1、一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合 ， ，则 （ ）|10Ax2|0BxRACB. . . .0,)B(,5C(,D5,)2、若实数 满足 （ 为虚数单位） ，则 （ ）a2iia. . . .A1B123、甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ，且两人是否获得一等奖相互独立，则两人中恰有一个人获234得一等奖的概率是（ ）. . . .A4BC57D124、若 ，则 的值为（ ）1sin()632cos(). . . .1393795、上海浦东新区
2、2008 年生产总值约 3151 亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为 ，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过 8000 亿元人民币？0.5%某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图 1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是（ ）. . . .AabBabC()nabDnab6、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图 2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是（ ）.消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米A. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
3、B.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油 C. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车D更省油7、平行四边形 中， ， ， ，点 在边 上，则ABCD21AD1BMCD的最大值为（ ）M. . . .231028、函数 在区间 内是增函数，则（ ）()sin)(,)fx(,)4. . . .A4B2fx的 周 期 为 C4的 最 大 值 为 D3()04f9、已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，DACO， ，若三棱锥 体积的最大值为 2，则球 的表面积2B2DABO为（ ）. . . .A895312910、已知双曲线 的右焦点
4、为 ，右顶点为 ，过 作21(0,)xyab(,0)FcAF的垂线与双曲线交于 两点，过 分别作 的垂线，两垂线交于FBC、 B、 ACB、点 ，若 到直线 的距离小于 ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ Dc）. . A(,1)(,)(1,0),. .C2D2()11、如图 3，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）. . . .A5B6C5035312、已知 都是定义域为 的连续函数。已知：()fxg、 R满足：当 时， 恒成立； 都()g0()0xxR有 . 满足： 都有 ；当()xf (3)()ff时， .若关于 的不等式 对3,x3()fx
5、x2()gfxa恒成立，则 的取值范围是（ ）2,a. . . .ARB133,42C0,1D(,01,)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13、 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 . 5()2xa14、已知椭圆 的左右焦点是 ，设 是椭圆上一点，21(0)yab12F、 P在 上的投影的大小恰好为 ，且它们的夹角为 ，则椭圆的离心率 为 . 12FP1P6e15、若平面区域 夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的302xy距离最短时，它们的斜率是 . 16、在 中， 且 ， 边上的中线长为 ，则 的ABC621sincoCB7ABC面积是 .三、解答题：解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， .nanS12a1()(1)nnSnN（1） 求证：数列 为等差数列，并求数列 的通项公式；nna（2） 设 ，求数列 的前 项和 .13()nnbaAnbnT18、 （本小题满分 12 分）如图 4，多面体 中，平面 为正方形，ABCDEFABCD， ， ，二面角 的余2AB35E弦值为 ，且 .5/EFBD（1） 证明： ACE平 面 平 面（2） 求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 .19、 （本小题满分 12 分）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 与尺
7、寸()yg之间近似满足关系式 （ 为大于 0 的常数）.按照某项指标测定，()xmbycxA、当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品. 现随机抽取 6 件合格产品，测(,)97e得数据如下：尺寸 ()x38 48 58 68 78 88质量 yg16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量与尺寸的比 x0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290（1） 现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望；（2） 根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：61(ln)iiixyA61(ln)iix61
8、(ln)iiy621(ln)iix75.3 24.6 18.3 101.4（i）根据所给统计量，求 关于 的回归方程；yx（ii）已知优等品的收益 （单位：千元）与 的关系为 ，则当zxy， 20.3zyx优等品的尺寸 为何值时，收益 的预报值最大？x附：对于样本 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘(,)1,2)ivun ubvaA估计公式分别为： ， ， .1122()nnii iii iivuvub aubv2718e20、 （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，直线 交 于 两点.2:(0)CxpyFlCAB、（1） 若直线 过焦点 ，过点 作 轴的垂线，交直线 于点 ，求证
