1、第六届中国水利水电岩土力学与工程学术会议推荐论文无充填周期性裂缝岩体的等效渗透系数舒付军，涂 园，符文熹 *(四川大学 水力学与山区河流保护国家重点实验室 水利水电学院，四川 成都 610065)摘 要：为了研究无充填周期性裂缝岩体的渗流特性，建立了地下水流动分析模型，该模型假定裂缝和岩石交界面流速相等且剪应力连续。根据分析模型的边界条件，耦合 NavierStokes 方程和 Brinkman-extended Darcy 方程，推求出裂缝和岩石中水流的流速分布。结合线性 Darcy 定律，推导出无充填周期性裂缝岩体沿裂缝方向等效渗透系数的理论表达，该表达式揭示裂缝开度对等效渗透系数起控制作
2、用。为进一步验证理论模型推求的成果，研制试验装置开展渗流试验。试验时用浇筑混凝土模拟岩石，用混凝土间缝隙模拟岩石裂缝。测得的平均渗透系数和理论计算得到的等效渗透系数在同一量级，且相差很小。试验结果验证了所推求等效渗透系数表达式的正确性和可靠性。关键词：无充填周期性裂缝；等效渗透系数；NavierStokes 方程；Brinkman-extended Darcy 方程；渗流试验中图分类号： 文献标识码：AEquivalent Permeability Coefficient of Rock Mass Containing Periodic Fractures without FillingSHU
3、 Fu-jun, TU Yuan, FU Wen-xi*(State Key Lab. of Hydraulics and Mountain River Eng., School of Water Resource equivalent permeability coefficient; NavierStokes equation; Brinkman-extended Darcy equation; seepage tests受成岩作用、地质构造作用和浅表生地质作用等影响，天然岩体通常含有大量裂缝。岩体中的裂缝是地表水与地下水水力联系的重要通道，其渗流特性对研究裂缝岩体的水力特性具有重要的意义
4、。单裂缝是构成岩体裂缝网络的基本元素，研究裂缝的渗流基本规律是岩体水力学的基本任务 1。以平行平板间的粘性不可压缩层流为研究对象，假设边界条件为无滑移，可推导出开口立方定理 2。然而，岩石裂缝通常难以满足平行平板间裂缝的假设。一些学者通过试验研究，对立方定理进行了修正，提出了修正后的立方定理 1。文献3和4 分别分析了渗流对单个裂缝岩体产生的力学作用和岩体单个裂缝的力学性质，并得出了裂缝所受的三维应力与渗透系数的关系式和粗糙单裂缝分形等效渗透系数的计算公式。文献5 基于裂缝局域收稿日期：基金项目：国家重点基础研究发展计划（973 计划）项目（2015CB057903） ；四川省科技计划专项（2
5、014SS027 ） ；国家级大学生创新创业训练计划（201610610075） 。作者简介：舒付军（1992） ，男，硕士研究生。研究方向：岩石力学与工程。E-mail：。*通信联系人：E-mail：wxf_ 。网络出版时间： 网络出版地址：立方定理成立的假定，考虑裂缝岩块间拟稳态水交换，建立了单裂缝非饱和渗流数值分析模型。文献6 和7分别建立了 DarcyStokes 耦合数学模型和离散缝洞网络宏观流动数学模型，并推导得到了单裂缝多孔介质的等效渗透率张量表达式和缝洞型介质等效渗透率张量的理论求解公式。文献8分析了低渗透孔隙-裂隙介质气体渗流实验结果，建立了低渗透孔隙-裂隙介质气体非线性渗流
6、运动方程。文献9基于裂隙网络渗流理论和数值流形理论，提出了裂隙岩体温度-渗流耦合的数值流形方法。文献10建立了裂隙岩体在雾化雨入渗下的饱和-非饱和渗流数学模型，对裂隙岩体岸坡进行了雾化雨入渗的数值分析。文献 11通过分析裂隙岩体渗流优势水力路径的形成机理及编制相应的分析程序，研究优势水力路径的主要表现形式及其应力相关性。文献 12和 13简要综述了国内外关于岩体裂缝渗流特性的研究成果，并进行相应的分析和讨论，提出试验研究在岩体裂缝渗流特性方面具有不可替代的作用。根据上述文献可以看出，岩体中裂缝的渗流均是以经典的线性 Darcy 定律为基础，且裂缝中的水流与岩石中的渗流相互作用考虑较少。基于此，
