1、高二 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 16 课时课题 向量复习知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量 .向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如 ,abc 等 .几何表示法:用一条有向线段表示向量 .如 AB, CD等.坐标表示法:在平面直角坐标系中 ,设向量 O的起点 O 为在坐标原点,终点 A 坐标为,xy,则 称为 OA的坐标 ,记为=,xy.注:向量既有代数特征,又有几何特征 ,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量 .向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与 b相等,
2、记为 ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小 .4.零向量:长度为零的向量叫零向量 .零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于 1 个单位的向量 .单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量 ,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定: 0与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量 .二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法实数与向量的乘积两个向量的数量积.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
3、主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言OA+ B= C=记 OA=(x1,y1), B=(x1,y2)则 =(x1+x2,y1+y2)=（x 2-x1,y2-y1）加法与减法 OA+ B=实数与向量的乘积=aR记 a=(x,y)则 =(x,y)两个向量的数量积cos,ab记 12(,(,)ab则 =x1x2+y1y2(二)运算律加法： ab(交换律); ()()abc(结合律)实数与向量的乘积： )ab; a; )a两个向量的数量积: a b= ; () = ( )=(a b); ( + b) c= + b c注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运
4、算法则，实数的运算性质可以简化向量的运算，例如( )2=2a(三)运算性质及重要结论平面向量分解定理:如果 12,e是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量 a,有且只有一对实数 ,使 12ae，称 12e为 12,e的线性组合。其中 12,e叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 12,e的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果 12ae且 12a,那么 12.当基底 2,是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量
5、坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则OA=（x,y） ；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A（x 1,y1） ，B（x 2,y2） ，则AB=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言： )0(/bab坐标语言为：设非零向量 12,xy,则 ab(x1,y1)=(x2,y2)，即 12xy,或 x1y2-x2y1=0, 在这里,实数 是唯一存在的,当 与 b同向时,0；当 a与b异向时,0。|= |ba, 的大小由 a及 b的大小确定。因此,当 a, 确定时， 的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中 的几何意义。两个向量垂直的充要条件符号语言：
6、ba0坐标语言：设非零向量 12,bxyy，则 21x两个向量数量积的重要性质： 2|a即 2|a(求线段的长度); b0(垂直的判断);cosa (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题 ,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量 a, b的数量积运算结果是一个数 cosab(其中 ,ab),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.112 cos叫做向量 在 a方向上的投影数量积的几何意义是数量积 b等于 的模与 b在 a方向上的投影的积 .如果 1(,)Pxy, 2(),则 12P= 12(,)xy, 2y,这就是平面内两点间的距离公式.典型例题
7、一、平面向量的线性运算例 1、如图，在平行四边形 ABCD 中， ABa ， Db ，你能用 a，b 表示向量 C， D吗？巩固练习：1如图，在五边形 ABCDE 中， ABa ， Cb ，CDc ， EAd ，试用 a ，b ， c ， d 表示向量 E和 D.2已知 OA=a， B=b, C=c, OD=d, 且四边形 ABCD 为平行四边形，则 ab+cd= D CA BDEC A B 3在四边形 ABCD 中，若 12ABCD，则此四边形是 例 2、如图，已知任意两个非零向量 a 、b ，试作 OAa + b， Ba + 2b，OCa + 3b，你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系
