1、高三 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 13 课时课题 数列应用 一、知识导学1、由题目所给条件建立适当的数学模型2、求解这个模型3、注意验证模型成立与否二、例题导讲例 1、甲、乙两物体分别从相距 70 米得两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 米，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 米，乙每分钟走 5 米。甲、乙开始运动后几分钟相遇？如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 米，乙继续每分钟走 5 米，那么运动几分钟后第二次相遇？例 2、某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房。他选择 10 年期贷款，偿还贷款的方式为：分 10 次等额归还，每年一次，并从
2、借后次年年初开始归还，若 10 年期贷款的年利率为 4%。且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息） ，问每年应还多少元（精确到 1 元）？例 3、某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到 2000 年年底全县的绿地已占全县总面积的 30%.从 2001 年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有 16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的 4%又被侵蚀，变成了沙漠。在这种政策下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过 80%？至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的 60%？例 4、某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备
3、老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不进行技术改造，预测从今年起比上一年纯利润减少 20 万元；今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金情况下，第 n 年（今年为第一年）的利润为n2150万元（n 为正整数） 。设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 A万元，进行技术改造后的累计纯利润为 B万元（需扣除技术改造资金） ，求 n、 B的表达式；依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？习题导练1某商品降价 10%后欲恢复原价，则应提价 。2若两年内的月平均增长率为 p，则年平
4、均增长率为 。3北京市为成为举办 2008 奥运会，决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增 10%，2003 年底更新车辆数约为现有总车辆数 （精确到 0.1%） 。4据测定，光线每通过一块某种玻璃其强度要减少 10%，至少把 块这样的玻璃重叠起来，能 是通过他们的光线在原来的三分之一以下。5铜片绕在盘上。空盘时盘心直径为 80mm，满盘时直径为 160mm。已知铜片的厚度是0.1mm，那么满盘时一盘铜片共约有 m（精确到 1m） 。6某人为了观看 2008 年奥运会，从 2001 年起，每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期
5、储蓄。若年利率为 p 且保持不变，并约定每年到期存款自动转为新的一年定期，到 2008 年 5 月10 日将所有的存款集利息（不计利息税）全部取出，则可取回的钱的总数（元）为 （ ）A 71paB 81paCpa17D18pa7某林场有荒山 3250 亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树 100 亩，计划每年比上一年多植树 50 亩（假设全部成活） 。需要几年，可将此山全部绿化？已知新种树苗每亩的木材量是 2 立方米，树木每年自然增长率为 10%，求荒山全部绿化后的年底木材总量 S?8假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内
6、，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加 50 万平方米，那么，到哪一年底该市历年所建中低价房的累计面积（以 2004 年为累积第一年）将首次不少于 4750 万平方米？当年建造的中低价房的面积占该年住房面积的比例首次大于 85%？9从社会效益和经济效益出发。某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业。根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上一年减少 20%。本年度当地旅游业收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，估计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 25%。 设 n 年内（本年度为第一年）总投入为
7、 na万元，旅游业总收入为nb万元，写出 na、 b的表达式； 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？10某公司全年的纯利润为 b 元，其中一部分作为奖金发给 n 位职工。奖金分配方案如下：首先职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由 1 至 n 排序，第一位职工得奖金nb元，然后将余额除以 n 发给第 2 位职工，按此方法奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。设 nka1为第 k 位职工所得奖金额，试求 2a、 3，并用 k、n 和 b 表示 k（不必证明） ；证明： ,1,21na 并解释此不等式关于分配原则的实际意义；发展基金与 n 和 b 有关，记为 bP
8、，对常数 b，当 n变化时，求Pnlim。11医院用 100 万元购进一台医疗仪器，该仪器第 n 年保养、维修费为12.04nan万元 ,*N第 n 年管理、操作人员的工资费用为%5b万元 平均每年有 1000 人次病员用该仪器做检查。如果计划 20年收回全部投资（购机、维修、工资等） ，问每次检查至少应收多少元（精确到 1 元）?12用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，依次类推，每一层都用去了上此剩下的砖块的一半多一块，到第十层恰好把砖块用完。问共用了多少砖块？13某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量
9、的 6%，并且每年新增汽车数量相等。为保护城市环境，要求该城市保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？14一计算机装置有一个数据入口 A 和一个运算结果的出口 B，将正整数列 n中的各数依次输入 A 口，从 B 口得到输出的数列 na，结果表明：从 A 口输入 n=1 时，从 B 口得到;31a当 2n时，从 A 口输入 n，从 B 口得到的结果 na是将前一个结果 1na先乘以正整数列 中第 n-1 奇数，再除以正整数列 中的第 n+1 个奇数，试问：从 A 口输入 2 和 3 时，从 B 口分别得到什么数？ 从 A 口输入 2006 是，从 B 口得到什么数？15一个
10、热气球在第一分钟时间里上升了 25m 高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的 80%，这个热气球最多能上升_米。16已知一凸 n 边形的个内角度数成等差数列，最小角是 120，公差为 5，则边数 n 等于_17夏季某高山上的温度从山脚起，每升高 100 米降低 0.7，已知山顶处的温度为 14.8，山脚温度是 26，则这山的山顶相对于山脚的高度是 _ 。18从盛满 aL 酒精的容器里倒出 bL，然后加满水，再倒出 bL，再用水加满，这样连续倒了 n 次，则容器中有纯酒精 _ L。19已知三角形三内角成等差数列，面积为 310，周长为 20，则三边长为 （ ）A5、6
11、、9 B5、7、8 C6、7、7 D4、7、920通过测量知道，某电子元件每降低 6，电子数目就减少一半，已知在零下 34时，该电子元件电子数为 3 个，则在室温 27时，该元件的电子数目最接近于 （ ）A860 个 B1730 个 C3400 个 D6900 个21某外商到一开放区投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12 万美元，以后每年增加 4 万美元，每年销售收入 50 万美元。若扣除投资及各种经费，则从第几年开始获取纯利润？若干年后，外商为开发新项目，有两种处理方案：年平均利润最大以 48 万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以 16 万元出售该厂，问哪种方案最合算？2
12、2某地今年年初有居民住房面积为 a 2m，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除 x 2m的旧住房，又知该地区人口年增长率为 4.9。（1）如果 10 年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？（2）依照 的拆房速度，共需多少年才能拆除所有需要拆除的旧住房？23容器 A 中盛有 12%的食盐水 300 克，容器 B 中盛有 6%的食盐水 300 克，从 A、B 中分别取出 100 克食盐水，将 A 中取出的倒入 B 中，将 B 中取出的倒入 A 中，这样进行一次，叫做一次“操作”
13、。（1）操作一次后，A、B 中含食盐的浓度分别是多少？（2）操作 n 次后，A、B 中含食盐的浓度分别为 na和 b，证明 na+b为定值，并求na和 b。24自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为了持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用 nx表示某鱼群在第 n 年年初的总量 *Nn，且01x。不考虑其他因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 x成正比，死亡量与2n成正比，这些比例系数依次为这个常数 a，b，c。（1）求 1x与 n的关系式；（2）猜测：当且仅当 1x，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设 a=2，c=1，为保证对任意 ,201都有 ,0*Nnx则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论。
