高考江苏数学试题及答案解析版.docx

1、12016 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据 的方差 ，其中 12,nx 221niisx1nix棱柱的体积 ，其中 是棱柱的底面积， 是高VShh棱锥的体积 ，其中 是棱锥的底面积， 为高3一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1） 【2016 年江苏，1，5 分】已知集合 ， ，则 _1,236A|23BxAB【答案】 ,2【解析】由交集的定义可得 ,B【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题（2） 【2016 年江苏，2，5 分】复数 ，其中 为虚数单位，则 的实部是_12

2、i3ziz【答案】5【解析】由复数乘法可得 ，则则 的实部是 55iz【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（3） 【2016 年江苏，3，5 分】在平面直角坐标系 中，双曲线 的焦距是_xOy2173xy【答案】 210【解析】 ，因此焦距为 210cab210c【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础（4） 【2016 年江苏，4，5 分】已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_【答案】 0.1【解析】 ， x22220.430.40.1s【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题

3、，注意方差计算公式的合理运用（5） 【2016 年江苏，5，5 分】函数 的定义域是_2yx【答案】 3,1【解析】 ，解得 ，因此定义域为 20x 31 3,1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题（6） 【2016 年江苏，6，5 分】如图是一个算法的流程图，则输出 的值是_ a【答案】9【解析】 的变化如下表：,ab1 5 99 7 5则输出时 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答（7） 【2016 年江苏，7，5 分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 个点为正方体玩具）1,2345

4、,6先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是_【答案】 6【解析】将先后两次点数记为 ，则共有 个等可能基本事件，其中点数之和大于等于 10 有,xy632六种，则点数之和小于 10 共有 30 种，概率为 4,65,6,45,6 3056【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用（8） 【2016 年江苏，8，5 分】已知 是等差数列， 是其前 项和若 ， ，则 的值是nanS21a51S9a_【答案】20【解析】设公差为 ，则由题意可得 ， ，解得 ， ，则d213d150ad143d948320a【点评】本题考查等差数列的

5、第 9 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用（9） 【2016 年江苏，9，5 分】定义在区间 上的函数 的图象与0,3sin2yx的图象的交点个数是_cosyx【答案】7【解析】画出函数图象草图，共 7 个交点【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数 与 在区sin2yxcosyx间上的图象是关键，属于中档题0,3（10） 【2016 年江苏，10，5 分】如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆OF21xyab的右焦点，直线 与椭圆交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率是2y,BC90B_【答案】 63【解析】由题意得 ，直线 与椭圆方程联立可得 ， ，由

6、可得,0Fc2by3,2abB3,2abC90BFC， ， ，则 ，由 可得BC3,a ,CFc 104c22ac，则 2314ca6ce【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查化简整理的运算能力，属于中档题（11） 【2016 年江苏，11，5 分】设 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 上fxR1,10,2xaxf其中 ，若 ，则 的值是_R592ff5fa【答案】 25【解析】由题意得 ， ，由 可得 ，12ffa9121250ff 592ff120a则 ，则 35a33faff-11Oy xFCBOyx3【点评】本题考查的知识点是分段函数的

7、应用，函数的周期性，根据已知求出 a 值，是解答的关键（12） 【2016 年江苏，12，5 分】已知实数 满足 则 的取值范围是_,xy240,3,yx2xy【答案】 4,13【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下： 为可行域内的点到原点距离的平方2xy可以看出图中 点距离原点最近，此时距离为原点 到直线 的距离，AA20xy，则 ，图中 点距离原点最远， 点为2541d2min45xyBB与 交点，则 ，则 0xy302,32max13【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键（13） 【2016 年江苏，13，5 分】如图，在 中， 是 的中点，

8、是 上两个三等分AC D,EFAD点， ，则 的值是_4BAC1FBE【答案】 78【解析】令 ， ，则 ， ， ，则 ， ，DabDCb2a3A3Bab3CAab， ， ， ，则 ，2E2aFb29，BFCb，由 ， 可得 ， ，因此 ，4 4BA 1294a21ab2513,8ab因此 251378Eab【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档（14） 【2016 年江苏，14，5 分】在锐角三角形 中， ，则 的最小值是ABCsin2isnBCtantABC_【答案】8【解析】由 ， ，sinisinsincoiAiis可得 （*） ，由三角形 为锐角三

9、角形，则 ，co2BCAcos0,在（*）式两侧同时除以 可得 ，coBCtatn2tanBCB又 (#)，tatta1则 ，由 可得nnt1tAtttaC，令 ，由 为锐角可得22atattBBCCtanBt,AB，0,n0由(#)得 ，解得 ， ， 1ta1t2tt1tACt，由 则 ，因此 最小值为 ，224ttt204ttanAB8当且仅当 时取到等号，此时 ， ，anB2解得 （或 互换） ，此时 均为锐角tan,tan,tBCAt,C,C【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性FEDCBAxyBA1234234342344二、解答题：本大题共 6 小题，

