1、 新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 例析直角坐标系中矩形变换题1. 平移+旋转 +翻析例 1 如图 1-,以矩形 OABC 的两边 OA 和 OC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,A 点的坐标为(3,0),C 点的坐标为(0,4),将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转,使 B 点落在 y 轴的正半轴上,旋转后的矩形为、BC、 相交于点 M。(1)求点 的坐标与线段 的长;(2)将图 1-中的矩形 沿 y 轴向上平移,如图 1-,矩形是平移过程中的某一位置, 、 相交于点 ,点 P 运动到 C 点停止,设点 P 运动的距离为 x,矩形 与原矩形 OABC
2、重叠部分的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围;(3)如图 1-,当点 P 运动到点 C 时,平移后的矩形为 ,请你思考如何通过图形变换使矩形 与原矩形 OABC 重合,请简述你的做法。分析:第(1)问由勾股定理得 的长,从而求出点 的坐标,已知线段OC 的长,继而求出线段 的长。第(2)问在矩形 的整个平移过程中,矩形 与原矩形 OABC 重叠图形由四边形(当点 从开始位置平移到矩形 OABC 的边 BC 上时)变为三角形(当点 从矩形 OABC 的边 BC上到运动停止时),求出对应图形在对应条件下自变量 x 的取值范围及重叠部分的面积。第(3)问具有开放性,可
3、直接通过图形沿某一条直线翻折得到,或先旋转再平移得到,或先旋转再翻折得到,或先平移再旋转得到。新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 解:(1)如图 1-,因为 ,所以点 的坐标为(0,5)。(2)在矩形 沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中,点 运动到矩形 OABC 的边 BC 上时,求得 P 点移动的距离 。当自变量 x 的取值范围为 时,如图 1-,由 ,得 ,此时, ,即 ,当自变量 x 的取值范围为 时,求得 。(3)把矩形沿 的角平分线所在直线对折。或 把矩形 绕 C 点顺时针旋转,使点 与点 B 重合,再沿 y 轴向下平移 4 个单位长度。或把矩形绕
4、 C 点顺时针旋转,使点 与点 B 重合,再沿 BC 所在的直线对折。或把矩形 沿 y 轴向下平移 4 个单位长度,再绕 O 点顺时针旋转,使点 与点 A 重合。点评:新课程标准下的几何内容突出了图形变换问题,使几何的基础知识贴近实际,更接近生活。矩形在沿 y 轴向上平移的过程中,对应线段、对应角的大小始终保持不变,尤其第(3)问是学习和掌握平移、旋转、翻折的基本性质,欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用。2. 旋转例 2 如图 2,在平面直角坐标系 xOy 中,把矩形 COAB 绕点 C 顺时针旋转角,得到矩形 CFED。设 FC 与 AB 交于点 H,且 A(0,4)、C(6,0)(如图
5、2-)。(1)当 时,CBD 的形状是_;(2)当 AH=HC 时,求直线 FC 的解析式;(3)当 时,(如图 2-),请探究:经过点 D,且以 B 为顶点的抛物线,是否经过矩形 CFED 的对称中心 M,并说明理由。新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 分析:第(1)问可利用旋转前后对应线段相等得出BC=CD,BCD= ,所以CBD 为等边三角形;第(2)问中可利用勾股定理求出 H 点坐标,从而求出 FC 的解析式;第(3)问中求出 M 点坐标,代入解析式检验。解:(1)等边三角形。(2)设 AH=x,则 HB=AB-AH=6-x,依题意可得 AB=OC=6,BC=OA=
6、4。在 Rt BHC 中, ,即 ,解得 ,H( ,4 )。设 ,把 H( )、C (6,0)代入 得 解得 。(3)抛物线顶点为 B(6,4),设 ,把 D(10,0)代入得, ,依题意可得,点 M 的坐标为(8,3),把 代入,得 ,抛物线经过矩形 CFED 的对称中心 M。新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 点评:本题为关于旋转的综合题,综合考查等边三角形的判定、直线关系式的求法,及中心对称的有关知识。矩形在绕点 C 的旋转过程中,线段的大小保持不变,综合性强,有一定的难度,有利于培养同学们勇于探索的良好学习习惯。例 3 如图 3,点 O 是坐标原点,点 A(n,0)
