1、 饶平县凤洲中学 2016 届第一次月考数学（理科）试题一. 选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 若 ，则下列不等式能成立的是（ ）ab0（A） （B） （C） （D） 1|abba1a22若等差数列 的前 项和 且 ，则 等于（ ）n339S12（A）3 （B）4 （C） （D）563 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在ABC 中， 若 ，则 （ ）)()(cbacA（A） （B） （C） （D） 09060120154若命题 的逆命题是 ，命题 的逆否命题是 ，则 与 的关系是（ qprqr）（A）互为逆否命题 （B）互为逆命题 （C）互为否
2、命题 （D）不能确定5. 到两坐标轴的距离之和为 6 的点的轨迹方程是（ ）（A） （B） （C） （D）6yxyx6|yx6|yx6. 双曲线 的焦距为 （ ）19252k（A）16 （B）8 （C）4 （D）不确定，与 值有关k7. 若 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点 ， 焦 点 是 双 曲 线 的 顶 点 ， 则 抛 物 线 的 方 程 是xy2941（ ） （A） （B）yx224， yx226，（C ） （D） x10， 1，8. 若不等式 ，则 的取值范围是（ ）24abab， 2ab（A） （B） （C） （D） 5， ()510， 3， ()312，9. 已知双曲线 ，若椭
3、圆 N 以 M 的焦点为顶点，以 M 的顶Mxy： 962点为焦点，则椭圆 N 的准线方程是（ ）（A） （B） （C） （D） x16554x163x25310. 满 足 不 等 式 的 点 （ x， y） 所 在 的 区 域 应 为 （ ）()xy2011. 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn， 若 S10=2,S30=14,则 S40等 于 （ a） （A）80 （B）30 （ C）26 （D） 1612. 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点 P,直线 PF（F 为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）1（A） （B
4、） （C） （D）222313二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 (2x+ x)4的展开式中 x3的系数是 14曲线 1,02yy，所围成的图形的面积可用定积分表示为_15从 1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),推广到第 n个等式为_.16已知函数 )0(1)(3)(2kxkxf ，若 )(xf的单调减区间是 （0，4） ，则在曲线 y的切线中，斜率最小的切线方程是_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （本小题满分 10 分）已知 ， 231()co
5、sin2fxx（1）写出 图像的对称中心的坐标和单调递增区间；)(xf（2） 三个内角 、 、 所对的边为 、 、 ，若 ，ABCBCabc01)(Af求 的最小值 cba18.（本小题 满分 10 分）某网站用 “10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：幸 福 度 7 3 0 8 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9 7 6 5 5 若幸福度不低于 9.5 分，则称该人的幸福度为“极幸福”.（1）从这 16 人中随机选取 3 人，记 表示抽到“极幸福”的 人数，求 的分布
6、列及数XX学期望，并求出至多有 1 人是“极幸福”的概率；（2）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选 3 人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的数学期望19.（本小题满分 12 分）如图，菱形 ABCD与矩形 EF所在平面互相垂直，3BAD（1）求证： FC平面 E；（2）若 k，当二面角 FA为直二面角时，求 k的值；（3）在（2）的条件下，求直线 BC与平面 E所成的角 的正弦值20 （本小题满分 12 分）已知数列 na满足：123,(1,23)nnaa （1）求证：数列 是等比数列；（2）令 (2)1nnba（ ,.） ，如果对任意 *nN，都
7、有 214nbt，求实数 t的取值范围21 （本小题满分 12 分）如图，过点 (0,2)D作抛物线 2(0)xpy的切线 l，切点在第二象限A（1）求切点 的纵坐标；（2）若离心率为 23的椭圆 )0(12bayx恰好经过切点 ，设切线 l交椭圆的A另一点为 ，记切线 l， ， 的斜率分别为 ， ， ，若 ，求椭圆BOABk12k421方程22 （本小题满分 14 分）已知函数 ，其中 . ()ln1fxax0a（1） 若函数 在 上有极大值 0，求 的值； ()fx0,)（提示：当且仅当 时， ）11lnx（ 2） 讨论并求出函数 在区间 上的最大值；()f,e（3）在（2）的条件下设 ，
