欧氏空间中线性变换和正交变换的关系摘要 对欧式空间中的线性变换与正交变换之间的关系进行讨论关键词:欧式空间 线性变换 正交变换线性变换和正交变换是欧氏空间的两种重要变换。本文首先引入线性变换和正交变换在欧氏空间中的定义,然后讨论两者之间的关系。为了阅读方便,本文从最基本的概念谈起,即先定义线性空间、内积、欧氏空间、线性变换和正交变换。定义1 设不是空集,为一个数域,在中定义加法和数量乘法(简称数乘),若对,满足:(1),(关于加法封闭)(2),(交换律)(3),(结合律)(4),(零元)(5),(负元)(6)(关于数乘封闭)(7)(8)(9)(10)则称为数域上的线性空间。定义2 设是上的一个线性空间,在上定义了一个二元实函数,称为内积,记为,它具有以下性质():(1)(2)(3)(4),当且仅当时,。定义3 定义2中的线性空间就称为欧几里得空间,简称欧氏空间。定义4 设是一个线性空间,为一个数域,对于,有(1)(2)则称为上的线性变换。 定义5 设是欧氏空间V的一个