10、共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15） 【2016 年江苏，15，14 分】在 中， ， ， ABC 64cos5BC（1）求 的长；AB（2）求 的值cos6解：（1） ， 为三角形的内角， ，即： 453sin5BsinCiAB6325A52AB（2） ， ，又 为三角形的内角，cossincosACBCco10，7in1031726coscosin620A【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题（16） 【2016 年江苏，16，14 分】如图，在直三棱柱 中， 分别为 的中点，1ABC,DE

11、,ABC点 在侧棱 上，且 ， 求证：F1B1DF11（1）直线 平面 ；/EAC（2）平面 平面 11解：（1） 为中点， 为 的中位线， ，又 为棱柱，,DB/EAC1BAC1/A，又 平面 ，且 ， 平面 11F1DF/1F（2） 为直棱柱， 平面 ， ，又 ，1BCA11且 ， 平面 ， 平面 ，又 ， 平面1,11 /DE，1又 平面 ， ，又 ， ，且 平面 ，1AF1B1E1AB1E1,B1DE平面 ，又 ， 平面 平面 D1FCDACF【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大（17） 【2016 年江苏，17，14 分】现

12、需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 ，下部分的形状是正四棱柱 （如图所示） ，并要求正四棱柱1PABC 1AB的高 是正四棱锥的高 的 倍O1PO4（1）若 ， ，则仓库的容积是多少；6m2（2）若正四棱锥的侧棱长为 ，当 为多少时，仓库的容积最大？61解：（1） ，则 ， ，1P1823164m33PABCDABVSPO=， ，故仓库的容积1 28mABCDABCDVS=112CDABCDV为 32（2）设 ，仓库的容积为 ，则 ， ， ，1mOx()x14x216x2136mABx，233177243PABCDABSP，1 28mCVxx=O1PODCBADC1B

13、1A1FEDCBAC1B1A15， 11 33322648106=PABCDABCDVxVxxxx，当 时， ， 单调递增，22636060,V当 时， ， 单调递减，因此，当 时， 取到最大值，,即 时，仓库的容积最大1mO【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档（18） 【2016 年江苏，18，16 分】如图，在平面直角坐标系 中，已知以 为圆心的圆 ：xOyM及其上一点 2460xyxy2,4A（1）设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线 上，求圆 的标准方程；NMN6N（2）设平行于 的直线 与圆 相交于 两点，且 ，求直线 的方程；Al,BC

14、Al（3）设点 满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范,Tt PQTPQt围解：（1）因为 在直线 上，设 ，因为与 轴相切，则圆 为 ，6x,Nnx226xyn，又圆 与圆 外切，圆 ： ，则 ，解得 ，0n 22675751即圆 的标准方程为 N221y（2）由题意得 ， 设 ，则圆心 到直线 的距离 ，25OAOAk:lxbMl275bd则 ， ，即 ，225BCd5BC252b解得 或 ，即 ： 或 5b1lyx1yx（3） ，即 ，即 ， ，又 ，TAPQTAPQTAP24t10PQ即 ，解得 ，对于任意 ，欲使240t 2,2t,2，此时 ，只需要作直线 的平行线，

15、使圆心到直线的距离为 ，必然与圆交于1TATA254TA两点，此时 ，即 ，因此对于任意 ，均满足题意，PQ、 PQ21,t综上 2,21t【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用（19） 【2016 年江苏，19，16 分】已知函数 0,1,xfabab（1）设 ， 2a1b求方程 的根；fx若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值；R26fxmf m（2）若 ， ，函数 有且只有 1 个零点，求 的值01abgab解：（1） ，由 可得 ，2xxff 2x则 ，即 ，则 ， 0210xx0y

16、xOMA6由题意得 恒成立，令 ，则由 可得 ，21126xxm 12xt20x12xt此时 恒成立，即 恒成立 时 ，当且仅当26tt24tt t 44tt时t等号成立，因此实数 的最大值为 （2） ， ，由 ， 可得2xgxfablnlnlxxxxabgab01ab，1ba令 ，则 递增，而 ，因此 时 ，lnxbahhxln0,lab0lnlogbax0hx因此 时， ， ，则 ； 时， ， ，0,0bgx,lnab则 ；则 在 递减， 递增，因此 最小值为 ，gxg,0,0 若 ， 时， ， ，则 ； logb2 时， ，0lo2axlog2axxxx， lo2bx则 ；因此 且 时，

