1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届高 考理科数学 4 月份模拟考试试题 理科数学 命题责任人：吴敏 朱修龙 校对责任人：杨海燕 说明：本次考试共 3 大题，分客观题和主观题，共 150分，考试时间为 120 分钟； 请考生将所有答案填写在答题卡规定位置，答在本卷本上的答案一律无效。 一、选择题：（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1. 已知集合 22,xP y y Q y y x ，则 PQ （ ） A. 2,4 B. (2,4),(4,16) C. 0, D. 0, 2. 不等式 213xx 的解集是（ ） A
2、. 1,0 B. 1, C. ,1 D. , 1 0, 3. 直线 : ( 2) 2l y k x 与圆 22: 2 2 0C x y x y 相切，则 k 的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 4. 若 a 与 bc 都是非零向量，则“ a b a c ”是“ )a b c ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 5. 函数 55( ) (1 ) (1 )f x x x 的单调减区间是（ ） A. 0, B. ,0 C. ,1 D. , 6. 若函数 ( )( )y f x x R满足 ( 2) ( )f x f x
3、，且 1,1x 时， 2()f x x ，则函数()y f x 的图像与函数 4logyx 的图像的交点的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 方程 2 ( 1) 1 0x m x 在 1,2 内有解，则 m 的取值范围是（ ） A. 31,2 B. 5,22C. 3,12D. 52,2 频率组距 体重 50 55 60 65 70 75 0 0375 0 0125 8. 已知正四面体 A-BCD中，动点 P在 ABC 内，且点 P到平面 BCD的距离与点 P到点 A的距离相等，则动点 P的轨迹为（ ） A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D.
4、 一条线段 二、填空题：（本大题共 7小题，每小题 5分，共 35分，把答案填写在答题卡相应位置） 9. 已知复数 121 , 3z i z i ,则化简复数 21zz = . 10. 设 函数 ()y f x 的反函数为 1()y f x ，且 (2 1)y f x的图像过点（ 12 ， 1），则1()y f x 的图像必过定点的坐标是 . 11. 由圆 222xy与平面区域 300yxyx 所围成的图形（包括边界）的面积为 . 12. 为了了解高三学生的身体状况抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 2 3，
5、第 2 小组的频数为 12，则抽取的男生人数是 13. 已知球 O的半径为 1， A、 B、 C三点都在球面上， A、 B两点间的球面距离为 2 ， B、 C与 A、 C间的球面距离均为 3 ，则球心 O到平面 ABC的距离为 . 14. 有五种不同颜色供选择，把右图中五块区域涂色，同一 区域同一颜色，相邻区域不同颜色，共有 种不同的涂法 .（结果用数值表示） 15. 七月过后，粮食丰收了。农民刘某家的原有粮仓显得太小了，他决定在屋内墙角（如图，墙角 A = 60） 搭建一个急用粮仓 。现有一块矩形木板 BCDE，刘某在想，木板应该怎样放置才能使粮仓装粮最多？（假定粮仓顶面 DEF水平并另用木
6、板盖上）。 1 2 5 3 4 （ 1）若矩形木板边长分别为 1米和 2米，则最大值为 （ 2）若矩形木板周长为 8米，则最大值为 三、解答题：（本大题共 6小题，共 75分 .解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤） . 16. （本小题满分 12分） 甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达 4次为止 . 若甲击中目标的概率为 23 ，乙击中目标的概率为 12 . 求：（ 1）甲在他第二次射击时胜出的概率； （ 2）比赛停止时，甲、乙两人射击总次数 的分布列和期望。 17. （本小题满分 12 分
7、） 设 ABC 的内角 A、 B、 C所对的边分别为 a b c、 、 ，且1cos 2b C a c. （ 1）求角 B 的大小； （ 2）若 1b ，求 ABC 的周长 l 的取值范围 . 18. （本小题满分 12 分） 如图，四面体 ABCD中， O、 E分别是 BD、 BC的中点，又 CA=CB=CD=BD=2， AB=AD= 2 （ 1）求证： AO 平面 BCD； （ 2）求异面直线 AB与 CD所成角的大小； （ 3）求点 E到平面 ACD的距离 19. （本小题满分 13 分） 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面 (如图所示 )上进行开发建设 ,阴影部分为一公共设施建设不能开发
