数学分析9.3可积条件(共7页).doc

第九章 定积分3 可积条件一、可积的必要条件定理9.2：若函数f在a,b上可积，则f在a,b上必定有界.证：若f在a,b上无界，则对于a,b的任一分割T，必存在属于T的某个小区间k，f在k上无界.在ik的各个小区间i上任取i，并记G=|.对任意大的正数M，存在kk，使得|f(k)|，于是有|f(k)xk |-|xk-G=M.因此，对于无论多小的T，按上述方法选取的点集i，总能使积分和的绝对值大于任何预先给出的正数，与f在a,b上可积矛盾.原命题得证.注：任何可积函数有界，但有界函数不一定可积。例1：证明狄利克雷函数D(x)=在0,1上有界但不可积.证：|D(x)|1, x0,1，D(x)在0,1上有界.又对于0,1的任一分割T，由有理数和无理数在实数中的稠密可知，在属于T的任一小区间i上，当取i全为有理数时，=1；当取i全为无理数时，=0. 即不论T多么小，只要点集i取法不同（全取有理数或全取无