用不动点法求数列的通项4页.doc

用不动点法求数列的通项定义：方程的根称为函数的不动点.利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明：因为 是的不动点由得所以是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件（1）：若有两个相异的不动点，则 （这里）（2）：若只有唯一不动点，则 （这里）证明：由得，所以（1）因为是不动点，所以，所以令，则（2）因为是方程的唯一解，所以所以，所以所以令，则 例1：设满足，求数列的通项公式解：作函数，解方程求出不动点，于是，逐次迭代得由此解得例2：数列满足下列关系：，求数列的通项公式解：作函数，解方程求出不动点，于是所以是以为首项，公差为的等差数列所以，所以定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,证明: 是的两个不动点 即 于是,