8、吗？为什么？巩固练习：已知 OAa + 2b， B2a + 4b， OC3a + 6b(其中 a 、b 是两个任意非零向量 ) ，证明：A、B、C 三点共线提高练习：已知点 A、B、C 在同一直线上，并且 OAa + b， (2)Bma + 2b，(1)Ona + 3b (其中 a 、b 是两个任意非零向量) ，试求 m、n 之间的关系例 3、已知四边形 ABCD，点 E、F、G 、H 分别是 AB、BC 、CD、DA 的中点，求证： EFH巩固练习：baDCE F A B 已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F，求证： 2ABDCEF.三、平面向量的基本定理及坐
9、标表示例 4、已知 a = (4，2)，b = (6 ，y )，且 a / b ，求 y 巩固练习：1与向量 a = (12，5) 平行的单位向量为 2已知 a (,2)，b ,1x，当 a+2b 与 2ab 共线时， x值为 3已知 A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 与 ACB方向相反的单位向量是 4已知 a = (1，0)，b = (2，1) 试问：当 k 为何实数时， kab 与 a+3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 例 5、设点 P 是线段 12上的一点， 1P、 2的坐标分别为 1yx， 2(1) 当点 P 是线段 上的中点时，求点 P 的坐标； (2) 当点 P
10、 是线段 12的一个三等分点时，求 P 的坐标 巩固练习：OAPQBab1已知两点 3,2M， 5,N， 12MPN，则 P 点坐标是 2如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，若 OAa，OBb，则 ， (用 a、b 表示)四、平面向量的数量积例 6、已知|a| 6，|b| 4 且 a 与 b 的夹角为 60，求 (a + 2b)(a 3b) 巩固练习： 1已知 3,423,abab那么 a与 b夹角为 2已知向量 a 和 b 的夹角为 60，| a | 3，| b | 4，则（2a b）a= 3在ABC 中，已知| AB|=4，| C|=1，S ABC= ，则 AB C等于 例 7、
11、已知|a| 3，|b| 4 且 a 与 b 不共线，k 为何实数时，向量 a + kb 与 ab 互相垂直？巩固练习：1已知 a b ，| a|2，| b| 3，且向量 3a + 2b 与 kab 互相垂直，则 k 的值为 2已知|a| 1， |b| 且（ ab） a，则 a 与 b 夹角的大小为 。例 8、已知 a = (4，2)，求与向量 a 垂直的单位向量的坐标 巩固练习：1若 i = (1,0), j =(0,1)，则与 2i+3j 垂直的向量是 。2已知向量 )1,(a， )3,(b，若 bak2与 垂直，则实数 k= 3若非零向量 互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ）A ba
12、B |baC 0)( D 0)(24已知向量 a（3，4） ，b（2，x） ， c（2，y ）且 ab，a c求| bc|的值 例 9、已知 A (1，2) ，B (2，3)，C ( 2，5) ，试判断 ABC的形状，并给出证明巩固练习：1 O是 ABC所在的平面内的一点，且满足 0OBCA，则一定为 2已知 A、B 、C 三点不共线，O 是 ABC 内的一点，若 B O0，则 O 是ABC 的 3已知 02，则 ABC 一定是 。课堂测试：1在 ABCD中， BA 2平面内三点 (0,3)(,1)Cx,若 BC，则 x 的值为 3设 a， b， c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：(
13、) ( ) =0 | a|-| b| |( c) ( ) 不与 c垂直 (3 +2)(3 2 )=9| a|2- 4 b|2 中，真命题是 4OAB 中,OA= a,B= b, P= p,若 = ()|abt，tR ，则点 P 在 5已知 ,32,4x,则实数 x=_。6已知 86abab则 a_ _, b_ _, a与 b的夹角的余弦值是_。7在 OAB中, (2cos,in), (5cos,in)OB,若 5OAB,则S= 。 8已知ABC 中，A（2，-1） ，B （3，2） ，C（-3，-1 ） ，BC 边上的高为 AD，求点 D 和向量D坐标。9四边形 ABCD中， (6,1)(,)
14、(2,3)BCxyD（1）若 /，试求 x与 y满足的关系式； （2）满足（1）的同时又有 A，求 yx,的值及四边形 ABC的面积。课后作业1如果 a， b是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）A B 1ab= C 2ab D ab2在四边形 CD中，若 AD，则四边形 AB的形状一定是 （ ）A 平行四边形 B 菱形 C矩形 D 正方形3若平行四边形的 3 个顶点分别是（4，2） ， （5，7） ， （ 3，4） ，则第 4 个顶点的坐标不可能是 （ ）A （12，5） B （-2， 9） C （3，7） D （-4 ，-1）4已知正方形 CD的边长为 1， ABa，b， ACc， 则 abc等于 （ ）A0 B 3 C 2 D 25已知 a， 4b，且向量 a， b不共线，若向量 akb与向量 akb互相垂直，则实数 k 的值为 。6在平行四边形 ABCD 中， AB， C，O 为 AC 与 BD 的交点，点 M 在BD 上， 13BMOD，则向量 用 a， b表示为 ； A用 a， b表示为 。7在长江南岸渡口处，江水以 12.5km/h 的速度向东流，渡船的速度为 25 km/h渡船要垂直地渡过长江，则航向为 。8三个力 1F， 2， 3的大小相等，且它们的合力为 0，则力 2F与 3的夹角为 。
