1、 高二数学下册 期末考试 题 高二数学 (理科 )试题 一、 选择题： (本大题共 12个小题 . 每小题 5分；共 60分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 ). 1. 已知全集 ,7654321 、U 631,543M ，、 N，则集合 72、 等于 （ ） A. NM B. )()( NCMC UU C. )()( NCMC UU D. NM 2.已知角 终边上一点 )32cos,32(sin P ，则角 的最小正值为 （ ） A. 65B. 611C. 32 D . 35 3.在复平面内，复数2)1(1ii对应的点位于 （ ） A.第一象限 B. 第二象限 C.
2、 第三象限 D . 第四象限 4.设 312.021 2,)31(,3lo g cba ，则 （ ） A. cba B. abc C. bac D. cab 5.已知 1, 6 , ( ) 2 a b a b a，则向量 a 与向量 b 的夹角是 （ ） A 6 B 4 C 3 D 2 w.w.w.k.s.5. u.c. o.m 6不等式 23 1 3x x a a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （ ） A ( , 1 4, ) ; B ( , 2 5, ) ; C 1,2 ; D ( ,1 2, ) 7. 若 nm, 时两条不同的直线， 、 是三个不同的平面，下列命题 正
3、确的序号是（ ） 若 ,/, nm 则 nm ； 若 , ，则 / ； 若 ,/,/ nm 则 nm/ ； 若 /,/ ， m 则 m . A. B. C. D. 8. 设双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于 ( )高 .考 .资 .源 .网 A 3 B. 2 C. 5 D. 6 高 .考 .资 .源 .网 9.甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 ( )高 .考 .资 .源 .网 A.150 种 B.
4、180 种 C.300 种 D.345 种 高 .考 .资 .源 .网 10.等差数列 na 的公差为 2，若 431 , aaa 成等比数列，则 2a （ ） A . 8 B . 6 C .8 D 6 11.已知随机变量 22,3 N ，若 32 ，则 D 为 （ ） A .4 B .2 C .1 D .0 12.已知一个全面积为 44 的长方体，且它的长 、宽、高的比为 3： 2： 1，则此长方体的外接球的表面积为 （ ） A . 7 B . 14 C . 21 D . 28 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 ) 13. 若 62 1 a
5、xx的二项展开式中 3x 的系数为 25 ，则 a (用数字作答 ) 14已知变量 x 、 y 满足约束条件 11yxxyy ，则 2z x y的最小值为 。 15常数 a 、 b 满足 21531limxax x bx ，则 ab 16. n1nn1n2n2n1n1nn 12C12C2C2 = _ 三 .解答题： 本大题 共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） 如图在 ABC 中 , 25, 2 5 , c o s45B A C C ( )求 sinA ； ( ) 记 BC 的中点为 D , 求中线 AD 的长 18. （本小题满
6、分 12 分） 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 13 ，遇到红灯时停留的时间都是 2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列及期望 . 19. （本小题满分 12 分 ）三棱锥 P-ABC 中， PC、 AC、 BC 两两垂直， BC=PC=1， AC=2， E、 F、G 分别是 AB、 AC、 AP 的中点 . （）求证：平面 GFE平面 PCB； （）求 GB 与平面 ABC 所成角的正切值； （）求二面角 A-PB-C 的大小 . 20. （
7、本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 na 是 nS 与 2 的等差中项，数列nb 中， 11b ，点 1, nn bbP 在直线 02yx 上。 （） 求 1a 和 2a 的值； （） 求数 列 na ,nb 的通项 na 和 nb ； （） 设 nnn bac ，求数列 nc 的前 n 项和 nT 。 21. （本小题满分 12 分） 已知 ).3()3(),1(),0,( babaybxa （ ） 求点 ),( yxP 的轨迹 C 的方程； （） 若直线 1: kxyl 与曲线 C 交于 A、 B 两点，并且 A、 B 在 y 轴的同一侧，求实数 k的取值
8、范围 . （） 设曲线 C 与 x 轴的交点为 M，若直线 1: kxyl 与曲线 C 交于 A、 B 两点，是否存在实数 k，使得以 AB 为直径的圆恰好过点 M？若有，求出 k 的值；若没有，写出理由 . 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 xaxxf ln2 （ I）当 ea 2 时，求函数 xf 的单调区间和极值； （ II）若函数 xxfxg 2)()( 在 4,1 上是减函数，求实数 a 的取值范围 . 高二理科数学 参考答案： 一、 B D BA C A DCD B CD 二、 13、 2 14、 -3 15、 3 16、 1 三、 17.解 (1)由 25cos 5C