8、 ,且要求用栏栅隔开 (栏栅要求在一直线上 ),公共设施边界为曲线2( ) 1 ( 0 )f x a x a 的一部分 ,栏栅与矩形区域的边界交于点 M、 N，交曲线于点 P，设( , ( )Pt f t （ 1）将 OMN （ O为坐标原点）的面积 S 表示成 t 的函数 ()St ； （ 2）若在 12t 处 ， ()St 取得最小值，求此时 a 的值及 ()St 的最小值 . 20. （本小题满分 13 分） 已知方向向量为 (1, 3)v 的直线 1l 过椭圆 22: 1 ( 0 )xyC a bab 的焦点以及点 (0, 2 3) ，椭圆 C 的中心关于直线 1l 的对称点在椭圆 C
9、 的右准线上 . （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 的左焦点 1F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线 2l ，交椭圆于 P、 Q两点，若点 M在 x 轴上，且使 1MF 为 MPQ 的一条角 平分线，则称点 M为椭圆的“左特征点”，求椭圆 C 的左特征点 M的坐标 . 21. （本小题满分 13 分） 已知数列 na 满足：1 52a，且 1141 ( 2 , )2nnnaa n n Na O x y M N P （ 1）设 11n nb a ，证明数列 nb 是等差数列； （ 2）求数列 nb 、 na 的通项公式； （ 3）设 1n n nc a a ， nS 为 数列 nc
10、 的前 n 项和，证明 6(1 ln )nS n n . 理科数学 一、选择题 （每小题 5分，共 40 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 C A B C B C C A 二、填空题 （每小题 5分，共 35 分） （ 2） 的可能取值为 1、 2、 3、 4 1 表示甲第一次就击中目标 2( 1) 3P 2 表示甲第一次未击中，乙第一次击中目标 1 1 1( 2) 3 2 6P 3 表示甲、乙前一次都未击中，甲第二次击中目标 1 1 2 1( 3) 3 2 3 9P 4 表示前三次射击未中 1 1 1 1( 4 ) 3 2 3 1 8P .8分 的分布列为 1 2 3 4
11、 P 23 16 19 118 .10分 2 1 1 1 1 41 2 3 43 6 9 1 8 9E . .12分 17、（本小题满分 12分） 解：（ 1）方法一：在 ABC 中，有 s i n s i n ( ) s i n c o s c o s s i nA B C B C B C 由正弦定理得： cos cosa b C c B 又 1cos ,2b C a c 1cos 02Bc ，即 1cos 2B ， 又 B 为 ABC 的内角， 3B .5 分 方法二：由 1cos ,2b C a c 得 1s i n c o s s i n s i n s i n c o s c o s
12、 s i n2B C A A B C B C 即： 11s i n c o s s i n , s i n 0 , c o s22C B C C B 3B （ 2）由正弦定理得： s i n 2 s i n 2s i n , s i ns i n s i n33b A b Ca A c CBB .7 分 221 ( s i n s i n ) 1 s i n s i n ( )33l a b c A C A A B 2 1 31 ( sin sin c o s )223311 2 sin c o s22A A AAA 1 2 sin( )6A .10 分 25, 0 , , ,3 3 6 6
13、6B A A 1si n ( ) ,162A 于是 1 2 s in ( ) 2 , 36lA 故 ABC 的周长 l 的取值范围为 2,3 。 .12 分 18、 (本小题满分 12 分 ) 解：方法一：（ 1）证明：连结 OC BO=DO， AB=AD， AO BD BO=DO， BC=CD， CO BD 在 AOC 中 ， 由已知可得 AO=1， CO= 3 ， 而 AC=2， 2 2 2+= AO CO AC， AOC=90， 即 AO OC =0BD OC ， AO 平面 BCD .4 分 （ 2） 取 AC 的中点 M， 连结 OM、 ME、 OE， 由 E 为 BC 的中点知 M
14、E/AB， OE/DC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 OME 中 ,EM=12 AB= 22 ， OE=12 DC=1， OM 是直角 AOC 斜边 Ac 上的中线 ， OM=12 AC=1， 2cos = 4OEM ,异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2arccos 4 .8 分 （ 3）设点 E 到平面 ACD 的距离 为 h 11, 33E - A C D A - C D E A C D C D EV = V h S A O S 在 ACD 中， CA=CD=2， AD= 2 ，21 2 7222 2 2A C DS 而 21 3 3