8、对任意 ，hxfx1212,(0,)xx证明：不等式 恒成立.1212()参考答案一. 选择题（本题共 60 分，每小题 5 分）1. B 2. A 3.C 4. C 5. C 6. B7.D 8.A 9. B 10. B 11. B 12. D2、填空题1324 14 32 15 )321()1(69412 nnn 16 1280xy三、 解答题：17.解：（1）化简得： ，2 分 )32cos()xf对称中心为： ，4 分，单调递增区间为：0,12(Zk6 分（2）由（1）知： ，)6,3k 01)32cos()(Af，)cos(A， ， ， ，8 分 037A根据余弦定理： ， 1)2(
9、34cos22 cbcba当且仅当 时， 取最小值 1.12 分1cb18.解：（1） 的可能取值为 、 、 、 ，1 分X01， ，28)0(316CP703)(1642CP， ，3 分70943X的分布列X为4 分数学期望 ， 5 分43107920318)( E至多有 1 人是“极幸福”记为事件 ，则 .A1402738)1()() XPP6 分1 2PzyxNMFED CBA（2）解法一： 的可能取值为 0、1、2、3，随机选取1人是“极幸福”的概率为416P ； 67)3(0( 6427)3(1)(CP； 491223C3 的分布列 为数学期望 . 10分)(E27910130756
10、464解法二：依题意知，随机选取1人是“极幸福”的概率为 ， 416P故随机变量 满足二项分布 ，故数学期望 .10 分)41,3(B 3)(E19 （1）证明： ADCEF ,， ， ， 平面 FBCBCDA平面 ，故 平面 4 分DA（2）解：取 B,的中点 NM,.由于 ,FE所以EFM，AC就是二面角 CA的平面角6 分当二面角 为直二面角时， BDAN23，即 .23k8 分（3）几何方法：由（2） CM平面 AEF，欲求直线 BC与平面 EF所成的角，先求 C与 M所成的角.9 分连结 B，设 .2 则在 中， 632N， 2M，.42cos BCMC.4sin12 分（3）向量方
11、法：01 2P764以 D为原点， C为 y轴、 DE为 z轴，建立如图的直角坐标系，设 .2A则 )3,1(M， )0,2(，平面 AEF的法向量),(Cn，10 分， )0,13(CB. .46,cosBn.46si12 分20解：（1）由题可知： 1231nnaaa 1 可得 12na.即： 1(1)2nna，又 12a所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列6 分（2）由（1）可得 1()2nna， nb 8 分 由 111(2)30n nb，可得 3n而由 10nb可得 3所以 12345nbb ，故 n有最大值 3418b10 分 所以，对任意 *nN，有 18如果对任意 *N
12、，都有 2nt，即 214nbt成立，则 2max1()4nbt，故有： 24t解得 12t或 4t所以，实数 的取值范围是 1(,， ） 12 分21.解：（1）设切点 ),0yxA，且 px20，由切线 l的斜率为 pxk0，得 l的方程为 py20，又点 ),(D在 l上， 20x，即点 A的纵坐标 0y2.4 分（2）由（1）得 )2,(pA，切线斜率 pk2，设 ),(1yxB，切线方程为 xy，由 3e，得 24ba， 所以椭圆方程为 142b，且过 )2,(pA， 2p由 0416)( 2222 bkxyxk 21046kbx， 7 分 0101121012()()43yxykk
13、kx1022()34613()44kxpbk将 pk2， 4b代入得： 32p，所以 1,622ab椭圆方程为 1362yx 12 分22. 分析：（1） 1 分()axfx明显，当 时， ，当 时，0,a0(,)0)(xf故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，3 分)(xf1a因此函数 在 上有极大值(,)1()lnfa ，解得 5 分ln1aa（2） ()xfx若 ，即 ，则当 时，有 ，ea0e1,e()0fx函数 在 上单调递增，则 6 分)(xf1,emax()()1ffea若 ，即 ，则函数 f (x)在 上单调递增，在 上单调递减，eaa, 1(,)e 7 分max1()()lnff若 ，即 ，则当 时，有 ，函数 f (x)在 上单调递减，e1,xe()0fx1,e则 8 分max1()()affe综上得，当 时， ；当 时，0max()1fe1ae；max()ln1f当 时， 9 分emax()fe（3）要证明 ，只需证明 10 分 1212()xh1212lnxx只需证明 即证明 ，11 分1212lnxx1212lnxx不妨设 ，令 ，则 ，则需证明 12 分120x12tx0l1tt令 ，则 ，)(ln)(tt)(2)2tx） 上 单 调 递 减，在 （ 10ln210)(ttt即故不等式 得证14 分121()xxh
