5 名学生和 2 位老师拍照，要求排成一排， 2 位老师相邻且不排在两端，则不同的排法共有 _种 . 13 61(3 )xx展开式中 3x 的系数为 （用 数字作答） 14.下 面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 20080514 15 三位同学合作学习，对问题“已知不等式 222xy ax y对于 1, 2 , 2, 3xy恒成立 ,求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路 . 甲说：“可视 x 为变量， y 为
7、常量来分析” . 乙说：“不等式两边同除以 x 2，再作分析” . 丙说：“把字母 a 单独放在一边，再作分析” . 参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数 a 的取值范围是 三、解答题：本 大题共 6小题，共 80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（本小题满分 13分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴正半轴上，直线 AB 的倾斜角为 34p ， |OB|=2, 设3, ( , )24A O B ppqq?. （）用 q 表示点 B 的坐标及 |OA ； （ ）若 4tan 3q=- ，求 OAOBuur uur 的值 . 17 (本小题满分 13分 )
8、 如图，三棱柱 A1B1C1 ABC 的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰 直角三角形，已知点 M 是 A1B1的中点 . （ 1）求证： B1C平面 AC1M； （ 2）设 AC 与平面 AC1M 的所成角 为 ，求 sin . O A x B y 男生 女生 9 8 7 6 0 3 5 6 6 2 0 0 1 6 3 6 2 8 （第 14 题） 18 (本小题满分 13分 ) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，打算本年度投入 8 千 万元，以后每年投入将比上年平均减少 20% ，本年度旅游收入为 4 千 万元，由于该项建设对旅游的
9、促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加 25% . （ ） 设第 n 年（本年度为第一年）的投入为 na 千 万元，旅游业收入为 nb 千 万元，写出 na ， nb 的表达式； （ ） 至少经过几年旅游业的总收入超过总投入？ 19（本小题满分 13分） 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M（ 2， 1），平行 于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m （ m 0）， l 交椭圆于 A、 B两个不同点。 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求 m 的取值范围； （ 3）求证 ： 直线 MA、 MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 .
10、 20 (本小题满分 14分 ) 已知 x=0是函数 )()()( 2 Rxebaxxxf x 的一个极值点，且函数 ()fx 的图象在 2x 处的切线的斜率为 2 2e . （）求函数 ()fx的解析式并求单调区间 . （）设 ( )()xfxgx e，其中 2, )xm ， 问： 对于任意的 2m ,方程 ()gx 22( 1)3 m 在区间( 2, )m 上是否存在实数根？若存在，请 确定 实数根 的个数 .若不存在，请说明理由 . 21本题有（ 1）、（ 2）、（ 3）三个选答题，每题 7分，请考生任选 2题 作 答，满分 14分如果多做，则按所做的前两题记分 （ 1） (本小题满分
11、7 分 )选修 4 2： 矩阵与变换 设 42 51A，求 A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量 . （ 2） (本小题满分 7分 )选修 4 4： 坐标系与参数方程 已知点 p(x,y)是圆 222x y y上的动点 .若 x y a 0 恒成立 ,求实数 a 的取值范围 . （ 3） (本小题满分 7分 )选修 4 5： 不等式选讲 已知点 P 是边长为 23的 等边三角形内的一点，它到三边的距离分别为 x y z、 、 , 求 x y z、 、 所满足的关系式，并计算 2 2 2x y z的最小值 . 2009 年 模拟试卷 参考答案 一、 选择题 ：本 题 考 查 基 础 知
12、识 和基本运算， 每 小 题 5分， 满 分 50 分 1 B 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B 9 D 10 B 二、填空 题 ：本 题 考 查 基 础 知 识 和基本运算， 每 小 题 4分， 满 分 20 分 11 2, 1 0x R x 12 960 13.1. 14 2 15 ),1 三、解答题：本大题共 6小题，共 80 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 解：（）由三角函数的定义，得点 B 的坐标为 (2cos ,2sin )qq. -1 分 在 AOBV 中， |OB|=2， 3,4 4 4B A O Bp p pp q q? ? - - =
13、-， 由正弦定理，得 | | | |sinsin 4OB OABp = ，即 2 | |32 sin( )42OApq= -， 所以 3| | 2 2 sin ( )4OA p q=-. -6 分 注：仅写出正弦定理，得 3 分 . 若用直线 AB 方程求得 | | 2 ( sin co s )OA qq=+也得分 . （ ）解：由（）得 3| | | | c o s = 4 2 s i n ( ) c o s4O A O B O A O B pq q q? 鬃 -?u u r u uur u u r u uur， -7 分 因为 43ta n , ( , )3 2 4ppqq= - ?， 所
14、以 43sin , c o s55qq= = -， -9 分 又 3 3 3s i n ( ) s i n c o s c o s s i n4 4 4p p pq q q- = ? ?2 3 2 4( ) ( )2 5 2 5= ? - - ?210= ， -11 分 所以 2 3 1 24 2 ( )1 0 5 2 5O A O B? 鬃 - = -uur uuur . -13 分 17 解：由三视图可知三棱柱 A1B1C1 ABC 为直三棱柱，侧梭长为 2，底面是等腰直角三角 形， AC=BC=1. 2 分 如图建立空间直角坐标系 C xyz， 则 C（ 0， 0， 0）， C1（ 0，
