1、 否1,0nS 开始结束输出 S 是 n2 哈尔滨市第六中学 2015 届高三第四次模拟考试数学试卷（理工类）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集 UR，设集合 |lg(1)Axy，集合 2,1,xBy则 ()UACB =（ ）.A1,2 .B1,2 .C ,2 .D1, 2.已知复数 0zii ，则复数 z 在复平面内对应的点为（ ）.(,).(,) .(,1) .(,0)3. 若 2，且 cos3P， 3sQ， 13cosR，则 ,PQR大小关系为（ ）.ARQ.BR .CP .D 4
2、.下列说法正确的是 （ ） .命题“若 xy，则 sinxy”的否命题为真命题B“直线 0a与直线 0a互相垂直”的充分条件是“ 1a” .C命题“ 2,1xR”的否定是“ 2,0xR”.D命题：若 ，则 或 x的逆否命题为：若 或 x，则 25. 设 X为随机变量，若 X(6,)2N,当 (2)(5)PXa时，a的值为（ ）.A3 .B5 .C7 .D 96. 执行如图所示的程序框图，若输出 15S，则框图中处可以填入（ ）.4?n.8?n C16D 167一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( ) .A12 .B4 .C563 .D 838.将函数 sin(2)yx的图象向右
3、平移 个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，所得新图象的函数解析式是 （ ） .4.siy .sin(4)6yx . sin()6yx9. 设 0,(1,),),0)abABaCb，若 ,ABC三点共线，则 ba1的最小值是（ ）.23. .6 .D 92 BA1C1A1B10. 已知数列 na为等比数列，且 22013504axd，则 201420146()aa的值为( ).A.B .C .D 11如图， 1F、 2是双曲线 )0,(12bayx的左、右焦点，过 1F的直线 l与双曲线的左右两支分别交于点 A、B.若 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( ).A4 . 7 .C 3
4、2.D 312. 定义在 ),1(上的函数 )(xf满足下列两个条件：（1）对任意的 ),1(x恒有 )(2(xff成立；（2）当 2,1x 时， xf2)(记函数 )xgkf，若函数 g恰有两个零点，则实数 k的取值范围是（ ）.A2,1 .B ,34 .C 2,34 .D 2,34第卷（非选择题 共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22 题24 题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积为 14已知 ,a
5、b均为单位向量，且它们的夹角为 60，当 |()abR取最小值时， 15在平面直角坐标系中，实数 ,xy 满足01y，若 2zxy，则 z的取值范围是 16.若关于 x 的函数 2sin4(0)cottxfxt的最大值为 a ，最小值为 b ，且 2a ，则实数 t 的值为 三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17. 数列 na满足： )(23,2121 Nnaan（1）记 nd，求证数列 nd是等比数列（2）求数列 a的通项公式；18.甲、乙两袋中各装有大小相同的小球 9 个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2、3、4，乙袋中红色、黑色、白
6、色小球的个数均为 3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功。某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望.19. 如图，斜三棱柱 1CBA的底面是直角 三角形， 90ACB,点 1在底面内A F11 题图FBy的射影恰好是 BC的中点，且 2CA.(1)求证:平面 1A平面 B1;(2)若二面角 的余弦值为 75,求斜三棱柱 1B的侧棱 1 的长度.20. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在
7、 x轴上，它的一个顶点为 A（0， 2） ，且离心率等于 32，过点 M（0，2）的直线 l与椭圆相交于 P， Q不同两点，点 N在线段 PQ上（）求椭圆的标准方程；（）设 ,M，试求 的取值范围21. 设函数 2()ln(1)fxbx，其中 0b。（）当 1时，判断函数 f在定义域上的单调性；（）当 2时，求函数 ()x的极值点（）证明对任意的正整数 n ，不等式 2311l()n都成立。考生在题（22） （23） （24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22.选修 41：几何证明选讲如图所示，已知O 1与O 2相交于 A
