1、第三章 习题参考答案 1.计算习题二第 2 题中随机变量的期望值。解：由习题二第 2 题计算结果012=33pp，得 E一般对 0-1 分布的随机变量 有1Ep2用两种方法计算习题二第 30 题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3.5310.29.E和宽的数学期望1.4.再利用数学期望的性质计算周长的数学期望 (2)29.09.8E方法二：利用习题二地 30 题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望96 98 100 102 104p 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06960.8.2
2、710.3520.14.0698.E3.对习题二第 31 题， （1）计算圆半径的期望值；（2） 是(2)ER否等于 ？（3）能否用 来计算远面积的期望值，如果2ER2()ER不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1） 10.410.3.16（2）由数学期望的性质有()2.ER（3）因为 ，所以不能用 来计算圆面积()2()ER的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得 222222()()10.0.41.30.)135.4 或者由习题二第 31 题计算结果，按求圆面积的数学期望10.69.).E4 连续随机变量 的概率密度为,01(,)()akx其 它又知 ，求 和 的值 .75E解 由
3、10()1324akxdEk解得 ,5计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16 题） 。解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以 ，|102xEed同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算Comment U1: 或者利用 函数的性质，上式等于 3=2（ ） ！2|201()xxDEed0|6题目略解 (1)15 辆车的里程均值为1274(95)91.3(2) 记 为从 188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则 的分布表如下表所示（a=188 ）10 30 50 70 90 110 130 150 170p5/a 11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/
4、a 2/a故51245003796.1788E7题目略解 记 为种子甲的每公顷产量， 为种子乙的每公顷产量，则450.120.351.40.1948235E8一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值 10g,标准差为 1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设 为一盒中第 个螺丝钉的重量 ,则 题设条件为ii(1,20)i且 相互独立。设一盒螺丝钉的重10,iiEgD120,量为随机变量 ，则期望和标准差分别为0i10101100222()()01()iiii iiEEgDDg注 此题不能认为 ,因为这意味着所有螺丝钉的重量
5、完全一样,这是不符合实际情况的.因此 2(10)10()g是错误结果。9. 已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中次品数的期望值。解 设 为 5 个产品中的次品数，则 的分布率为5109()(,234,5)kCp于是期望值为551090.kkEC10一批零件中有 9 个合格品和 3 个废品，在安装机器时，从这些零件中任取 1 个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。解 设 为取得合格品之前取出的废品数，则 服从如下表所示的分布，于是 0 1 2 3p92391021001.342E22223919()01340E222
6、5()().D11.假定每人生日在各个月份的机会是同样的，求 3 个人中生日在第1 个季度的平均人数。解 设 3 人中生日在第 1 季度的人数为 ，则 的分布律为33()()(0,12)4kkpC故平均人数为3301()kkE12 有分布函数 ，求,0()xeF， 其 它 ED及解 的密度函数为,0()xex+ +00 1|xxxEedd2220() |xee+20xe2221()()DE或者利用伽马函数的性质 +001()xxeded+2222220011()()(3)xxEeded 222()D13 ，求 和21,|()0,xx其 它 DE解 由奇函数在对称区间的积分为零知120xEd或者
7、 12222sinsincosi |01xttttd于是= = =D2()E21xd22sini1tdt20sintd2 200cosi()|.54tt14计算习题二第 22 题中的 期望与方差。解 由习题二第 33 题求得的 分布可求得其数学期望和方差210()34E3210()()39D15计算习题二第 23 题中的 期望与方差。解 由习题二第 34 题求得的 分布可求得其数学期望和方差1415()2()02368E497285()()71D16如果 独立，不求出 的分布，直接从 的分布和 的分和 布能否计算出 ，怎样计算？()解 由 与 独立，知 与 独立，根据数学期望的性质有22)(,
8、)(EE（ ） =（ ） =(故 2 22)-()DE（ ） （ ） -（ ）17.随机变量 是另一个随机变量 的函数,并且 ,若0e存在,求证对于任何实数 都有 .axp证明：不妨设 是连续型随机变量，其密度函数为 ，注意到当()时，有 ，于是xa()10)xae( ()()xaaxapdededeE若 为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。18证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 1/4.证明 设 为一次试验中 发生的次数，则 服从 0-1 分布，A则 ()pAEp221)(0)(1)()01)Dpp而函数 在 上的最大值为 ，故(,4D19证明对于任何常数 c,随机变
9、量 有22()()DEcc证明 因为 22()()Ec22()()所以两式的差为 D或者2222()()()()()DcEcEcc 20 的联合概率密度为 ，计算它们的,(,0xye协方差 ov()解 先求 的边缘密度函数和 ()10()(0)xyxed()2yy由 知 相互独立,故 不相关,12(,与 与即 cov(,)=021.计算习题二第 22 题 的协方差。与解 由习题二第 22 题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见下表)，于是 1 1 (1)ip1 0 1/3 1/32 1/3 1/3 2/3()jp 1/3 2/3212515338()0()4cov, ()9EE，22.计
10、算习题二第 23 题 的相关系数。与解 习题二第 23 题求出的分布表（见下表） ，可求得 0 1/3 1 (1)ip-1 0 1/12 1/3 5/120 1/6 0 0 2/122 5/12 0 0 5/12()jp 7/12 1/12 4/1222222555510()111743=,4367()()308EED，（ ） 2150869713()()26Ecov(,)3,41275D23 的联合概率分布如下表所示，计算 的相关系数， 并, 与判断 是否独立？与 -1 0 1-1 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8解 的联合分布和边缘分布如下表所示(,)-1 0 1 (1)ip-1 1/8 1/8 1/8 3/80 1/8 0 1/8 2/81 1/8 1/8 1/8 3/8(2)jp 3/8 2/8 3/822230183()8414cov(,)()0,EDDE） （ ）但 ，知 不相互独立。(1)21968pp与24两个随机变量 与 ，已知 ,计算25,0.4D与 .(+D） (-）解 cov,)=0.461(2cov(,)8537