15、 0， 2）， A（ 1， 0， 0）， B1（ 0， 1， 2）， A1（ 1， 0， 2） M 为 A1B1 中点， ).2,21,21(M 4 分 （ 1） ),0,21,21(),2,21,21(),2,1,0(11 MCAMCB,11 MCAMCB 6 分 1CB 面 AC1M，又 B1C 面 AC1M， B1C面 AC1M. 8 分 （ 2）设平面 AC1M 的一个法向量为 ),( zyxn .022121)2,21,21(),(,02121)0,21,21(),(1zyxzyxAMnyxzyxMCn,2,2,1 yxz 则令 ),1,2,2( n 10 分 )0,0,1(AC又
16、则 .32|,c o s|s in ACn ACnACn 13 分 18 解： （ ）解，依题意每年投入构成首项为 8 千万元，公比为 45 的等比数列，每年旅游业收入组成首项为 4 千万元，公比为 54 的等比数列。 3分 所以， 11458 ( ) , 4 ( )54nnnnab 5分 （ ）解，经过 n 年， 总收投入48 1 ( )45 4 0 1 ( )4 515nnns 7分 经过 n 年，总收入54 1 ( )54 1 6 ( ) 15 414nnnT 9分 设经过 n 年，总收入超过总投入，由此， 0nnTS, 516 ( ) 14 n 440 1 ( )5 n0化简得 455
17、 ( ) 2 ( ) 7 054nn 10分 设 4()5nx 代入上式整理得， 25 7 2 0xx 解得， 2,5x 或 1x （舍去） 11分 由 42()55n ， 4n 时， 4()5n 256625 25 ， 5n ， 4()5n 1024 23125 5 12 分 因为 4()5 xy 在定义域上是减函数，所以 5n 答：至少经过 5 年旅游业的总收入超过总投入。 13分 19 解： （ 1）设椭圆方程为 )0(12222 babyax 1分 则2811422222 bababa解得 3分 椭圆方程为 128 22 yx 4分 （ 2）直线 l 平行于 OM，且在 y轴上的截距为
18、 m 又 KOM=21 mxyl 21的方程为： 5 分 由 0422128212222 mmxxyxmxy 6分 直线 l 与椭圆交于 A、 B两个不同点， 分且解得 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0,22 ,0)42(4)2(22 mm mm（ 3）设直线 MA、 MB的斜率分别为 k1， k2，只需证明 k1+k2=0即可 9分 设 42,2),(),( 221212211 mxxmxxyxByxA 且
19、10分 则 121211,22yykkxx由 可得0422 22 mmxx 42,2 22121 mxxmxx 10分 而 1 2 1 2 2 112 1 2 1 21 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 )2 2 ( 2 ) ( 2 )y y y x y xkk x x x x )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4)(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx2212122 4 2 4 4 4 0( 2 ) ( 2 )0m m m mxxkk 故直线 MA、 MB与 x 轴始终围成
20、一个等腰三角形 . 13分 20. 解： （ I） xebaxaxxf )2()( 2 1 分 由 abf 得,0)0( 2( ) ( 2 ) xf x x a x e 2 分 又 2( 2 ) 4 2 ( 2 )f a e 22 4 2 ( 2 ) 2a e e ，故 3a 4分 令 2( ) ( ) 0 ,xf x x x e 得 0x 或 1x 令 2( ) ( ) 0 ,xf x x x e 得 01x 故： 2( ) ( 3 3) xf x x x e ，单调增区间是 ( ,0,1, ) ，单调减区间是 (0,1) 6分 . （）解 :假设 方程 ()gx 22( 1)3 m 在区间
21、 ( 2, )m 上存在实数根 设 0x 是方程 ()gx 22( 1)3 m 的实根， 2200 2 ( 1)3x x m , 令 222( ) ( 1)3h x x x m ,从而问题转化为证明方程 222( ) ( 1)3h x x x m =0 在 ( 2, )m 上有实根 ,并讨论解的个数 8分 因为222( 2 ) 6 ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )33h m m m , 221( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )33h m m m m m m , 所以 当 4 2 1mm 或 时 , ( 2) ( ) 0h h m ,所以 ( ) 0hx 在 ( 2, )m
22、 上有解 ,且只有一解 当 14m时 , ( 2) 0 ( ) 0hm 且 h ,但由于 22(0 ) ( 1) 03hm , 所以 ( ) 0hx 在 ( 2, )m 上有解 ,且有两解 10分 当 1m 时 , 2( ) 0 0 1h x x x x x 或,所以 ( ) 0hx 在 ( 2, )m 上有且只有一解； 当 4m 时 , 2( ) 6 0 2 3h x x x x x 或, 所以 ( ) 0hx 在 ( 2,4) 上也有且只有一解 12 分 综上所述 , 对于任意的 2m ,方程 ()gx 22( 1)3 m 在区间 ( 2, )m 上均有实数根 且当 4 2 1mm 或 时
23、 ,有唯一的实数解；当 14m时 ,有两个实数解 14 分 21. (1)解： (矩阵与变换 )矩阵 A 的特征多项式为 )6)(1(6542 51)( 2 f 2 分 令 0)( f ，得矩阵 A 的特征值为 6,1 21 3 分 对于特征值 ,11 解相应的线性方程组 052 052 yx yx得一个非零解 25yx， 因此， 251是矩阵 A 的属于特征值 11 的一个特征向量。 5 分 对于特征值 ,61 解相应的线性方程组 022 055 yx yx得一个非零解11yx， 因此， 112是矩阵 A 的属于特征值 61 的一个特征向量。 7 分 (2)解： （ 坐标系与参数方程 ） （本题满分 7 分） 解 :设圆的参数方程为 ， 2 分 要使 x y a 0 恒成立 ,只须 a x y ，即 a -cos -sin -1 3 分 2 s in ( ) 14a 5 分 又 m a x2 s i n ( ) 1 2 14