17、 ，因此 在 有零点，1la101g10,x且 时， ，因此 在 有零点，2lgb20x2xx02,则 至少有两个零点，与条件矛盾； 若 ，由函数 有且只有 1 个零点， 最小值为 ，可得 ，0g0x0gx由 ，因此 ，因此 ，即 ，即 ，02gab0xlnlogbaln1ablnb因此 ，则 ln【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力（20） 【2016 年江苏，20，16 分】记 对数列 （ ）和 的子集 ，若 ，定义1,20U na*NUT；0TS若 ，定义 例如： 时， 现设 （12,ktt 12kTttt

18、Saa 1,36T136TSana）*nN是公比为 的等比数列，且当 时， 3,430TS（1）求数列 的通项公式；na（2）对任意正整数 （ ） ，若 ，求证： ；k10 1,2k 1TkSa（3）设 ， ， ，求证： CUDCDS CD解：（1）当 时， ，因此 ，从而 ， ,4T24293Taa23a2131n（2） 112 113kkkSa （3）设 ， ， ， ， ， CADBABCADSBCDS，CDS因此原题就等价于证明 由条件 可知 2AS D 若 ，则 ，所以 0BB 若 ，由 可知 ，设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ， lm若 ，则由第小题， ，矛盾因为 ，所以 ，所以

19、1ml 1AlmBaS ABl7，1lm，即 2112 31322mlABm aSSaa 2BS综上所述， ，因此 ABS CDS【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述数学【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A ） 【2016 年江苏，21-A，10 分】 （选修 4-1：几何证明选讲）如图，在 中，ABC， ， 为垂足， 是 中点，求证： 90EBCED解：由 可得 ，由 是 中点可得 ，则 ，B90 12由 可得 ，

20、由 可得 ，因此 ，DCDBC90A90ABDC又 可得 EE【点评】本题考查三角形的性质应用，利用C+DBC=ABD+DBC=90，证得ABD=C 是关键，属于中档题（21-B） 【2016 年江苏，21-B，10 分】 （选修 4-2：矩阵与变换）已知矩阵 ，矩阵 的逆矩阵120A，求矩阵 120BAB解： ，因此 114202 152400【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题（21-C） 【2016 年江苏，21-C，10 分】 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 中，已知直线xOy的l参数方程为 ，椭圆 的参数方程为 ，设直线 与椭圆 相交1,

21、23,xty为 参 数 Ccos,2inxy为 参 数 lC于 两点，求线段 的长,ABAB解：直线 方程化为普通方程为 ，椭圆 方程化为普通方程为 ，l 30xy214yx联立得 ，解得 或 ，因此 23014xy1y78x 221836077AB【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题（21-D ） 【2016 年江苏，21-D】 （本小题满分 10 分） （选修 4-4：不等式选讲）设 ，0a， ，求证： 13ax23ay24xya解：由 可得 ， x23ay【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及

22、不等式的简单性质，考查运算能ECB8力，属于基础题【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分请把答案写在答题卡的指定区域内（22） 【2016 年江苏，22，10 分】如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 ，xOy:20lxy抛物线 2:0Cypx（1）若直线 过抛物线 的焦点，求抛物线 的方程；l C（2）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 和 lPQ求证：线段 上的中点坐标为 ；PQ2,p求 的取值范围p解：（1） ， 与 轴的交点坐标为 ，即抛物线的焦点为 ， ， :20lxylx,02,02p28yx（2） 设点 ， ，则： ，即 ， ，1,P2,Qy211y

23、px212yx1212PQykyp又 关于直线 对称， ，即 ， ，,lPQk12yp12又 中点一定在直线 上， ， 线段 上的中点坐标为P12xP；2,p 中点坐标为 ， 即 ，2,p124ypx12284yp，124yp即关于 有两个不等根， ， ， 2240yp02240pp4,3【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力（23） 【2016 年江苏，23，10 分】（1）求 的值；3467C（2）设 ， ，求证：*,mnN21213CC1mmmmnnn 解：（1） 346705（2）对任意的 ，* 当 时，左边 ，右边 ，等式成立，nm2m 假设 时命题成立，即 k， 21211C23CC1m mkkk 当 时，左边=2 13C2mmm mkk ，21kk右边 ，而231mk 23 3!1 1kk 1!122C!mkkmk因此 ，因此左边=右边，因此 时命题也成立，2 2131CCmmkkk n综合可得命题对任意 均成立nClyxO9另解：因为 ，所以11Cmmkk左边 12Cmn 112Cmmn又由 ，知1kknn，2 1211111 2C Cmmmn n n 所以，左边 右边【点评】本题考查组合数的计算与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数公式和数学归纳法的合理运用