第十一章 反常积分1 反常积分概念一、问题提出例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v0至少要多大？解：设地球半径为R，火箭质量为m，地面上的重力加速度为g.按万有引力定律，在距地心x(R)处火箭所受的引力为F=.于是火箭从地面上升到距离地心为r(R)处需作的功为：dx=mgR2. 当r+时，其极限mgR就是火箭无限远离地球需作的功.可表示为：dx=dx=mgR.又由机械能守恒定律可求得初速度v0至少应满足：mv02=mgR.以g=9.81m/s2, R=6.371106m代入，可得v0=11.2km/s.例2：圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？解：记桶中水液面到桶顶的距离为x，则水从孔中流出的流速为：v=，其中g为重力加速度.设很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为dx，则R2dx=vr2dt，即有dt=dx. 流完一桶水所需的时间为：tf=dx，又被积函数