9、, C 是三角形 内角， 得555 521c o s1s in22 CC CCCBCBA s i n4c o sc o s4s i n)s i n ()(s i n s i n 2 2 2 5 3 1 052 5 2 5 1 0 (2) 在 ABC 中 ,由正弦定理， sin sinBC ACAB ， 2 5 3 1 0s ins in 1 022ACB C AB 6 CD = 12 BC = 3 , 又在 ADC 中 , AC=2 5 , cosC = 2 5 5 , 由余弦定理得 , 22 2 c o sA D A C C D A C C D C = 252 0 9 2 2 5 3 55
10、18.解 :（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A，因为事件 A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为 1 1 1 4113 3 3 2 7PA . （ ）由题意，可得 可能取的值为 0， 2， 4， 6， 8（单位： min） . 事件“ 2k ”等价于事件“该学生在路上遇到 k 次红灯”（ k 0， 1， 2， 3， 4）， 44 122 0 , 1 , 2 , 3 , 433kkkP k C k ， 即 的分布列是 0 2 4 6 8 P 1681 3281 827 881 181 的期望是 1 6 3 2 8
11、 8 1 80 2 4 6 88 1 8 1 2 7 8 1 8 1 3E . 19.解 ： 依条件 建立如图所示空间直角坐标系 .所以 A(2， 0， 0)， B(0， 1， 0)， P(0， 0， 1) （） 略 . （ ） 解：连接 BF，因为 GF PC， PC 平 面 ABC， 所 以 GF 平面 ABC， BF 为斜线BG 在平面 ABC 上的射影，则 GBF 为所求 . 因为 F、 G 分别为 AC， AP 的中点， F(1,0,0) ， 1(1,0, )2G ， BF (1, 1,0) ， 1BG (1, 1, )2 ， BF 2 ， 3BG 2 ， B G B Fc o sB
12、 G B F GBF= 223 . 2tan GBF 4. （）解： 显然 CA =(2， 0， 0)是平面 PBC 的一个法向 量 . 设 n=(x， y， z)是平面 PAB 的一个法向量， 为 AP =(-2， 0， 1)， AB =(-2， 1， 0)， 所以 由 nAP =0， nAB =0 解得 n=(1， 2， 2). 设 二面角 A-PB-C 的大小 为 ，由图可知， CAur 与 nr 的大小也为 所以 cos = CACAnn=13 . 20.解： （ 1） na 是 nS 与 2的等差中项， 22 nn aS 。 22 111 aSa 解得 21a ， 22 2221 a
13、Saa 解得 42a （ 2） 22 nn aS 22 11 nn aS 又 NnnaSS nnn ,21 122 nnn aaa 又 0na Nnnaann ,2,21即数列 na 是等比数列 21a nna 2 又 点 1, nn bbP 在直线 02yx 上， 021 nn bb 21 nn bb ，即数列 nb 是等差数列，又 ,11b 12 nbn （ 3） (2 1)2 ,nncn 231 1 2 2 1 2 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 ,nn n nT a b a b a b n 2 3 12 1 2 3 2 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 ) 2nnnT n n 。 因
14、此：由错位 相减法得， 62)32( 1 nn nT 。 21.解 ：（ 1）所求的轨迹方程是 13 22 yx （ 2）设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，把 131 22 yxkxy 代入 ， 得 0223 22 kxxk 由 03 2 k 且 0 得 66 k 且 3k A、 B 在 y轴的同一侧， 021 xx ，得到 33 kk 或 综上，得 )6,3()3,6( k . （ 3）由（ 2）得 32221 k kxx 32221 kxx 1,1 2211 kxykxy 曲线 C与 x轴交点 )0,33(1M、 )0,33(2 M，若存在实数 k，符合题意，则 ,MB
15、MA 不妨取点 0)3 3()3 3(,0, 2121111 yyxxBMAMM 得 将式代入上式 ， 整理得到 0332 2 kk ，解得 3(23 kk 舍去）根据曲 线的对称性，知存在实数 23k ，使得以 AB 为直径的圆恰好过 M 点 22.解： （ I）函数 xf 的定义域 为 ,0 ， 当 ea 2 时 x exexxexxf 222 当 x 变化时， xfxf , 的变化情况如下：（此表略） 由上表可知，函数 xf 单调区间是 e,0 ； 单调递增区间是 ,e ， 极小值是 0ef （ II）由 xxaxxg 2ln2 得 222 xxaxxg 。 又函数 xxaxxg 2ln2 为 1， 4上单调减函数， 则 0xg 在 1， 4上恒成立，所以不等式 0222 xaxx在 4,1
