初高中数学衔接教材.DOC

1、1初高中数学衔接教材初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0 的绝对值是 0，即(0)a两个负数比较大小，绝对值大的反而小两个绝对值不等式: ； 或|(0)xaax|()axa2 乘法公式：平方差公式： 2()bb立方差公式： 322)aa立方和公式： ()完全平方公式： ，22bb() 2accacb完全立方公式： 32233 分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。方法：提公因式法，运用公式法，分组分解法，十字相乘法。4 一元一次方程：在一

2、个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫一元一次方程。解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。关于方程 解的讨论axb当 时，方程有唯一解 ；0bxa当 ， 时，方程无解当 ， 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。5 二元一次方程组：（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。（4）解二元一次方程组的方法：代入消元法，加减消元法。26 不等式与不等式组（1）不等式：用符不等号（、 ）连

3、接的式子叫不等式。不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。（3）一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。（4）一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式

4、组的解集。求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。7 一元二次方程： 20()axbca方程有两个实数根 240c方程有两根同号 12xa方程有两根异号 120cx韦达定理及应用： 1212,ba, 211212()xx 2212114()4bacxx3 21212121211)38 函数（1）变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：若两个变量 , 间的关系式可以表示成 （ 为常数， 不等于 0）yxykxbk3的形式，则称 是 的一次函数。当 =0 时，称 是 的正比例函数。yxbyx（3）一次函数

5、的图象及性质把一个函数的自变量 与对应的因变量 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。正比例函数 = 的图象是经过原点的一条直线。ykx在一次函数中，当 0， O，则经 2、3、4 象限；当 0， 0 时，则经 1、2、4bkb象限；当 0， 0 时，则经 1、3、4 象限；当 0， 0 时，则经 1、2、3 象限。当 0 时， 的值随 值的增大而增大，当 0 时， 的值随 值的增大而减少。k kyx（4）二次函数：一般式： ( )，对称轴是2224()bacyaxbcax,2ba顶点是 ；24,)（ 顶点式： ( )，对称轴是 顶

6、点是 ；2(yaxmk0a,xm,k交点式： ( )，其中（ ），（ ）是抛物线与 x 轴的交点12)102x（5）二次函数的性质 函数 的图象关于直线 对称。2(0)yaxbcbxa 时，在对称轴 （ ）左侧， 值随 值的增大而减少；在对称轴02yx（ ）右侧； 的值随 值的增大而增大。当 时， 取得最小值2xayxbxa24acb 时，在对称轴 （ ）左侧， 值随 值的增大而增大；在对称轴02yx（ ）右侧； 的值随 值的增大而减少。当 时， 取得最大值2bxayxbxa24acb9 图形的对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对

7、称图形，这条直线叫做对称轴。轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。10 平面直角坐标系4（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做 轴x或横轴，铅直的数轴叫做 轴或纵轴， 轴与 轴统称坐标轴，他们的公共原点 称为直角坐标yxyO系的原点。（2）平面直角坐标系内的对称点：设 ， 是直角坐标系内的两点，1(,)M2(,)x若 和 关于 轴

8、对称，则有 。My12y若 和 关于 轴对称，则有 。x12x若 和 关于原点对称，则有 。 12y若 和 关于直线 对称，则有 。Mx12x若 和 关于直线 对称，则有 或 。a12ay21xay11 统计与概率：（1）科学记数法：一个大于 10 的数可以表示成 的形式，其中 大于等于 1 小于 10，0NAA是正整数。N（2）扇形统计图：用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360 度的比。（3）各类统计图的优劣：条形统计图：能清楚表示

9、出每个项目的具体数目；折线统计图：能清楚反映事物的变化情况；扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。（5）平均数：对于 个数 ，我们把 ( )叫做这个 个数的算术N12,Nx 12Nxx平均数，记为 。x（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。（7）中位数与众数：N 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中

10、常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。（8）调查：为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体。从总体中抽取部分个体进行调查，这5种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间，人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本的代表性和广泛性。（9）频数与频率：每个

11、对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。（10）数据的波动：极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。标准差就是方差的算术平方根。一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。（11）事件的可能性：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。一般来说，不确定事件发生的可能性是有

12、大小的。（12）概率：人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发生的可能性。游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。必然事件发生的概率为 1，记作 （必然事件） ；不可能事件发生的概率为 ，记作 （不可能事件） ；如果 A 为不P0P确定事件，那么 0()PA1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距离baab例 1 解不等式： 41

13、3x解法一：由 ，得 ；由 ，得 ；00x3x若 ，不等式可变为 ，x()4即 4，解得 x0，2又 x1，x0；若 ，不等式可变为 ，(1)3x即 14，不存在满足条件的 x；若 ，不等式可变为 ，3x()4即 4， 解得 x42又 x3，x4综上所述，原不等式的解为 x0，或 x41 3A Bx0 4C DxP|x 1|x 3|图 1116解法二：如图 111， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|，即 |PA| |x1| ；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB| ，即|PB| x3| 所以，不等式 4 的几何意义

14、即为|PA |PB| 43由|AB| 2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧x0，或 x4练 习1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则 c_.ba1a212选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 ab（C）若 ，则 （D ）若 ，则ab 3化简：|x5|2 x 13|（x5） 1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方

15、差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；()ccca（4）两数和立方公式 ；3223()（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二：原式= 2(1)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba7（2） ；(4m2)164(m)（3） 2abcabc2选择题：（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ ）2xkk（A） （B） （C） （D）214213m216m（2）不论 ， 为何实

16、数， 的值 （ ）ab8ab（A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的(0)式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，而 ，23ab2ab21x， 等是有理式22xy1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与 ， 与 ， 与 ，23a36与 ，等等 一般地， 与 ， 与 ，2323xxbyaxby与 互为有

17、理化因式axb分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分(0,)ab母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3） b2(0)ba64(0)xy解： （1） ；3（2） ；2a（3） 6334()xyxy例

18、 2 计算： ()解： 3(3)39例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .2106426、解： （1） ，1(1)()1，000又 ，21 （2） 6(2)(26)2,、+、 +又 42 ，2 4 2 ，6 6 2 .、例 4 化简： 204205(3)(3)解： 2045 204 ()()() 20413 例 5 化简：（1） ； （2） 94521(01)xx解：（1）原式 2()525 52（2）原式= ，21()xx ， ，0所以，原式 x例 6 已知 ，求 的值 3232,y2253xy解： ，()()10xy9，321xy 2225()30189yxy练 习

19、1填空：（1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _12选择题：等式 成立的条件是 （ ）2x（A） （B） （C ） （D ）0x2x02x3若 ，求 的值21abab4比较大小：2 （填“ ”，或“”） 3 5 41.1.分式1分式的意义形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为 分式当 M0 时，分式 具有下列A0BAAB性质：； MA上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像 ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式abcd2mnp例 1 若 ，求常数 的值54()xABx,A解： ，(2)

20、()254()x 解得 5,24A,3例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1n10（2）计算： ；112390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 11234()2n（1）证明： ，()()n （其中 n 是正整数）成立(1)（2）解：由（1）可知 2390 11()()2390 190（3）证明： 4n 1()()()1 ，2又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234()n 12例 3 设 ，且 e1，2c 25ac2a 20，求 e 的值a解：在 2c25ac2a 20 两边同除以 a2，得2e25e 20，(2e 1)(e2)0，e 1，舍去；或 e212e2练 习1填空题：对任意的正整数 n， ( )；(2)12n2选择题：若 ，则 （ ）23xyx（A） （ B） （C） （D）5445653正数 满足 ，求 的值,xy2xy