1、二、极坐标系【基础知识导学】1 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点 M 在极点时，它的极坐标 可以取任意值。,02 平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对 只能与一个点 P 对应，但一个点 P 却可以与无数多个有序),(实数对对应 ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标,不是一一对应的。),(3 极坐标系中，点 M 的极坐标统一表达式 。),(Zk),2,(4 如果规定 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标 表20 ),(示，同时，极坐标 表示
2、的点也是唯一确定的。),(5 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：极点与直角坐标的原点重合；极轴与 X 轴的正方向重合；两种坐标系中取相同的长度单位。（2） 互化公式 ， 。sincoyx0,ta22xy【知识迷航指南】【例 1】 在极坐标系中，描出点 ，并写出点 M 的统一极坐标。)3,2(【点评】点 的统一极坐标表示式为 ，如果允许 ，还可以)3,2(M)32,(k0表示为 。1kO M X【例 2】已知两点的极坐标 ，则|AB|=_,AB 与极轴正方向所成)6,3(2,BA的角为_.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,AOB=60 0,即AOB 为等边三角形,所以|AB
3、|=|AO|=|BO|=3, ACX= 65【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果.【例 3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1) ,(43)R(2) cos2sin【解】(1)根据极坐标的定义,因为 ,所以方程表示直线.xy即,43tan(2)因为方程给定的 不恒为 0,用 同乘方程的两边得: cos2sin2化为直角坐标方程为 即 ,这是以(1, )为,22xyx45)1()(2y1圆心,半径为 的圆. 5【点评】若没有 这一条件,则方程表示一条射线.R极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘 ,使之出现 2是常用的方法.【解题能力测试】
4、1已知点的极坐标分别为 ， ， ， ，求它们的直)4,3(A)32,(B),(C)2,4(D角坐标。1 已知点的直角坐标分别为 ，求它们的极坐标。)32,()35,0(),3(CBA3已知点 M 的极坐标为 ，下列所给出的四个坐标中不能表示点 M 的坐标的是（ )3,5(） ),5.(A)4,.(B)32,5.(C)35,.(D4点 P 的直角坐标为 ，则点 P 的极坐标为（ ）3,1)3,2.()2.(C34,D【潜能强化训练】1在极坐标中，若等边ABC 的两个顶点是 、 ，那么顶点 C 的坐标可能)4,2(A)5,(B是（ ） )43,.(A)43,2(B,2.C,.D2在极坐标系内，点
5、关于直线 的对称点坐标为（ ）)23(.6)(RA（3，0） ,B),(C)1(D3若 是极坐标系中的一点，则3,2P ).35,2().8,().32,(MRQ四点中与 P 重合的点有（ ）)5,(kN(ZA1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个4极坐标方程 表示的曲线是（ ）)0.(cosA 余弦曲线 B 两条相交直线C 一条射线 D 两条射线5极坐标系中，点 A 的极坐标是 ，则 （1）点 A 关于极轴对称的点是_.)6,3(2) 点 A 关于极点对称的点的极坐标是_.(3) 点 A 关于直线 的对称点的极坐标是_.(规定: 2 )0(2,【知识要点归纳】(1)要注意直角坐标与极坐标
6、的区别,直角坐标系中平面上的点与有序实数对 是一一),(yx对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序实数对 不是一一对应的,只有在规定)(, )的前提下才一一对应.在解题时要注意极坐标的多和表示形式.0(2,(2)直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提.若要判断曲线的形状,可先将极坐标方程化为直角坐标方程,再判断.二、坐标系解题能力测试1 A（ 32,)3(1,)(,0)(,42BCD2 3、A、4、C53(,)(,)(,).6潜能强化训练1、B 2、D 3、C 4、D 5（1） （2） （3）1(,)67(,)65(,)6三、简单曲线的极坐标方程【基础知识导学】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中
7、，如果平面曲线 C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程 ，并且坐标适合方程 的点都在曲线 C 上，那么方程0),(f 0),(f叫做曲线 C 的极坐标方程。1 直线与圆的极坐标方程 过极点，与极轴成 角的直线 极坐标议程为tant)(或R以极点为圆心半径等于 r 的圆的xO极坐标方程为 r【知识迷航指南】例 1 求（1）过点 平行于极轴的直线。)4,2(A（2）过点 且和极轴成 角的直线。3,3解（1）如图，在直线 l 上任取一点 ，因为 ，所以|MH|=2),(M)4,2(A24sin在直角三角形 MOH 中|MH|=|OM|sin 即 ，所以过点 平行于极轴的直sin),(线为 。2si
8、n（2）如图 ，设 M 为直线 上一点。),(l， =3，)3,(AOA3B由已知 ，所以 ，所以4Bx12541275OAM又 在MOA 中，根据正弦定理得 Msin)43si(又 将 展开化简可得426)3sin(127i )3sin(23coi所以过 且和极轴成 角的直线为：),(A 23)cos(i点评求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。将它用坐标表示。再通过代数变换进行化简。例 2（1）求以 C(4,0)为圆心，半径等于 4 的圆的极坐标方程。 （2）从极点 O 作圆 C 的弦ON，求 ON 的中点 M 的轨迹方程。解：（1）设 为圆 C 上任意一点。圆 C 交极轴于另一点
9、 A。由已知 =8 在直角),(pAOD中 ，即 ， 这就是圆 C 的方程。cosOADcos8（2）由 。连接 CM。因为 M 为弦 ON 的中点。所以 ，故 M 在以4OCr ONCOC 为直径的圆上。所以，动点 M 的轨迹方程是： 。cos4点评 在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法。在极坐标中。求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的。例 2 中（1）为直译法， （2）为定义法。此外（2）还可以用动点转移法。请同学们尝试用转移法重解之。例 3 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1） （2） （3） （4）xy412cos4cos2解：（1）将