7、本文对无充填周期性分布裂缝岩体的地下水流动进行分析，推导出等效渗透系数的理论表达式。在讨论影响等效渗透系数的主要因素基础上，研制渗透试验装置开展物理模拟试验，以验证所推求的等效渗透系数计算公式的正确性和可靠性。1 理论分析1.1 分析模型假设岩体中贯通性裂缝呈周期性分布。选取其中周期性分布的部分建立模型进行分析。分析模型如图1 所示，建立平面直角坐标系 xoy。 xyHbHLvx uxux图 1 地下水流动分析模型Fig. 1 An analysis model for groundwater flow分析模型取 x 方向岩石和裂缝长度 L，y 方向岩石厚度 2H，裂缝开度 2b，坐标原点 o
8、 位于裂缝中部。沿 x 方向，岩石中流体的局部平均流速为 ux，裂缝中流体的局部平均流速为 vx。岩石孔隙率为 n，渗透率为 K。严格意义上讲，天然流体的运动属于三维空间运动，影响因素非常复杂。为方便研究，进行以下假设：a.流体为 Newton 流体，为充分发展的层流；b.流体的运动仅限制在 xoy 平面内沿 x 方向运动，沿 y 方向的局部平均流速为 0；c.岩石基质均匀；d.裂缝壁平直，沿 x 方向无限延伸，沿 y 方向周期性分布；e.裂缝和岩石中的流体均不可压缩，均满足连续性方程；f.裂缝中流体的运动用 NavierStokes 方程描述，岩石中流体的渗流为非线性 non-Darcian
9、 流，用Brinkman-extended Darcy 方程描述 14。1.2 流速分布1.2.1 裂缝中流体的流速据 2.1 节的假设，裂缝中流体满足连续性方程和NavierStokes 方程。连续性方程写为：(1)0yxzvNavierStokes 方程（沿 x 方向）写为：221()xxvvPf yz(2)xxxxyzt式中：f x 为沿 x 方向的质量力(LT -2)； 为流体的密度(ML -3)；P 为沿 x 方向的压强(ML -1T-2)； 为流体的运动粘滞系数(L 2T-1)。由流体沿 y 方向和 z 方向的流速均为 0（即 vy = vz = 0） ，可得 vy / y = v
10、z / z = 0，并带入式(1) 得 vx / x = 0。x 方向流速 vx 在 z 方向不变，即 vx / z = 0。沿 x 方向， fx = 0，dP / dx = P / L。因流体为恒定流，可得v x / t = 0。将这些条件代入式(2)，化简得：(3)2dxvyL求解式(3)得：(4)212xPvyAL式中： 为流体的动力粘滞系数(ML -1T-1)， = ；P 为裂缝两端的压强差(ML -1T-2)；A 1 和 A2 为待求系数。1.2.2 岩石中流体的流速据 2.1 节的假设，岩石中流体也满足连续性方程，但是流体的运动用 Brinkman-extended Darcy 方
11、程。连续性方程写为：(5)0yxzuBrinkman-extended Darcy 方程 (沿 x 方向)写为：22xxuupnuKyz(6)xxxyz化简式(6)得：(7)2d0xuPnyKL求解式(7)得：(8)12eynynKxuC式中：n 为岩石孔隙率；K 为渗透率 (L2)；C 1 和 C2为待求系数；其余系数如前所述。1.2.3 A1、A 2、C 1 和 C2 的求解如图 1 所示，岩石中的局部平均流速 ux 和裂缝中的流速 vx 满足以下边界条件：a.在裂缝中间 y = 0 处，局部平均流速 vx 达到最大，即满足 dvx / dy = 0。b.在裂缝与岩体交界 y = b 处，
12、满足 Neal 和Nader 提出的交界面流速相等条件 16：裂缝中的局部平均流速 vx 与岩体中的局部平均流速 ux 相等，即 vx = ux。c.在裂缝与岩体交界 y = b 处，还满足 Neal 和Nader 提出的交界面剪应力连续条件 15，见式(9)。(9)d1xvnyd.在 y = b + H 处，因局部平均流速 ux 最小，则需满足 dux / dy = 0。将以上边界条件带入式(4)和式(8)可得 4 个方程。联立求解方程组，求得 A1、A 2、C 1 和 C2 见式(10)式(13)。(10)10A(11)222(e1)HnKPbPbKLL(12)12e(1)bnKHnC(1
