1、4 线性空间与线性变换我们应该明白一点，线性代数就是研究线性空间和线性映射的理论。线性空间研究线性空间的结构，它是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面。线性映射就是线性空间之间的映射，并且这种映射保持加法和纯量乘法两种运算。线性变换就是线性空间 V 到自身的线性映射，也就是最简单的一种映射。当我们学习完线性代数这门课程后，我们会发现，其实，线性代数只是研究了两个东西：矩阵与线性变换（线性映射），而我们先前学习的矩阵，是学习本课程的基础，也是为这里学习线性变换（线性映射）提供一种“工具”。所以，
2、作为线性代数中最本质的东西，我们是应该多花些时间来好好研究这一章的。4.1 线性空间1、判断下述集合对于所指定运算是否形成实数域 R 上的线性空间(1) Rx中所有 2 次多项式组成的集合 V，对于多项式的加法与数量乘法；(2) 所有正实数组成的集合 ，加法与数量乘法分别定义为+R，ab=,。,kAk+解：(1)不是；因为,若令 ，但 ，2,xgx2fV2xx2f+g=()(=V即该集合对于加法不封闭，从而得证；(2)是，（下面由线性空间的定义证明）首先，我们根据已知条件，易得该集合关于向量乘法及数量乘法是封闭的，然后，我们证明其满足线性空间的 8 个条件：对 ，我们有，R+a,bc,k， m
3、关于加法i) 即满足交换率=ii) 即()c()（ ab） c=()abc)=()满足结合率iii) 即存在零元 1+1R， st 1iv) 即对于每一 中的元素都存在负元,a+R关于乘法v) ,即 1 也是单位元A+11,st =vi) ()kAkm()a(a)vii) ()()mkmA+ aviii) ()bkbA Ak(b)()b即满足线性空间的定义，从而得证，所有正实数组成的集合 ，+R关于定义的加法与数量乘法构成实数域 R 上的线性空间。点评：当要证明或判断某集合关于运算法则能够构成线性空间时，我们必须按照定义条件一一给以证明，（我们以后还会明白，有时只需证明其是以子空间也可）但当对
4、其进行否定时，只需举出一反例即可。2、设 V 是数域 F 上的线性空间， ，集合V，是 V 的一个子空间，这是由于，对,Lkm112212,kkmF， ，我们有 ，121212kmL（ ） +（ ）,LF所以，得证 L 是 V 的子空间。点评：当我们已知某集合关于定义的运算法则构成线性空间时，要求证明其某一子集是其子空间时，我们有定理说明，只需证明关于定义的运算法则关于加法和数量乘法运算封闭即可。3、设 12312323,xiVxRi(1) 证明 对于矩阵的加法和数量乘法构成实数域 R 上的一个线性空间(2)求 的一组基和维数；(3)求 中元素 在第(2) 小题中所求坐标基下的坐标。V1232
5、31xii解：(1)按照线性空间定义一一验证即可；(2)取 ，则 是数域 R 上的100,1iABC=ABC， ，线性无关向量组，又因为，对于 V 中的任意元素，123123231xiAxi所以， 构成 V 的一组基，且其维数就是 3；,BC(3) 由(2)得11231232231 3,xxiAxBCAi 元素 在基 在的坐标为 。123231ixix, 123x点评：要确定某线性空间的维数，必须首先找到一线性无关的向量组，然后再证明该线性无关组是极大线性无关组，那么该极大线性无关组就是线性空间的一组基；而该极大线性无关组所含向量的个数就是该线性空间的维数。4.2 线性变换1、在 中，设R1,
6、sinco.xV=则(1)导数运算 是 V 上的线性变换；D(2) 就是 V 的一组基；1,sincox(3) 写出 在基 下的矩阵。,sicx解：(1) 因为 233231inoscsinDkxkxk2 1（ ） = V,（ ， ， R）所以， 是 V 上的线性变换；(2) 由已知条件，我们知道 V 是由 生成的线性空间，1,sincox又因为它们线性无关，所以 就是 V 的一组基；(3) ，0(1)0,sinco)Dx，(si)c(1,sic)01xx0(cos)in(1,sico)1Dxx0(1,sic)(0,sin)(,sico)1xxx，即 在基 下的矩阵为 。D,sincox01点
7、评：本题其实就是说明，n 维线性空间 V 上的线性变换可以用矩阵来表示。事实上我们是由定理来证明，线性空间上的线性变换是与其相对应的矩阵一一对应的，因此比较抽象的线性变换问题就可以通过转化为矩阵问题来研究。2、在 中，设两组基：2Px； (a)1,x2(b)1,+()(1)求(a)到(b)的过渡矩阵；(2)求由(a)经过过渡矩阵 A= 得到的新基。01解：(1) ()()2()01xxxP2221,+,(a)到(b)的过渡矩阵 ;P=(2) 212()0(1,)xx2,由(a)经过过渡矩阵 A= 得到的新基是12021,x评析：关于线性空间的一组基到另一组基的过渡矩阵问题是本章的一个重要知识点
8、，因此我们对于过渡矩阵的由来应该理解的掌握，千万不要死记公式！3、已知 上的线性变换 在标准基 下的矩阵是3KA231， ，520876=设 ，求 在基 下的矩阵 B.1233,41,2TTT， ， ， ， A123,解：由已知条件设从标准基 到基 的过渡矩阵为 P，则， ， 123,12323123, ,41()=(， ， )P=()同时也可求得 ，6541-根据统一线性变换在不同基下的矩阵是相似的原理，我们有6521523143084176BAP-=08622313思路提示：先求基 到基 的过渡矩阵 P；然后再求 ；最21， ， 23,-1后求 ，即得所求。BPA-1=4、设0,abVcd
9、ePde数 域(1)证明：V 对与矩阵的加法和数量乘法构成一个线性空间；(2)令 ，01A用下式定义：f:V，(x)=,V证明：f 是 V 上的线性变换。证明：(1)我们已知 是 P 上的线性空间，30V 是 的非空子集3对112200,ababAcBcdede=V,kP那么， ，121212+0Bce11=0kabAcdeVV 是 的子空间，从而 V 是 P 上的线性空间；3P(2) ，100ababcckdedex=,y,，0100()abdefxAccdeabV有 ，()()fyxAyfxy，()kkff 是 V 上的线性变换。点评：本题在证明线性空间时，用证明线性子空间来过渡，这是个技
10、巧，在证明线性空间时也较常用。5、如上题所证，是写出 V 的一组基（无需证明），并求 f 在该基下的矩阵。解：令 ，则它就是 V 的一组基，3AEAE121324315=,=,其中 是(i,j)元为 1，其余均为 0 的 矩阵，那么ij 0010()10AEEEAA 11 31412345f()= ,010()011AEEEAA 21333512345f()= ,0010()10AEEEAA 3222312345f()= ,1010()0AEEEAA 4313112345f()= ,001011()0AEEEAA 5333212345f()= ,010010 1234512345f(A,)=(A,)设 f 在基 下的矩阵为 B，则 B= 。12345A, 101 易错提示：本题再加上上题就是个综合性较强的题目了，在遇到此情况时，我们应按照做题步骤一步步来，且勿急躁！