10、 代入 得 化简得sin,coyxy)sin(sini2（2） 化简得：xta3tax)0(3xy（3） 。即 所以 12cos 12cos2cos。y化简得 。)(42x（4）由 即 所以 cos4)sin(co2242yx点评 （1）注意直角坐标方程与极坐标方程互化的前提。（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定 0,（3）由极坐标方程化为极坐标方程时，要注意等价性。如本例（2）中。由于一般约定 故 表示射线。若将题目改为 则方程化为：.)(3Rxy3解题能力测试1 判断点 是否在曲线 上。)35,2(2cos2将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1） ；01x
11、y（2） 。cos3下列方程各表示什么曲线？（1） ： 。ay（2） ： 。（3） ： 。潜能强化训练 极坐标方程分别是 和 的两个圆的圆心距是（ ）cosin 22 在极坐标系中，点 关于 的对称的点的坐标为 （ ）),3(6)(RA B C D )0,3(232,)61,3(3 在极坐标系中，过点 且垂直于极轴的直线方程为（ ）)3,(A B C D cossincos2sin24 极坐标方程 表示的曲线是 （ ）)0(2A 余弦曲线 B 两条相交直线 C 一条射线 D 两条射线 5 已知直线的极坐标方程为 ，则极点到该直线的距离是： 2)4sin(。6 圆 的圆心坐标是： 。)sin(c
12、o27 从原点 O 引直线交直线 于点 M，P 为 OM 上一点，已知 。0142yx 1OMD求 P 点的轨迹并将其化为极坐标方程。知识要点归纳1 直线，射线的极坐标方程。2 圆的极坐标方程三、简单曲线的极坐标方程解题能力测试1、在 2、 （1） 2 2cos10()3410xyx3、 （1）在直角坐标下，平行于 X 轴的直线。 （2）在极坐标下，表示圆心在极点半径为 a 的圆。 （3）在极坐标下，表示过极点倾斜角为 的射线。潜能强化训练1、D 2、D 3、A 4、D 5、 26.(1,)47、以 O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线方程化为，设 又cosin10000(,).(
13、,2cos4in1MP则00A知代入得：12cos4in10,2cos4in参数方程目标点击：1理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义；2熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义；4灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题.基础知识点击：1、曲线的参数方程在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数， (1) 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组 (1)所确定的点)(tgyfxM(x,y)都在这条曲线上，那么
14、方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.2、求曲线的参数方程求曲线参数方程一般程序：(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2) 选参：选择合适的参数；(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与 x，y 的关系式，并由此分别解出用参数表示的 x、y 的表达式.(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程3、曲线的普通方程相对与参数方程来说，把直接确定曲线 C 上任一点的坐标（x,y）的方程 F（x,y） 0 叫做曲线 C 的普通方程.4、参数方程的几个基本问题(1) 消去参数，把参数方程化为普
15、通方程.(2) 由普通方程化为参数方程.(3) 利用参数求点的轨迹方程.(4) 常见曲线的参数方程.5、几种常见曲线的参数方程1 直线的参数方程()过点 P0( )，倾斜角为 的直线的参数方程是,yx（t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段 的数量，P( )sinco0ty P0yx,为直线上任意一点.()过点 P0( )，斜率为 的直线的参数方程是,yxabk（t 为参数）0（2）圆的参数方程()圆 的参数方程为 ( 为参数) 的几何意义为“圆心角”22ryxsincoryx()圆 的参数方程是200)()y（ 为参数） 的几何意义为“圆心角”sincory（3）椭圆的参数方程()椭圆
16、 ( ) 的参数方程为 （ 为参数）12bax0asincobyax()椭圆 ( )的参数方程是1)(20y0ba（ 为参数） 的几何意义为“离心角”sinco0bx(4)双曲线的参数方程()双曲线 的参数方程为 （ 为参数）12byaxbtgyaxsec()双曲线 的参数方程是1)()(200（ 为参数） 的几何意义为“离心角”btgyx0sec（5） 抛物线的参数方程(p0) 的参数方程为p2（t 为参数） 其中 t 的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜yx率的倒数（顶点除外）.考点简析：参数方程属每年高考的必考内容，主要考查基础知识、基本技能，从两个方面考查（1）参数方程与普通方程的互
17、化与等价性判定；（2）参数方程所表示的曲线的性质. 题型一般为选择题、填空题.1参数方程的概念一）目标点击：1理解参数方程的概念，能识别参数方程给出的曲线或曲线上点的坐标；2熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则；3能掌握消去参数的一些常用技巧：代人消参法、三角消参等；4能了解参数方程中参数的意义，运用参数思想解决有关问题；二）概念理解：1、例题回放：问题 1：（请你翻开黄岗习题册 P122,阅读例题）已知圆 C 的方程为 ，过点 P1(1,0) 作圆 C 的任意弦，)2(yx交圆 C 于另一点 P2,求 P1P2 的中点 M 的轨迹方程 .书中列举了六种解法，其中解法六运用了什么方法求得 M 点的轨迹方程？此种方法是如何设置参数的，其几何意义是什么？设 M( ) ，由 ，消去 k,得 ，因 M 与yx,221kx 41)23(yxP1 不重合，所以 M 点的轨迹方程为 （ ）)(解法六的关键是没有直接寻求中点 M 的轨迹方程 ,而是通过引入0),(yxF第三个变量 k（直线的斜率） ，间接地求出了 x 与 y 的关系式，从而求得 M 点
