1、1南开大学 2008 年数学分析考研试题一计算题1求极限 。21limln()xx2求和 。1n3已知 ，求 ？1fxfxf4设 ，则 ？2ln6txde5设区域 ，求 。1,20,yxDDxyd二设 ， ，证明数列 收敛，并求其极限。1x1nn(,) n三设 ，并且 ， ，使 ，证明baCf,baxy,xfyf21，使得 .,0f四设 在 一致连续，且广义积分 收敛，求证 。xf, ()afxd0limxfx五设 在 上可微，对任意 ， ， ，(),0ff其中 ，任取实数 ， ， ，10m0a1ln()f2,)证明级数 收敛。11|n六证明函数项级数 ， （1）在 上收敛，但不一致收敛；1n
2、xfe,0（2）和函数 在 上任意次可导。xf,0七作变换 ， ， ，将方程 变换为 关于自变量yuvwxzy2zyxw方程。,v八求由曲面 将球体 分成两部分的体积之比。224xyaz224xyza九、设 是 上具有二阶连续导数的正函数，且 ， ，()f0,)()0fx(,)2在 上有界，则 。()fx0,)lim()0xf南开大学 2008 年数学分析考研试题解答一、1、解 21liln()xx21liln()x；200l()imli2t ttt0lim(1)2t2、解 1n1(n1()2n 11 22nn；11 2knk43、解 由已知 ，fxf得 ，把上式代入，()1有 ()1fxfx
3、xf，22()，2221()1xxf所以 ln()arctnf xC4、解22l 2l 2ln()(arcsi)|61t txt txxdeee，ln222arcsiarcsiri6， ，2ri3xe2x所以 。4lnlx35、解、由区域 关于设区域 轴对称，被积函数关于 是偶函数，所以Dxy02,1Dxyxyddy1200yy x13322()dd。512044|y52|1二、证明 显然有 ， ， ;2x6n(3,4)11 11| | |6n nnnxx ， ；1|26n(3,4)从而 是压缩型迭代序列,nx于是得 是收敛的，设 ，显然 ；Axnlim6在 两边，令 取极限得到 ，所以 ；6
4、1nnx 3A故 .lim3三、证明 方法一 由条件可知,任取 ,存在 ,满足 ,存1xab2xab21|()|()|fxf在 ,满足 ,这样继续下取,得到存在 ,满足3xab32|()|()|fxfn;进而 ;存在 子列1|()|,2nnf 1|()|()|,)2nfxfx nx及 ,使得 收敛于 ; 在利用 在 处连续及kx0kx0 (f0,即得 , ,结论得证.1|()|()|kknff|()|f0()fx方法二 由于 在 上连续,设 ,利用条件可知,对任意 ,xabmin|axbf xab存在 ,满足 ,从而由 , ;yab|()|()|2fyf1|()|2,)xab进而有 , ;存在
5、 ,使得 ;结论得证.12m00x0f4四、证明 由 在 上一致连续，得，对 ， ，f),aI 0当 ，且 时，便有 ；x21, |21x|)()|21xff由于 收敛，则有 ，由积分平均值定理，存在dfa)( (lim)1(dxn，使得 ，于是有 ，,nn ffn) 0)(limnnf对上述 ，存在 ，当 时，便有 ；0*N|f取 ，对任意 ，必存在正整数 ，使得 ，NMMxN)1(,x，故得 .2|)(|)()|)(| mmfffxf 0)(lifx五、证明 设 ，由题设条件，知 连续、可导，且 ，lnFfx()F()|fxFm从而 ， ，就是熟知的压缩迭代列，11l()()nnnafa,
6、2)1212| |(|nFFa，2|nm从而 11120|nnaam由于 ， 收敛，0101|n故级数 收敛。11|na六、证明 设 ，()nxnue因为 ，所以 在 上收敛；1|()|limxnnxne1(0,)任意 ，当 时，有 ，0,)|()|nnuxe而 收敛，所以 在 上一致收敛；1nnenxne1,不趋向于零，0sup|()|nx所以 在 上不一致收xne10,)敛；5对任何 ，),0(0Ix存在 ，使得0x显然， 在 上一致收敛，nxne1),在 上连续，nxnxf1)( ),在点 处连续。)(fI0由于 是 上的任意点，所以函数 在 上连续。0xIf ),0(I（2） ， ，(
7、)1)kknxnue(1)1|kknxue对每一正整数 ，显然 在 上内闭一致收敛，()1kn(0,)且 在 上连续， ；()()1kknfxux(,)(0,12)k故 在 上有任意阶的连续导数。()f0,)七、解 ，求偏导数，并求复合函数的偏导数，代入计算，适当化简，即得。wyzx， ，1yy1yyx，yuv2()u2 23()()()yuuuvuxxwwwyyy，23()()uu6八、解 球体 为 ，224xyza222()(xyza球体的体积 ；33()V两曲面的交线为 ，22,zxy设 ，(,):3Dxya222214(4()aVxyd232201()adrar34201)()|a，33972a397236，16V所以 。237九、 证明 先证 存在，由 ， ，可知 在lim()xf()0fx(,)()fx上是单调递减的，且有下界为 0，根据单调有界原理， 存在，(0,)limxf由 在 上有界，可知 在 上一致连续，fx(0,)()fx,)我们已经知道，若 存在， 在 上一致连续，必有li(xfa，lim()xf结论得证。