9、：点lFBxOM的轨迹为 的准线；M（2） 若直线 的斜率为 1，是否存在抛物线 ，使得 的斜率之积、，且 的面积为 16，若存在，求 的方程；若不存在，说2OABkA明理由.21、 （本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 .22()lnfxxa0a（1） 设 是 的导函数，讨论 的单调性；gf ()gx（2） 证明：存在 ，使得 恒成立，且 在区间 内有(0,1)f()0fx(1,)唯一解.22、 （本小题满分 10 分）选修 ：坐标系与参数方程4在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 . 以坐标xOy1C2cos()inxy为 参 数原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
10、的极坐标方程为2C.4cos（1） 求曲线 的极坐标方程；1C（2） 射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点（异于原点 ） ，定点(0)31C2ABO，求 的面积.,)MAB23、 （本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲45已知函数 ()2fxa（1） 若 ，求不等式 的解集；1()30fx（2） 关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.x a理科数学参考答案及评分标准第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B D B B D A C D B
11、 C D第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4小题，每小题5分。题号 13 14 15 16答案 4031或213说明：15 题只答一个数不给分（即得 0 分）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）（1）法一： nN， 21()nnS 1S -2 分又 12a 数列 nS是首项为 2，公差为 1 的等差数列 -3 分 2(1)n，即： 2nS -4 分当 时， 1nnaS， 当 n时， 1 N， 2n -6 分法二： 1()()nQ，(S即 1
12、(1)naS故 2()(2)n-得： 1(1)na化简得： -2 分21又由可知 ，即S21是首项为 2，公差为 2 的等差数列， -3 分na-4 分1()n， -5 分nS1()(1)Q是首项为 2，公差为 1 的等差数列. -6 分n（2）法一：解：由（）得： 13()2nnb设数列 13n的前 项和分别为 A，则 312n-7 分记 ()2c，数列 nc的前 项和为 nB当 kN时， 21(21)4kk，则 2k当 1)n时， Bc ,()B -11分32,1(),nkTN-12 分法二：由（1）知 13()2nnb设 ， 23()()46(1)2nnA 则 24 - 得 -8 分2
13、11()()nn (1)()nnn -10 分(1)2nA又 ， -11 分01(3)133()2nnnnB ， -12()2)nS分法三：由（1）知：由（1）知 13()2nnb-8 分1()2()2)(nnQ32()nAL(3)5(7)12(1) -10 分121n又 ，-11 分0 (3)33(1)2nnnnB -12 分(1)2)nSA18（本小题满分 12 分）（1）证明： D， 3E， 5，由勾股定理得： ADE -1 分又正方形 ABC中 ，2 分且 E， 面 C -3 分DC面、 D面 ，平面 平面 E -4 分（注：第（1）只有一种证明方法，必须前面两个线线垂直 ADE和AC
14、都出现，下面的 3、4 分才能给分，只写一个，本题只给 1 分。 上面一个垂直各占 1 分。 ）（2）解：由（）知 EC是二面角 AC的平面角 5 分作 O于 ，则 cos1ODE， 2O 由平面 B平面 ，平面 B平面 ， 面ED得：面 A -6 分 （第 6 分给在 OE=2 上，如果后面 E 的坐标写对，也可给这 1 分）如图，建立空间直角坐标系，则 (2,10)、 (,)B、 (0,1)D、 (0,2) (2,1)AEEF的一个方向向量 2 -7 分设面 A的一个法向量 (,)nxyz，则 20nxyzDB， 8 分取 x，得： -9 分)3,(（注：其他法向量坐标可按比例正确给，比如
15、 之类，也是正确的）)23,1(又面 EDC一个法向量为： (1,0)m -10 分 27cos,n-11 分设面 AEF与面 C所成二面角为 ，由 为锐角得： 217cos,nm-12 分（注：最后需要根据条件作答案为“正值”的说明，只算法向量答案，不做文字说明，扣 1 分。 ）（第（2）问解法 2） （ ）7 分DBEF/ )0,2(B设面 A的一个法向量 nxyz，则 8 分02xFnzy令 ，得 ， 9 分 （后面步骤相同）2x)3,(（第（2）问解法 3）以 D 点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐标一样。（第（2）问解法 4：几何法）连结 BD，延长 CB 至 G，使得 GB
16、=BC=2 ， 连结 GA 并延长交 CD 的延长线于 H，连结 EH过 C 作 的延长线于点 K，连结 BK 5 分HEKB 为 CG 中点，AB/CD A 为 GH 中点， HD=CD=4BD/GH GH/EF， H、A、G、E、F 共面 6 分由（1）知 又 D面BHBCKGKC面 为所求二面角的一个平面角 8 分KC 而132EOHCRtOEt 9 分 10 分 13742GK 11 分172KGCGHK 为锐角 面 AEF与面 DCGKC所成二面角的锐角余弦值为 12 分17219（本小题满分 12 分）（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 ,97e内，即0.32,.8yx则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，3 件为非优等品 -1 分现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数 -0,123-2 分， ， (算对两个给 1 分)0361()2CP12369()0CP， -3 分1369()036()2的分布列为123P1209209010-4 分-5 分193()02E（2）解：对 （ ）两边取自然对数得 ，bycx,0lnlnycbx令 ，得 ，且 ， -6 分ln,liiivuubva（ ）根据所给统计量及最小二乘估计公式有，-7 分1 2275.34618.0.710542niivb