13、3)22()HnKPL将式(10)和式(11)代入式(4) ，则可写出裂缝中流体的流速 vx，见式(14) 。将式 (12)和式(13)代入式(8)，则可写出岩石中流体的流速 ux，见式(15) 。2xPyL(14)22(e1)HnKbPbKL2ee(1)ynKxbnKHnPuL(15)2()bynKHnKPL 1.3 等效渗透系数1.3.1 x 方向的等效渗透系数 kxx 方向的平均流速 vA 可由式(16)计算。(16)A01dbbHxxvyu根据 Darcy 定律，可写出等效渗透系数 kx：(17)xki式中：水力坡度 i 由 i = h / L 求得；水头差h 可由P = h，为流体的
14、重度且 = g（取 g = 9.81m2/s） 。于是等效渗透系数 kx 的理论计算为：(18)0dbbHx xkvyu将式(14)和式(15)代入式(18) ，可写出 kx 的表达：22(e1)HnKxbk(19)32K由于式(19)中的 量级很大，可视为无穷大，2eHn则式(19)可化简为：(20)32xbknKbH分析式(20)可知，等效渗透系数 kx 主要受裂缝开度 2b 和岩石厚度 2H 的影响，且 裂缝开度是主要的起控制性作用。等效渗透系数 kx 随裂缝开度 2b 的增大而变大，随岩石厚度的增大而减小。另外，尽管岩石孔隙率 n 和渗透率 K 对等效渗透系数 kx 也有一定影响。但是
15、岩石渗透率 K 的量级很小。因此岩石孔隙率 n 和渗透率 K 对等效渗透系数 kx 的影响也很小。1.3.2 y 方向的等效渗透系数 ky本文主要讨论平行裂缝 x 方向的等效渗透系数kx。y 方向的等效渗透系数 ky 可由如下方法求得。由通过 y 方向的流量相等条件可得：(21)crq式中：q y、q c、 qr 分别为岩体、裂缝和岩石通过 y 方向的流量(L 3T-1)，q 可由 q = vA 求得，v 可由 v = ki求得。于是式(21)可写为：(22)crykiki式中：k y、k c、k r 分别为岩体、裂缝和岩石 y 方向的渗透系数(LT -1)，i y、i c、i r 分别为岩体
16、、裂缝和岩石y 方向的水力坡度。根据 y 方向总水头损失等于各层水头损失之和，可得：(23)cr22yhHbii将式(22)代入式(23) 得：(24)crykk式(24)中 kc 趋于无穷大，则式(24) 可化简为：(25)rybH式(25)与文献16给出的表达一致。由式(25) 可以看出，y 方向的等效渗透系数 ky 受岩石渗透系数 kr、裂缝开度 2b 和岩石厚度 2H 共同影响。2 试验验证2.1 试验方案选用粒径为 2.55 mm 的砂砾石浇筑混凝土模拟岩体，上下两块混凝土厚度均为 99 mm，两块混凝土之间预留 2 mm 的缝隙模拟岩体中的裂缝。为方便浇筑，采用我们研制的测试装置（
17、图 2）17。图 2 所示的渗流装置外框由有机玻璃板制成，内部尺寸长宽高 = 300 mm200 mm200 mm。装置表面左右侧各打两个孔，一个孔用来进出水，另一个孔用来安装测压管。浇筑混凝土时，在中间放置一块厚度为 2 mm、大小合适的不透水泡沫板。不透水泡沫板为不透水介质，移除后留下的缝隙（混凝土裂缝）用来模拟岩体裂缝。进 水 装 置集 水 装 置渗 流 装 置刻 度 尺 测 压 管混 凝 土 裂 缝 出 水 管进 水 管 205050992尺 寸 / m进 水 装 置混 凝 土 集 水 装 置渗 流 装 置刻 度 尺测 压 管泡沫板图 2 渗流试验装置Fig. 2 Test equip