15、1 , 22 4 2CD EA O S , 31 212 772CD EA CDA O ShS 点 E 到平 面 ACD 的距离为 217 . .12 分 方法二：（ 1）同方法一 （ 2）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B（ 1， 0， 0）， D（一 1， 0， 0），C（ 0， 3 ,0），（ 0,0,l） ,E（ 13, ,022 ）， BA =（一 1， 0， 1）， CD （一 1，一 3 ， 0） 2c o s , 4| | |B A C DB A C D B A C D ， 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos 24 （ 3）解：设平面 ACD
16、 的法向量为 n=(x,y,z) ， 则 , , 1 , 0 , 1 0 , , 0 , 3 , 1 0 ,n A D x y zn A C x y z ， 0,3 0.xzyz 令 y=I，得 n=(- 3,1, 3) 是平面 ACD 的一个法向量 又 13(- , ,0),22EC 点 E 到平面 ACD 的距离 | | 3 2 17| 7E C nh n 19、 （本小题满分 13 分） 解：（ 1） 2y ax ，切线的斜率为 2at ， 切线 l 的方程为 2(1 ) 2 ( )y a t a t x t 令 0,y 得 2 2 2 21 1 2 12 2 2a t a t a t
17、a txta t a t a t .3 分 21( ,0)2 atM at ,令 0t ,得 2 2 2 21 2 1 , ( 0 , 1 )y a t a t a t N a t MON 的面积 2 2 221 1 (1 )( ) (1 )2 2 4a t a tS t a ta t a t .6 分 (2) 2 4 2 2 2223 2 1 ( 1 ) ( 3 1 )() 44a t a t a t a tSt a t a t .8 分 0, 0at,由 () 0St ,得 2 13 1 0 , 3a t t a 得 当 2 13 1 0 ,3a t t a 即时 , () 0St 当 2
18、 13 1 0 , 03a t t a 即时 , () 0St 1 , ( )3t S ta当 时 有 最 小 值 .11 分 已知在 12t 处 , ()St 取 得 最 小 值 ,故有 1 1 4,233 aa 故当 41,32at时 ,2m in41(1 )1234( ) ( )4123432S t S .13 分 20、（本小题满分 13 分） 解、（ 1）直线 1l 的方程为 3 2 3yx .2 分 过原点垂直于 1l 的直线方程为 33yx 解得 32x 椭圆中心 O（ 0， 0）关于直线 1l 的对称点在椭圆的右准线上， 2 3232ac .4 分 直线 1l 过椭圆的焦点，
19、该焦点的坐标为 (2,0) 从而 222, 6, 2c a b 故椭圆 C的方程为 22162xy .6 分 （ 2）设左特征点的坐标为 ( ,0)Mm ，左焦点为 1( 2,0)F ，可设直线 PQ的方程为 2yx k 由 2yx k与 22162xy,消去 x 得 22143 2 0yykk 又设 1 1 2 2( , ) ( , )P x y Q x y、 ,则 21 2 1 22242,1 3 1 3kky y y y .8 分 因为 2MF 为 PMQ 的角平分线 ,所以 0PM QMkk, 即 : 12 0yyx m x m .10 分 将 11 2yx k与 22 2yx k代入
20、上式化简 ,得 1 2 1 2 1 22 2 ( ) ( ) 0y y y y m y yk 将代入中 ,得 2222 2 4( ) ( 2 ) ( ) 01 3 1 3kkmk k k ,得 3m 即左特征点为 ( 3,0)M .13 分 21、 （本小题满分 13 分） 解： (1) 113( 1)1 2nnnaa a , 11121 1 11 3 ( 1 ) 1 3nn n naa a a 1112,33nnb b b nb为等差数列 .3 分 (2)由 (1)1 11( 1) 33n nb b n ,从而 41n na n .6 分 (3) 222( 4 ) ( 5 ) 9 2 0 3
21、16( 1 ) ( 2 ) 3 2 3 2n n n n n nc n n n n n n 26 ( 3 ) 6113n nc n n n , 1 1 16 (1 . )23nSn n 当 1n 时 , 1 5S ,不等式的左边 =7,不等式成立 当 2n 时 , 1 1 16 (1 . )23nSn n 故只要证 1 1 11 . . . 1 l n ( 2 )23 nnn , .8 分 如下用数学归纳法给予 证明 : 当 2n 时 , 12ln 2 ln 02 e , 2n时 ,不等式成立 ; 假设当 nk 时 , 1 1 11 . . . 1 l n ( 2 )23 kkk 成立 当 1
22、nk时 , 1 1 1 1 11 . . . 1 l n2 3 1 1kk k k 只需证 : 11 ln 1 ln ( 1 )1kkk ,即证 : 11ln 1k kk .10 分 令 1 0,11 xk ,则不等式可化为 : 1ln1 xx 即 ln (1 ) , (0 ,1)x x x 令 ( ) ln(1 )f x x x ,则 1( ) 1 011 xfx xx ()fx 在 (0,1) 上是减函数 又 ()fx在 0,1 上连续 , ( ) (0 ) 0f x f ,故 ln(1 )xx 当 11x k 时 ,有 11ln 1k kk 当 1nk时 ,所证不等式对 2n 的一切自然数均 成立 综上所述 , 6(1 ln )nS n n 成立 . .13 分
