柯西法在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例6 设f(x)连续且不恒为0，求函数方程f(x+y)=f(x)f(y)的解解：f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)0若存在x0R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有f(x)=f(xx0+x0)=f(xx0)f(x0)=0这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)0对题设f(x+y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)令g(x)=f(x)f(x)0且连续 g(x)连续且满足g(x+y)=g(x)+g(y).由定理知：g(x)=g(1)x故 f(x)=xf(1)f(x)=exf(1)=f(1)x令f(1)=a，则f(x)=ax (a0)类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1） 若f(xy)=f(x)+f(y) (x0,y0),则f(x)=ax（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=ux(