8、，B 两点，过点 A 作O 1的切线交O 2于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交O 1，O 2于点 D，E，DE 与 AC相交于点 P.(1)求证:ADEC;(2)若 AD 是O 2的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长;MQlAP xyoNB EDO1 O2APC22 题图23.选修 44：极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程 是 =1，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为 tyx(23,1为参数） 。（1）写出直线 l与曲线 C 的直角坐标方程；（2）设曲线 C 经过伸缩变换 yx,2得到曲线 C，设曲线 上任一点为 ),
9、(yxM，求 y32的最小值。24.选修 45：不等式选讲已知 12,abx 为正实数，且满足 1ab （1）求 4 的最小值（2）求证： 12121()()axbax 理科数学答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C C A B D C B D A C B D13、 4 14、 21 15、 2,1 16、117、 （1） 12nd （2） na 18.解：（1）设事件 A为“两手所取的球不同色” ， 则 32943)( AP （2）依题意， X的可能取值为 0,1,2左手所取的两球颜色相同的概率为 1852943C 右手所取的两球颜色相同的概率为 2933 418415
10、)0( XP7)()817254)2(所以的分布列为： 3619725182430)( XE19. 解:（本小题满分 12 分）(1)取 BC中点 M，连接 B，则 1面 ABC，1A面 面 1C面 面，面面 11CB面 面（2）以 A为 ox轴, 为 y轴,过点 C与面 AB垂直方向为 oz轴，建立空间直角坐标系5 分，设 1Mt则 (20),(,)(0,1)(,)tCt即 1 1=,),t（设面 B法向量 1()nxyz(,)nt；面 1法向量 2(,)nxyz2(,01)tn125cos,73t12B20 、解：（）设椭圆的标准方程为 )0(2bayx因为它的一个顶点为 A（0， 2）
11、，所以 2b，由离心率等于 32，得2ab3，解得 28a，所以椭圆的标准方程为 128yx （）设 1(,)Pxy， 2(,)Q， 0(,)Nxy，若直线 l与 y轴重合，则 00|PMQNy，得 01y，得 ；若直线 l与 轴不重合，则设直线 l的方程为 2kx，与椭圆方程联立消去 y得 2(14)68kx，得 12264kx， 12284xk， 0 1 2 243875由 |PMQN得 120x，整理得 12012()xx，将代入得 01xk，又点 0(,)Nxy在直线 l上，所以01()2yk，于是有 1，因此 1112yy，由 12y得12y，所以 ，综上所述，有 2 21、解（）当
12、 1b时 ，函数 ()fx在定义域（-1，+）上单调递增。（） 当 2时，解 f=0 得两个不同解 121,bbxx当 b0 时， 121,bxx 1 12(,)(,)，此时 fx在 ,上有唯一的极小值点 21bx当 102b时， 12,(,)x 2()fx在 ,)()都大于 0， (fx在 12,)上小于 0，此时 f有一个极大值点 12bx和一个极小值点 21bx综上可知， 102b时， ()fx有一个极大值点 1x和一个极小值点 2xb0，时， ()f在（-1，+）上有唯一的极小值点 21bx（）当 b=-1 时， 2()ln(1).fxx令3233 (1)() ,(0,)xhxh 则
13、在上恒正 在 0,)上单调递增，当 x（0，+）时，恒有 (h即当 x（0，+）时，有 32 23ln(1),l()xx，对任意正整数 n，取 231lx得22(1)证明：连接 AB，AC 是O 1的切线，BAC=D，又BAC=E，D=E。ADEC （2）设 BP=x，PE=y，PA=6，PC=2，xy=12，ADEC， 269yxPCAED， 由可得， 43yx或 12（舍去）DE=9+x+y=16，AD 是O 2的切线，AD 2=DBDE=916，AD=12。23 解：（1） 033:yxl 1:2yxC（2） yxyx2代入 C 得 14:2yx设椭圆的参数方程 (sinco为参数）则 )6i432c32yx 则 yx32的最小值为-4。24（1）当 4,5ab 时，2ba的最小值为 15（2） 21212121()()()xxxbxabab
