1、 高二年级 数学 第二学期期中考试 数 学 试 卷 （理） 总分： 150分 时量： 120 分钟 第卷（选择题 共 55分） 一、选择题（本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 13()ii 的虚部为 ( ) A 8i B 8i C 8 D 8 2 用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 ”时，反设正确的是（ ） A 假设三内角都不大于 60 度 B 假设三内角都大于 60 度 C 假设三内角至多有一个大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度 3 22 )c o s(s in dxx
2、x的值为（ ） A 0 B 4 C 2 D 4 4函数 xxxxf 23)( 的单调减区间是 A（ )31, B. ),1( C（ )31, ， ),1( D. )1,31( 5直线 32 xy 与抛物线 2xy 所围成的图形面积是 （ ） A 20 B 328 C 332 D 343 6若函数 )(xf 在 R上是一个可导函数，则 0)( xf 在 R上恒成立是 )(xf 在区间 ),( 内递增的 A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.函数 ()y f x 的图象如图所示，则导函数 ()y f x 的图象可能是 8已知 1 2 1 2 1z z
3、 z z ,则 12zz 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 23 x y O x y O A x y O B x y O C x y O D f(x) ()fx()fx ()fx ()fx 9 f (x)是定义在 (0,+ )上的非负可导函数 ，且满足 ( ) ( ) xf x f x ，对任意的正数 a b ，若 a b，则必有 （ ） A a f (a) b f (b) B a f (a) b f (b) C a f (b) b f (a) D a f (b) b f (a) 10设 fx是定义在 正整数集上的函数，且 fx满足： “当 2f k k 成立时，总可推出 211f k
4、 k 成立 ”，那么，下列命题总成立的是 A若 24f 成立，则当 1k 时，均有 2f k k 成立 B若 4 16f 成立，则当 4k 时，均有 2f k k 成立 C若 6 36f 成立，则当 7k 时，均有 2f k k 成立 D若 7 50f 成立，则当 7k 时，均有 2f k k 成立 11 )(),( xgxf 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 0x 时，0)()()()( xgxfxgxf 且 0)()(,0)2( xgxff 则不等式 的解集为 （ ） A（ 2， 0）（ 2， +） B（ 2， 0）（ 0， 2） C（， 2）（ 2， +） YCY D（， 2）（
5、 0， 2） 数 学 试 卷 （理） 第卷（非选择题 共 95分） 二、填空题： (本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分把答案填在 答题卡相应位置上 ) 12. 若 是锐角 ABC 的一个内角，且2 1cos 2xdx ， 则 = 。 13.Q 是曲线 C： f(x)=ex 上的动点，当 Q 无限趋近于点 P（ 0， 1）时，割线 PQ 的斜率无限接近于一个常数是 _ 14 )(131211)( Nnnnf，经计算的 27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2( fffff ，推测当 2n 时，有 _ 15由图（ 1）有面积关系： PA BPABS PA PBS PA PB
6、 ，则由图（ 2）有体积关系： P ABCP ABCVV 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 79分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 16求 曲线 xxxy 223 与 x 轴所围成的图形的面积 17已知函数 xxaaxxf ln2)( )0( a ，若函数 )(xf 在其定义域内为单调函数，求 a 的取值范围； 18（本题 14 分） 记 z 的共轭复数为 z ，是否存在复数 z 使等式iiziziz 2 55112 ）（）（成立 .若存在，求出满足要求的 z ；若不存在，请说明理由 . 19 观察以下各等式： 2 0 2 0 0 0 3s i n 3 0 c o s 6 0