18、ment of seepage2.2 结果与讨论试验测试内容包括混凝土渗透率 K、裂缝混凝土平均渗透系数 kA 和无缝混凝土孔隙率 n 的测定。2.2.1 混凝土渗透率 K 的测定先采用常水头法测定混凝土的平均渗透系数ka1，进而求出混凝土渗透率 K。如图 2 所示，本装置由进水装置、渗流装置和集水装置三部分组成。混凝土中的泡沫板视为不透水介质。待渗流稳定时，进行测量。记录开始时的时间t1 和左右两侧的测压管水头高度 h1、h 2，结束时的时间 t2 和集水装置中的水量 Q。根据式(26)求得渗透系数 k1。(26)LAht式中：Q 为流经混凝土的水量 (L3)；L 为混凝土渗径长度(L)；A
19、 为混凝土截面积(L 2)；h 为混凝土两端水头差(L)；t 为试验时段(T)。表 1 混凝土试验结果Table 1 Test results of concrete试验序号 混凝土渗径长度 L(cm) 混凝土截面积 A(cm2) 流经流量 Q(ml) 两端水头差 h(cm) 试验时段 t(s) 渗透系数 k1(cm/s)平均渗透系数ka1(cm/s)1 20 396 290 21 1200 5.81E-42 20 396 350 20 1500 5.89E-43 20 396 390 18 1800 6.08E-44 20 396 450 23 1500 6.59E-45 20 396 49
20、0 25 1800 5.50E-45.97E-4由表 1 可知，试验得到的平均渗透系数 ka1 = 5.9710-4 cm/s。试验时水温大约为 15 摄氏度，可相应查得 = 1.14410-3Pas。由式(27)计算得混凝土渗透率 K = 6.9710-13m2。此外，对于式(20)中的混凝土孔隙率 n 测得的均值 n = 3%。(27)k2.2.2 裂缝混凝土平均渗透系数 kA 的测定裂缝混凝土平均渗透系数 kA 的测定也采用常水头法。把前述渗流装置中的泡沫板移除，形成混凝土中的裂缝。试验结果如表 2。试验测得的平均渗透系数 kA = 3.32cm/s。表 2 裂缝混凝土试验结果Table
21、 2 Test results of concrete containing fractures试验序号 渗径长度 L(cm) 过水截面积 A(cm2) 流经流量 Q(ml) 两端水头差 h(cm) 试验时段 t(s) 渗透系数 k2(cm/s)平均渗透系数kA (cm/s)1 20 400 8000 4.7 25 3.402 20 400 8500 4.9 27 3.213 20 400 9000 4.5 28 3.574 20 400 9500 4.8 30 3.305 20 400 10000 5.0 32 3.133.322.2.3 结果比较根据以上测试的基本参数，代入式(20)得到的
22、等效渗透系数 kx = 2.86 cm/s。试验测得的平均渗透系数kA = 3.32 cm/s。显然，k x 和 kA 之间还存在一定的误差。分析试验条件，误差的原因可能包括试验无法分析模型中裂缝无限延伸的特性和边界无法模拟天然岩体的真实边界等。虽然试验测得的平均渗透系数 kA 比计算得到的等效渗透系数 kx 略大，但是这两者数值在同一量级，且差值并不大。3 结 论通过对无充填周期性贯通裂缝岩体渗流条件的理论分析，推求出等效渗透系数的表达式。分析发现沿裂缝方向的等效渗透系数主要受裂缝开度和岩石厚度的影响，且裂缝开度是最主要的影响因素；而岩石的孔隙率和渗透率对等效渗透系数的影响很小。用浇筑混凝土
23、模拟岩石、混凝土间的缝隙模拟裂缝进行无充填单个周期裂缝岩体的渗流试验，并比较试验测试的平均渗透系数和理论计算的等效渗透系数，发现二者在同一量级，相差很小，试验很好地验证了本文推求公式的正确性和可靠性。参考文献：1 Zhang Wenjie, Zhou Chuangbing, Li Junping, et al. Research progress of experimental study on seepage characteristic of fractured rock masses J. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(9):1517-1524. 张
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