7、是 x 轴上一动点( )以AO 为一边作矩形 AOBC,点 C 在第二象限,且 OB=2OA,矩形 AOBC 绕点 A逆时针旋转 得矩形 AGDE。过点 A 的直线 交 y 轴于 F 点,FB=FA。抛物线 过点 E、F、G 且和直线 AF 交于点 H,过点 H作 HMx 轴,垂足为点 M。(1)求 k 的值;(2)点 A 位置改变时,AMH 的面积和矩形 AOBC 的面积的比值是否改变?说明你的理由。分析:第(1)问利用已知条件及勾股定理,得 ,又直线过点A(n,0),用中间变量 n,求出 k 的值。第(2)问用中间变量 n 表示出抛物线的解析式,解直线与抛物线联列的方程组,求出点 H 的坐
8、标,从而用中间变量 n 表示出AMH 的面积及矩形 AOBC 的面积,进而求出它们的比值。解:(1)根据题意得到:B(0,-2n);当 时, ,点F 的坐标为( 0,m),而 FB= 。Rt AOF 中, ,又 FB=AF, ,新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 化简得: ,对于 过点 A(n,0) ,(2)抛物线 过点 E(3n,0)、点 F(0, )、点 G(, ),解得: , , 。抛物线为 。解方程组: 得 ;H 坐标是:(5n,3n),HM= ,AM= , ,而 , ,不随着点 A 的位置的改变而改变。点评:本题主要考查应用矩形旋转特征,解决一次函数、二次函数的图
9、像性质问题的能力,矩形绕点 A 逆时针旋转 后,线段大小保持不变。3. 翻折新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 例 4 在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB=2,AD=1,且 AB、AD分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,点 A 与坐标原点重合,将矩形折叠,使点 A 落在边 DC 上,设 A是点 A 落在边 DC 上的对应点。(1)当矩形 ABCD 沿直线 折叠时(如图 4-),求点 A的坐标和 b 的值;(2)当矩形 ABCD 沿直线 折叠时,求点 A的坐标(用 表示),并求出 k 和 b 之间的关系式;如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图 4-,4-,4
10、-三种情形,请你分别写出每种情形时 k的取值范围。(将答案直接填在每种情形下的横线上)k 的取值范围是_;k 的取值范围是_;k 的取值范围是_简析:(1)根据轴对称的性质,可得两直角三角形相似,从而得对应线段成比例,求出点 A的坐标为( ,1),再由勾股定理求出 。(2)本小题与(1)小题的区别是用字母 k 表示数,同法(1)求出点 A的坐标为(-k,1),k 和 b 之间的关系式为 。(3)从图至图中对称轴的位置可以看出,对称轴由陡渐平,从而 k 值由小到大直至为 O,再考虑点 A的三个特殊对称点,当 A分别与点 C、D、B 重合时,对应的 k 值分别为-2,-1,-2+ ,从而在三种图形
11、下对应的 k 的取值范围分别为 , 。新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 例 5 将一矩形纸片 OABC 放在直角坐标系中,O 为原点,C 在 x 轴上,OA=6, OC=10。(1)如图 5-,在 OA 上取一点 E,将EOC 沿 EC 折叠,使 O 点落在AB 边上的 D 点,求 E 点的坐标;(2)如图 5-,在 OA、OC 边上选取适当的点 E、F,将EOF 沿EF 折叠,使 O 点落在 AB 边上的 D点,过 D作 DG y 轴交 EF 于T 点,交 OC 于 G 点,求证:TG=AE。(3)在(2)的条件下,设 T(x,y)探求:y 与 x 之间的函数关系式。指
12、出变量 x 的取值范围。(4)如图 5-,如果将矩形 OABC 变为平行四边形 OABC,使OC=10,OC边上的高等于 6,其它条件均不变,探求:这时 T(x,y)的坐标 y 与 x 之间是否仍然满足(3)中所得到函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式。新东方网(中考)频道新东方网(中考)频道 http:/ 简析:(1)设 E(0,m),在ADE 由勾股定理得 或由ADE BCD 得 ,解得 ,E(0, )。(2)连接 OD交 EF 于 P,由折叠可知 EF 垂直平分 OD,即OP=PD,由 OEDG ,从而得出 OE=D T,从而 AE=TG。(3)连接 OT,由(2)可得 OT=DT,由勾股定理可得得 。结合(1)可得 AD=OG=2 时,x 最小,从而 ;当 EF 恰好平分AOB 时,AD最大即 x 最大,此时 G 点与 F 点重合,四边形 AOFD为正方形,故 x 最大为 6,从而 ,故 。(4)y 与 x 之间仍然满足(3)中所得的函数关系式。理由:连接 OT仍然可得 OT =DT,即 从而(3)中所得的函数关系式仍然成立。点评:这两道题主要考查应用矩形对称特征,利用三角形相似及勾股定理解决从特殊到一般问题的能力,是两道立意新、设计巧、解法活的好题。