7、s i n 3 0 c o s 6 0 4 2 0 2 0 0 0 3s i n 2 0 c o s 5 0 s i n 2 0 c o s 5 0 4 2 0 2 0 0 0 3s i n 1 5 c o s 4 5 s i n 1 5 c o s 4 5 4 ， 分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明 B A P B A 图 1 B A P B A C C 图 2 20、如图 ,一水渠的横断面是抛物线形， O是抛物线的顶点 ,口宽 EF=4米，高 3米 （ 1） 建立适当的直角坐标系，求抛物线方程 . （ 2） 现将水渠横断面改造成等腰梯形 ABCD，要
8、求高度不变，只挖土，不填土，求梯形 ABCD的下底 AB多大时，所挖的土最少？ 222 0 , 1 ( ) l n 1 212 ( ) ( )1( ) 2 0 1x g x x xh x g xg x a xx 21. 已 知 函 数 f(x)=x- 在 上 单 调 递 减 ， 在 ， 上单 调 递 增 。（ ） 求 的 值 ；（ ） 求 f(x) 的 最 小 值 ；（ 3 ） 当 a-1 时 ， 若 在 ， 上 恒 成 立 ， 求 a 的 取 值 范 围 。C D E F O A B M N 参考答案 一 DBCDC ADCCD A 二 12. 613. _1 14. 2 2)2( nf n
9、 15. PCPBPA PCPBPA 三 16 （ 12 分） 解：首先求出函数 xxxy 223 的零点： 11 x ， 02x ， 23x .又易判断出在 )0 , 1(内，图形在 x 轴下方，在 )2 , 0( 内，图形在 x 轴上方， 所以所求面积为 dxxxxA 0 1 23 )2( dxxxx 2 0 23 )2( 123717 （ 13 分） 解： xxaaxf 2)(2 要使函数 )(xf 在定义域 ),0( 内为单调函数，则在 ),0( 内 )(xf 恒大于 0或恒小于 0， 当 02)(0 xxfa 时， 在 ),0( 内恒成立； 当 时，0a 要使 01)11()( 2
10、aaaxaxf 恒成立，则 01aa ，解得 1a 所以 a 的取值范围为 1a 或 0a 18 （ 13 分） 证明： 5 5 5 (1 ) ( 2 ) 132 ( 2 ) ( 2 )i i i ii i i 2 分 设存在 ),( Rbabiaz 满足要求，则 biaz 3 分 2 (1 ) (1 )z i z i z 22( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )i a b i i a b iab ibaba )(2)( 22 7 分 原方程化为： iibaba 31)(2)( 22 2212 2 3abab10 04532 2 aa 12分 0145243 2 ）（ 方程 无解 1
11、3 分 从而原方程在复数范围内无解 14 分 19（ 14 分） 猜想： 43)30c o s (s i n)30(c o ss i n 22 证明： 0 0 02 2 0 0 1 c o s 2 1 c o s (6 0 2 ) s i n ( 3 0 2 ) s i n 3 0s i n c o s ( 3 0 ) s i n c o s ( 3 0 ) 2 2 2 0 0c o s ( 6 0 2 ) c o s 2 1 11 s in ( 3 0 2 ) 2 2 2 00 02 s in ( 3 0 2 ) s in 3 0 1 11 s in ( 3 0 2 ) 2 2 2 003
12、1 1 3sin( 30 2 ) sin( 30 2 )4 2 2 4 20.（ 14 分） （ 1）解：如图 以 O 为原点， AB 所在的直线 为 X轴，建立平面直角坐标系， 则 F（ 2， 3），设抛物线的方程 是 )0(22 ppyx 因为点 F 在抛物线上，所以 32,322 2 pp ， 所以抛物线的方程是 yx 342 6分 (2) 解：等腰梯形 ABCD 中 ,AB CD，线段 AB的中点 O是抛物线的顶点， AD， AB， BC 分别与抛物线切于点 M， O， N xy 23 ，设 ),( 00 yxN ， )0( 0x ，则抛物线在 N处的切线方程是 )(23000 xxx
13、yy ，所以 )3,24(),0,21( 0200 xxCxB ， 8分 梯形 ABCD的面积是 ,262)2(3)42(233)4(21m i n000000200SxxxxxxxxS时，当且仅当 12分 答：梯形 ABCD的下底 AB= 2 米时，所挖的土最少 .14分 D E F C M N A B x y O 221.( 1 ) ( ) 1 0 0 ( ) 0 1 222. 2212 2 l n 2 2 , ( ) 2 1 . ( ) 0 1 ,1122 1 , 1 2f x xxx x x h x x h x xx xy axxaa 2在 （ ， 1 ） 上 恒 成 立 得 2 ； 同 理 g 在 ， 上恒 成 立 得 所 以 ；（ ） h(x)=x 令 得列 表 易 知 h(x) 在 x=1 处 取 最 小 值 0 ；（ 3 ） g(x) 在 0 ， 1 上 单 调 递 减 ， 其 最 小 值 为 ， 令 易 证 它 在 区 间0 ， 1 上 单 调 递 增 ， 其 最 大 值 为 所 以 1 , 1 , 1 1.aa 又 故
